Фурье преобразование квадратного пульса, Как узнать расстояние между гармониками? Опции

[BlackOps]

Есть предположим простой сигнал периодический квадратного пульса: x(t) = {1, |t| < T1; 0, T1 <= |t| <= T/2}

есть общая формула преобразования Фурье данного сигнала: X(jw) = Sum[k=-Inf:k=Inf; (2 * sin(k * w0 * T1) / k) * q(w - k* w0) ]


Так вот, читаю одну книгу, там в кратце написано:

1) если Т1 = Т / 3, то расстояние между гармониками фурье равно 2пи/Т

2) если Т1 = Т / 4, то расстояние между гармониками фурье равно 4пи/Т


Не могу понять как они это определили?

В первом случае, если я в ту формулу подставлю значение Т1, то получу sin(k * w0 * T1) / k) = sin(k*2*pi/3)

Во втором случае, sin(k * w0 * T1) / k) = sin(k*2*pi/4)

Так как же они вывели что для 1) расстояние 2пи/Т а для 2) оно равно 4пи/Т ?

И такой вопрос, а что если Т1 = Т / 7 ? Выходит расстояние между гармониками вновь будет 2пи/Т?

[Alexey Lukin]

Определение импульса неполное: чему он равен в остальных точках? Что такое T?

Если T — это период, и за пределами |t|<T сигнал периодически продолжается, то расстояние между гармониками будет соответствовать периоду сигнала, т.е. будет 2π/T. Это справедливо для любого периодического сигнала, а не только прямоугольного: спектр линейчатый.

Когда T1 = T/4, чётные гармоники имеют нулевую амплитуду, и остаются только нечётные. В этом случае можно сказать, что "расстояние" между нечётными гармониками равно 4π/T, хотя сигнал по-прежнему гармонический с основным тоном 2π/T.

Если T1 = T/8, то расстояния по-прежнему 2π/T, хотя некоторые гармоники в спектре и "выколоты" (4-я, 8-я, 12-я и т.д.)

Сообщение отредактировал Alexey Lukin - Aug 27 2011, 14:29

[BlackOps]

спасибо за обсуждение и подробный ответ!

Когда T1 = T/4, чётные гармоники имеют нулевую амплитуду, и остаются только нечётные. В этом случае можно сказать, что "расстояние" между нечётными гармониками равно 4π/T, хотя сигнал по-прежнему гармонический с основным тоном 2π/T.

да..таким образом уменьшая Т1 в четное количество раз мы как бы растягиваем гармоники, скажем если Т1 = Т / 8, то расстояние уже 8пи/Т

Если T1 = T/7, то расстояния по-прежнему 2π/T, хотя некоторые гармоники в спектре и "выколоты" (4-я, 8-я, 12-я и т.д.)

А вот уменьшая Т1 в нечетное количество раз вроде как особой погоды не делает...ну кроме как "выколотых" гармоник... интерестно.. хотя вроде так и получается.

[Alexey Lukin]

да..таким образом уменьшая Т1 в четное количество раз мы как бы растягиваем гармоники, скажем если Т1 = Т / 8, то расстояние уже 8пи/Т

Нет, гармоники не растягиваются, их частоты зависят только от T.

А вот уменьшая Т1 в нечетное количество раз вроде как особой погоды не делает...ну кроме как "выколотых" гармоник... интерестно.. хотя вроде так и получается.

Я ошибся в верхнем посте, уже поправил. Там следовало написать T1 = T/8, а не T/7.
А для случая T1 = T/7 гармоники по-прежнему идут с тем же интервалом, но выколоты оказываются 7-я, 14-я и т.д.