Что есть разложение сигнала на гармоники? Опции

[Cynic]

Всем привет. Читал я тут на досуге книгу по компьютерным сетям и к главе о физическом уровне осознал, что я ни фига не понимаю, что такое сигнал в линии. Поясню суть проблемы. Если мы передаем по линии сигнал определённой формы, то его по формулам Фурье можно разложить в ряд гармоник. Вот мне не понятно, чтобы это операция значила? Что это за гармоники? Представление в виде набора гармоник значит, что сигнал в линии набор сигналов разной частоты из которых получается результирующий сигнал, или существует всё таки один сигнал определённой частоты. А если сигнал один, то зачем тогда нужно разложение на гармоники. Короче каша у меня в голове, надо с этим разобраться.

[Xenia]

Реальный сигнал можно представить не только в виде суммы гармоник, но и в сумме чего угодно . Лишь бы в сумме все слагаемые давали то, что было в начале. А для всех линейных преобразований совершенно не важно, на какие части мы поделили сигнал, т.к. после линейного преобразования они дадут в сумме то же самое, что дал бы исходный сигнал, будучи преобразован целиком. Это следует из свойства линейного преобразования:
Func( sum(Fi) ) = sum( Func(Fi) )

А попросту, исходный сигнал можно "разрезать" на любые части, чтобы преобразовывать его по частям. Поэтому мы вправе разделить сигнал на такие части, которые нам легче преобразовывать. Ведь исходный сигнал может быть сколь угодно сложной формы, а поделив его на сумму синусоид, можно свести к суммированию простых задач, т.к. для преобразования синусоид результат тривиален.

В математике такое разделение называется разложением по базису. Такое разложение дает возможность выбирать любой ортогональный базис, какой нам больше нравится, поскольку большинство преобразований не зависят от того, в каких координатах (т.к. в каком базисе) их рассматривают.

Многие люди даже не задумываются о том, что преобразование Фурье тоже является ортогональным преобразованием. А раз так, то мы в полном праве рассматривать сигнал в частотной области, как полный эквивалент исходного сигнала. Кажется невероятным, но переход на "фурьёвый" базис даже не деформирует пространство! Хотя кое-какие измерения отражает зеркально.

А заключение будет такое. Конечно же натуральный сигнал не состоит из суммы гармоник, тем не менее мы вправе его на эти гармоники разложить, если в таком виде нам удобнее с ним работать! Ибо это разложение является по своей сути лишь заменой базиса, в котором представлен сигнал. А базис мы имеем право выбирать любой.

[Cynic]

Реальный сигнал можно представить не только в виде суммы гармоник, но и в сумме чего угодно . Лишь бы в сумме все слагаемые давали то, что было в начале. А для всех линейных преобразований совершенно не важно, на какие части мы поделили сигнал, т.к. после линейного преобразования они дадут в сумме то же самое, что дал бы исходный сигнал, будучи преобразован целиком. Это следует из свойства линейного преобразования:
Func( sum(Fi) ) = sum( Func(Fi) )

А попросту, исходный сигнал можно "разрезать" на любые части, чтобы преобразовывать его по частям. Поэтому мы вправе разделить сигнал на такие части, которые нам легче преобразовывать. Ведь исходный сигнал может быть сколь угодно сложной формы, а поделив его на сумму синусоид, можно свести к суммированию простых задач, т.к. для преобразования синусоид результат тривиален.

В математике такое разделение называется разложением по базису. Такое разложение дает возможность выбирать любой ортогональный базис, какой нам больше нравится, поскольку большинство преобразований не зависят от того, в каких координатах (т.к. в каком базисе) их рассматривают.

Многие люди даже не задумываются о том, что преобразование Фурье тоже является ортогональным преобразованием. А раз так, то мы в полном праве рассматривать сигнал в частотной области, как полный эквивалент исходного сигнала. Кажется невероятным, но переход на "фурьёвый" базис даже не деформирует пространство! Хотя кое-какие измерения отражает зеркально.

А заключение будет такое. Конечно же натуральный сигнал не состоит из суммы гармоник, тем не менее мы вправе его на эти гармоники разложить, если в таком виде нам удобнее с ним работать! Ибо это разложение является по своей сути лишь заменой базиса, в котором представлен сигнал. А базис мы имеем право выбирать любой.

Ваши показания расходятся с показаниями других участников форму которые утверждают, что гармоники физически присутствуют в сигнале! И даже предлагают эксперимент, что типа берёшь с помощью нескольких генераторов загоняешь в линию рассчитанные гармонические сигналы и вуаля в линии получается исходный сигнал. Как с этим быть?

Ваши показания расходятся с показаниями других участников форму которые утверждают, что гармоники физически присутствуют в сигнале! И даже предлагают эксперимент, что типа берёшь с помощью нескольких генераторов загоняешь в линию рассчитанные гармонические сигналы и вуаля в линии получается исходный сигнал. Как с этим быть?

И поскольку я уже запутался давайте по порядку:
1) Если в линии существует определённый сигнал, который можно разложить на гармоники, то существуют ли эти гармоники в линии физически или это просто математическая абстракция? И если существуют, то в каком виде? То есть если существует например сигнал с частотой 200Гц мы взяли высчитали основные гармоники на частотах например 50, 100, 150, 250, 300, 350 Гц (к цифрам не цепляться, это пример), то существуют ли физически в линии предсказанные сигналы на этих частотах?
2) Разложение на гармоники можно применить к любым сигналам. Ну предположим взяли мы радиосигнал разложили на гармоники, как в этом случае гармоники будут физически представлены в радиосигнале?
3) Для полноты картины, можно провести следующий мысленный эксперимент. Предположим у нас есть труба небольшой длинны, которая с двух сторон закрыта пластичной мембраной, а внутри залита вода под некоторым давлением, пустот с воздухом в трубе нет. Мы бьем по мембране с одной стороны, колебание распространяется вдоль трубы и воздействует на мембрану с другой стороны. Если этот процесс автоматизировать, то можно наладить передачу информационных сигналов, причем опять же сигналы эти можно представить в виде графика из которого можно выделить гармоники. Как в такой системе эти гармоники будут представлены?

[DS]

Ваши показания расходятся с показаниями других участников форму которые утверждают, что гармоники физически присутствуют в сигнале! И даже предлагают эксперимент, что типа берёшь с помощью нескольких генераторов загоняешь в линию рассчитанные гармонические сигналы и вуаля в линии получается исходный сигнал. Как с этим быть?

Вы путаете разложение на гармоники периодического (и бесконечного во времени сигнала) и общий переход от временного представления сигнала к частотному (смену базисных функций).

По второму вопросу - это будут не дискретные гармоники, а некоторый спектр. Вы некорректно применяете понятие "гармоники", которое не применимо к апериодическому сигналу.

[Alexashka]

По второму вопросу - это будут не дискретные гармоники, а некоторый спектр. Вы некорректно применяете понятие "гармоники", которое не применимо к апериодическому сигналу.

Ну почемуже не применимо? Вот мы оцифровали наш апериодический сигнал, сделав N отсчетов, сделали БПФ (или ДПФ) и что мы имеем - постоянную состовляющую H(0), основную частоту H(1) и ее гармоники вплоть до половины частоты дискретизации. Или не так?

И поскольку я уже запутался давайте по порядку:
1) Если в линии существует определённый сигнал, который можно разложить на гармоники, то существуют ли эти гармоники в линии физически или это просто математическая абстракция?

Хорошо, вот Вам другое сравнение, кривое, но суть отражает. Вы двоичную систему знаете? Тогда пример такой -число 10, его можно представить в двоичном представление (по степеням двойки) как 0*1+1*2+0*4+1*8, т.е образно говоря в числе 10 нулевая и вторая "гармоники" отсутствуют, а первая и третья присутствуют. Тогда Ваш вопрос звучит так: есть ли в числе 10 числа ("гармоники") 2 и 8? Или это абстракция?

Это просто другое представление числа.

[DS]

Ну почемуже не применимо? Вот мы оцифровали наш апериодический сигнал, сделав N отсчетов, сделали БПФ (или ДПФ) и что мы имеем - постоянную состовляющую H(0), основную частоту H(1) и ее гармоники вплоть до половины частоты дискретизации. Или не так?

Мы имеем просто спектр сигнала, что эквивалентно просто его осцилограмме, но представленной в другом базисе (см. пост Ксении). Гармоники - это частный случай спектра для периодического сигнала. Основной частоты у апериодического сигнала вообще нет, на то он и апериодический.

[Alexashka]

Мы имеем просто спектр сигнала, что эквивалентно просто его осцилограмме, но представленной в другом базисе (см. пост Ксении). Гармоники - это частный случай спектра для периодического сигнала. Основной частоты у апериодического сигнала вообще нет, на то он и апериодический.

Ну для случая непрерывного (аналогового) сигнала да, а для оцифрованного с числом выборок=N - то он полностью восстанавливается N точками FFT-преобразования, а значит к нему можно применить понятие гармоник. Согласен, это отсебятина, но в литературе как только эти частоты не называются. А мне кажется это правильным названием, поскольку при ДПФ происходит свертка с цифровыми частотами, возрастающих от 0 до Fs/2 по арифметической прогрессии, а это и есть определение гармонических обертонов или гармоник.

[Tanya]

Ну для случая непрерывного (аналогового) сигнала да, а для оцифрованного с числом выборок=N - то он полностью восстанавливается N точками FFT-преобразования, а значит к нему можно применить понятие гармоник. Согласен, это отсебятина,

"Восстановится" уже периодический сигнал...