Задачка по теории связи... Опции

[lomaxe]

Двоичный источник с равновероятными символами управляет положением коммутатора приёмника, работающего в канале с шумом AWGN(рисунок во вложении). Двухстроронняя спектральная плотность мощности шума равна N/2. Пусть передаются антиподные сигналы длительностью Т секунд с энаргией Е Дж. Системная схема синхронизации генерирует каждые Т секунд синхронизирующие импульсы, а скорость передачи двоичного источника равна 1/Т бит/с. При нормальной работе ключ находится в положении "вверх", когда двоичный нуль, и в положении "вниз", когда двоичная единица. Предположим, что ключ неисправен. С вероятностью р он переключается в неверном направлении на Т-секундный интервал. Наличие ошибки коммутации в течение каждого интервала не зависит от ошибки коммутации в любое другое время.
Считать, что E{z(t)}=+-sqrt(E) т.е. математическое ожидание выхода корреляционного приёмника равно плюс-минус квадратному корню из энергии бита.
а) запишите условные вероятности p(z/s1) и p(z/s2).
б) Корреляционный примник наблюдает сигнал r(t) в течение интервала (0,Т). Нарисуйте блочную
диаграмму оптимального приёмника для минимизации вероятности битовой ошибки, если известно,
что коммутатор сбоит с вероятностью р
в) какая система предпочтительнее: р=0,1 и E/N= бесконечность или р=0 и E/N=7дБ ?




пункт (а) задачи я решил, рассуждая таким образом:
используя принцип максимального правдоподобия, мы можем выразить условную вероятность значений сигналов s1(t) и s2(t) на выходе корреляционного приёмника(согласованного фильтра) при прохождении этих сигналов через канал и воздействии на них шума AWGN:

p(z/s1)=(1/2*Pi*sqrt(б))*exp{(-1/2)*(z(T)-a1)/б^2}

p(z/s2)=(1/2*Pi*sqrt(б))*exp{(-1/2)*(z(T)-a2)/б^2}

Pi - число пи,равное 3,14; б - среднеквадратическое отклонение

В данном случае, используя терминологию теории вероятности, определим как событие В - это получение сигнала на выходе корреляционного сигнала при воздействии в канале шума AWGN. Сбой коммутатора при этом учитывать не будем. Тогда, естественно, условная вероятность на выходе корреляционного приёмника будет выражаться вышеприведёнными формулами.

Теперь рассмотрим коммутатор, который сбоит с вероятностью р. Если бы коммутатор не сбоил, то при выходе в канал, информационные символы s1(t) и s2(t) соответственно бы имели вероятность того, что информационный символ s1(t) соответсвтвует двоичной 1, а s2(t) соответствует двоичному 0 - р=1. Но по условию задачи мы имеем, что коммутатор сбоит с веоятностью р. Тогда, при наблюдении информационных символов при выходе с коммутатора в канал, мы уже не можем быть уверены на 100%, что при выходе s1(t), это действительно 1 двоичного источника, а при выходе s2(t), это действительно 0 двоичного источника. Теперь, при сбое коммутатора, мы можем сказать, что при выходе в канал s1(t), вероятность того, что это действительно 1 двоичного источника, будет (1-р), а при выходе в канал s2(t), вероятность того, что это действительно 0 двоичного источника, также будет
(1-р). Если не учитывать искажение канала шумом AWGN, то при выходе с корреляционного приёмника
веротность определения истинности каждого из двух символов будет (1-р). И определим это событие, как событие A.

Но нас не интересуют данные события по отдельности, нас интересует и сбой коммутатора и воздействие шума канала при одновременном своём проявлении.
Данное событие будет выражаться как объединение событий А и В и вероятность события (АВ) будет
выражаться как:

Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

тогда:

Р(z/s1)=(1-p)*(1/2*Pi*sqrt(б))*exp{(-1/2)*(z(T)-a1)/б^2};
P(z/s2)=(1-p)*(1/2*Pi*sqrt(б))*exp{(-1/2)*(z(T)-a2)/б^2};

Это решение по пункту (а). Кто в этом соображает,хотелось бы, чтобы меня поправили,если я решил неправильно.

Пункт (б) я не смог решить. Я так поняимаю с тематики этой задачи, что корректирующие коды использовать нельзя, а ничего в голову не приходит. Возможно у кого-нибудь будут другие идеи?
Пункт (в) пока так-же не решил.

Прошу оказать помощь в полном решении этой задачи и исправлении ошибок в решении пункта (а), если таковые имеются. Заранее благодарен всем.