Определение спектра сигнала, Как сделать Опции

[Oldring]

У вас видимо глаз замылился(:-). Расписываю ряд, минус бесконечность заменена точками

u_(n)= ...u0(-2)+u0(-1)+u0(0)+u0(1)+u0(2)+...+u0(n).

поясните, что такое, к примеру, u0(-1) или u0(2)?

Формула 2.2

Нет. Там стоит u0(n). По определению u0(n)=1 при n=0.

Как тогда быть с u0(2)? Аргумент 2 ведь не равен 0, и не может быть равен, это ж частный аргумент. И в каком месте на дискретной оси у u0(2) будет единица?

Наверное, у Вас другой Рабинер-Голд

Я в своем вижу u0(n) = 1 для n = 0 и u0(n) = 0 для n != 0 - формула 2.2.

[SM]

Нет. Там стоит u0(n). По определению u0(n)=1 при n=0.

Как тогда быть с u0(2)? Аргумент 2 ведь не равен 0, и не может быть равен, это ж частный аргумент. И в каком месте на дискретной оси у u0(2) будет единица?

Вы на самом деле не понимаете? Не ожидал... Ф-ция u0(n) определена на всем Z, и сумма значений этой функции от минус бесконечности до N существует для любого N из Z, и действительно равна нулю для N<0 и единице для N>=0

[=GM=]

Нет. Там стоит u0(n). По определению u0(n)=1 при n=0.

Как тогда быть с u0(2)? Аргумент 2 ведь не равен 0, и не может быть равен, это ж частный аргумент. И в каком месте на дискретной оси у u0(2) будет единица?

Вы на самом деле не понимаете? Не ожидал... Ф-ция u0(n) определена на всем Z, и сумма значений этой функции от минус бесконечности до N существует для любого N из Z, и действительно равна нулю для N<0 и единице для N>=0

Ну хорошо, раз вы все понимаете, объясните мне разницу между u0(2) и u0(n-2). И заодно определите u0(2), как u0(n).

Я понимаю смысл, что рабинер-голд хотели сказать, это просто цифровой вариант функции Хевисайда, но вот формула этого не показывает.

[SM]

Ну хорошо, раз вы все понимаете, объясните мне разницу между u0(2) и u0(n-2). И заодно определите u0(2), как u0(n).

Я понимаю смысл, что рабинер-голд хотели сказать, это просто цифровой вариант функции Хевисайда, но вот формула этого не показывает.

Формула 2.2 :

Код

            | 1, n=0
   u0(n) = {
            | 0, n <>0

Мы знаем, что это дискретный сигнал, следовательно n принадлежит Z, и область определения u0(n) есть Z.

Из формулы видны все свойства ф-ции u0(n).
1) Ее область значений есть {0, 1}
2) u(0) = 1
3) u(-2)=u(2)=u(от_любого_другого_n_из_Z) = 0

Далее рассматриваем сумму для n от минус бесконечности до N. Пока N меньше нуля, все значения функции u0 нулевые, сумма кучи нулей равна нулю. Для N=0 и больше в сумму попадает u0(0), который равен 1. Для N больших нуля, как и для отрицательных N, значение u0(n) равно опять нулю. Отсюда эта сумма для N<0 равна нулю, для N>=0 равна 1.

Разница между u0(-2) и u0(2) такая, что это значения функции от разных аргументов. Значения одинаковые, нулевые, а аргументы разные. u0(2) это и есть u0(n) для n=2.

[Oldring]

Далее рассматриваем сумму для n от минус бесконечности до N. Пока N меньше нуля, все значения функции u0 нулевые, сумма кучи нулей равна нулю. Для N=0 и больше в сумму попадает u0(0), который равен 1. Для N больших нуля, как и для отрицательных N, значение u0(n) равно опять нулю. Отсюда эта сумма для N<0 равна нулю, для N>=0 равна 1.

К этому можно добавть, что по определению символ бесконечности у суммы (как и интеграла) означает не больее чем просто сокращение для предела при устремлении соответсвующей границы к соответствующей бесконечности. Конечно, этот предел должен существовать - но в данном случае его существование очевидно.

Ну хорошо, раз вы все понимаете, объясните мне разницу между u0(2) и u0(n-2). И заодно определите u0(2), как u0(n).

Не могли бы Вы сначала определить это для более простой функции? Например, чему равно sin(2)?

[Mirabella]

Вот. Проходила мимо. Решила зайти, попрощаться. Заодно посмотреть, как тут у Вас дела.
Не накинул ли кто на горло собеседника удавку из аналоговой части дискретного канала? Не бьёт ли кто-нибудь кого-нибудь массивным винчестером по голове? Не обзывают ли Вас опять дятлами....?
Почитала. Ничего не поняла. Успокоилась.
Вижу, идет серьёзный неторопливый разговор крупных специалистов. Я здесь совершенно лишняя. Надо попрощаться и уйти.

Но прежде, чем Вас покинуть, хочу сказать, что обвинение в непризнании существования «чистой» математики я перенесла тяжело.

Долго размышляла на тему известных математических задач: о обезьяне, если которую посадить за печатную машинку, то по теории вероятностей она может напечатать «Войну и мир». Этому факту верю и понимаю, почему.
О тех самых зернышках на шахматной доске… ( в это тоже верю).
О мухах, которые при определенных условиях размножения могут покрыть всю поверхность земли многометровым слоем..(а вот в это не верю!...)
И так далее…

А потом решила посмотреть , а как определяется само понятие : «математика».
И после изучения этого вопроса поняла всю неразумность своего участия в подобных обсуждениях-спорах. (тем более я всё равно осталась при своём мнении..)

Больше всего мне понравилось следующее определение математики:

Математика-это область деятельности хороших людей ..... (автор неизвестен).


Но по духу всё-же мне оказались близки следующие:


Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.
(Альберт Эйнштейн)

Существует поразительная возможность овладеть предметом математически, не поняв существа дела.
(Альберт Эйнштейн)

Математика - это единственный совершенный метод водить самого себя за нос.
(Альберт Эйнштейн)

С тех пор как за теорию относительности принялись математики, я ее уже сам больше не понимаю.
(Альберт Эйнштейн)

Математика - это фундаментальная абстракция, объединяющая и удерживающая элементы действительного мира.
(Максим Адлер)


Математические науки, естественные науки и гуманитарные науки могут быть названы, соответственно, науками сверхъестественными, естественными и неестественными.
(Лев Давидович Ландау)

Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания. (Давид Гильберт)

Чистая математика - это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим.
(Бертран Рассел)

Я считаю, что математика - это универсальный язык физики и чем ближе мы подходим к основам, тем больше мы используем математику; и наоборот: чем больше математики, тем мы ближе к основам.
(Академик Людвиг Фаддеев.)

Ключевой вопрос математики: не все ли равно?
(Шендерович)


Более того, есть еще множество других мнений и высказываний, противоречащих этим.
В связи с чем любой спор о «теоретической возможности» чего-либо не имеет ни какого смысла. Потому как он превращается в спор о вере.
Да и тема это совсем другая.

А по теме: поручила на работе нескольким специалистам подготовить предложения по разработке канала связи с полосой пропускания 1 Гц.
Пусть работают, шенноновцы такие-сякие….

До свидания.

[=GM=]

Ну хорошо, раз вы все понимаете, объясните мне разницу между u0(2) и u0(n-2). И заодно определите u0(2), как u0(n).
Я понимаю смысл, что рабинер-голд хотели сказать, это просто цифровой вариант функции Хевисайда, но вот формула этого не показывает.

Формула 2.2 :

Код

            | 1, n=0
   u0(n) = {
            | 0, n <>0

Мы знаем, что это дискретный сигнал, следовательно n принадлежит Z, и область определения u0(n) есть Z.

Из формулы видны все свойства ф-ции u0(n).
1) Ее область значений есть {0, 1}
2) u(0) = 1
3) u(-2)=u(2)=u(от_любого_другого_n_из_Z) = 0

Далее рассматриваем сумму для n от минус бесконечности до N. Пока N меньше нуля, все значения функции u0 нулевые, сумма кучи нулей равна нулю. Для N=0 и больше в сумму попадает u0(0), который равен 1. Для N больших нуля, как и для отрицательных N, значение u0(n) равно опять нулю. Отсюда эта сумма для N<0 равна нулю, для N>=0 равна 1.

Разница между u0(-2) и u0(2) такая, что это значения функции от разных аргументов. Значения одинаковые, нулевые, а аргументы разные. u0(2) это и есть u0(n) для n=2.

Спасибо, теперь я понял.

Эквивалент формулы (2.5) в непрерывном времени будет интеграл по времени от функции Дирака с пределами от минус бесконечности до Т. Если T<0, то интеграл равен 0, если T>0, то интеграл равен 1.

[SM]

Эквивалент формулы (2.5) в непрерывном времени будет интеграл по времени от функции Дирака с пределами от минус бесконечности до Т. Если T<0, то интеграл равен 0, если T>0, то интеграл равен 1.

Да и вообще - функция Хэвисайда по одному из ее определений является первообразной для дельты. Только вот я недопонимаю что там со значением в нуле, официально там 1/2, но как я понимаю определение через первообразную дельты этого не говорит.

[729]

[quote name='Oldring' date='Jan 25 2007, 15:10' post='201505']
Разве есть мое или Ваше L2?
Несколько взаимно ортогональных проекций объединяем в вектор. Каждый компонент этого вектора - функция из некоторого подпространства L2.
[quote]
«Ваше» L2 одномерно, «моё» L2 нет.
И опять тот же вопрос – у Вас проекция скаляр, вектор или функция? Если последнее, то введите, пожалуйста, понятие проекции, как функции из L2.
Пожалуйста, не думайте, что я зануда, или все эти вопросы являются следствием недавней перепалки в ветке про глушилки. Я просто хочу понять смысл написанного Вами:

«Мысль проста. Существует пространство одномерных сигналов - L2. Давайте сейчас для простоты ограничимся проецированием только в ортогональные подпространства. Можно спроецировать сигнал из L2 на несколько ортогональных подпространств - но проекции будут взаимно ортогональными и будет существовать одномерный сигнал, проекциями которого они являются. Если же мы объединим два независимых сигнала в один вектор - компоненты этого вектора не обязательно будут ортогональными и не будет существовать одномерный сигнал, проекциями которого они являются. То есть это существенно разные случаи.»

[quote name='Oldring' date='Jan 24 2007, 23:38' post='201235']
Хотите сказать, что последовательность не есть функция с областью определения Z (или может быть N)? Могу Вас отослать к определению 1 на странице 22 первого тома горячо любимого мною учебника матанализа Кудрявцева. И, кстати, название l2 для соответсвующего пространства действительных функций над Z - стандартное. Действительные функции или комплексные - действительно, не особо важно. Для простоты я взял действительные.
[/quote]
Я этого не хочу сказать. Функции непрерывного времени имел в виду. Прошу прощения, не уточнил.

[quote name='Oldring' date='Jan 24 2007, 23:38' post='201235']
Что Вы называете дискретизированным по времени сигналом? Очевидно, не функцию над Z, то есть последовательность, раз Вы упомянули про перематывание дискретизированного сигнала "из L2"? L2 -это пространство функций над R, а не над Z.
[/quote]
Очевидно нет. Дискретизированным по времени сигналом называют некую функцию непрерывного времени. Это не я так называю. Это, например, Рабинер с Гоулдом, так называют. И не только они. И именно её спектры считают.

[Oldring]

Но прежде, чем Вас покинуть, хочу сказать, что обвинение в непризнании существования «чистой» математики я перенесла тяжело.
...

Что и требовалось доказать. Все свелось к непониманию и неприятию математики как таковой.

Кстати, выдергивая цитаты из контекста можно доказать что угодно. Кто-то пошутил - а Вы это потом пытаетесь приводить в качестве серьезного доказательства.

[Oldring]

«Ваше» L2 одномерно, «моё» L2 нет.

Заблуждаетесь. Мое L2 тоже многомерно.

Очевидно нет. Дискретизированным по времени сигналом называют некую функцию непрерывного времени. Это не я так называю. Это, например, Рабинер с Гоулдом, так называют. И не только они. И именно её спектры считают.

Врете. У меня тоже есть копия Рабинера с Голдом. Страницы 18-19.

P.S. Вы просили ссылку на литературу? Кудрявцев, третий том, глава "функциональные пространства".
Проекция в линейное подпространство можно определять стандартно - как ближайший элемент из этого подпространства к заданному вектору. Признаюсь: тонкую разницу между Гильбертовыми и Лебеговыми пространствами я уже подзабыл - но если сможете доказать, что в L2 проекция существует не всегда - лишь тогда захочу потратить еще время на эту беседу. Пересказывать здесь учебник полностью в мои планы все-таки не входит. Впрочем, раскладывать один сигнал на ортогональные компоненты предлагал не я - поэтому всегда можно ограничиться только "хорошими" подпространствами, для которых эта операция определена строго.

[Oldring]

Эквивалент формулы (2.5) в непрерывном времени будет интеграл по времени от функции Дирака с пределами от минус бесконечности до Т. Если T<0, то интеграл равен 0, если T>0, то интеграл равен 1.

Да и вообще - функция Хэвисайда по одному из ее определений является первообразной для дельты. Только вот я недопонимаю что там со значением в нуле, официально там 1/2, но как я понимаю определение через первообразную дельты этого не говорит.

Ну, если определять функцию Хевисайда как первообразную для дельта-функции - то она сама будет являться обобщенной функцией, и поэтому, вообще говоря, не будет иметь значения в отдельных точках оси.

А по теме: поручила на работе нескольким специалистам подготовить предложения по разработке канала связи с полосой пропускания 1 Гц.
Пусть работают, шенноновцы такие-сякие….

Вы, кстати, видимо упустили предложенный мною метод создания физически реализуемого канала с полосой 1 Гц и пропускной способностью 1 гигабит в секунду. Вы ведь не возражаете против создания канала с полосой 1 герц и пропускной способностью 1 бит в секунду? Ну так объедините 1 миллиард таких каналов впараллель - кабель, конечно, получится толстым, но такой канал, очевидно, реализуем. Соотношение сигнал/шум будет равно сумме мощностей сигналов деленной на сумму мощностей шума - то есть равна соотношению сигнал/шум одного канала. Частотная полоса тоже ограничена одним герцом. Так что все совершенно реально за обозримые деньги.

И, кстати, если уж на то пошло - то Вы сами владеете несколькими каналами с несколько худшими параметрами - но зато лично Вашими, передающими не менее нескольких десятков килобит информации в секунду в полосе несколько десятков герц. Это Ваши зрительные и слуховые нервы.

[729]

Признаюсь: тонкую разницу между Гильбертовыми и Лебеговыми пространствами я уже подзабыл - но если сможете доказать...

Первый раз встречаю "Лебеговы пространства". Поподробнее про них можно?
Ну а если Ваши рассуждения относятся к Гильбертовым пространствам, то там проекция есть скаляр, а не вектор и не функция. Определение проекции на пространство или подпространство в Гильбертовых пространствах я не встречал. Если дадите ссылку на литературу, то буду очень признателен.
К сожалению, у меня есть только двухтомник Кудрявцева, и нет трехтомника. Но ничего, есть Колмогоров с Фоминым. Надеюсь, что за последние 20 лет оные авторы не передумали.

Про Рабинера с Гоулдом ей богу не вру То, что они называют последовательностями, относится именно к непрерывному сигналу, о чем говорят все из последующие выводы. Было бы очень странным видеть интеграл в формуле 2.62 в пространстве l2:) Ну а вывод 2.65 вообще ни в какие ворота лезет.

Ссылку на литературу не я просил.

Если L2 многомерно, то как понимать Ваши фразы:
«Да, одномерный сигнал - это функция из L2.»
и
«Существует пространство одномерных сигналов - L2.»
Вероятно, под одномерностью Вы тут подразумеваете время, ну или ось х?

[Oldring]

Первый раз встречаю "Лебеговы пространства". Поподробнее про них можно?

Я же говорю, я сам уже подзабыл детали. Давно я это все изучал. Вероятно на досуге освежу - сейчас могу лишь отослать к 3-му тому Кудрявцева. В нем утверждается, что L2 - это нее что иное как именно Лебегово пространство.

Ну а если Ваши рассуждения относятся к Гильбертовым пространствам, то там проекция есть скаляр, а не вектор и не функция. Определение проекции на пространство или подпространство в Гильбертовых пространствах я не встречал. Если дадите ссылку на литературу, то буду очень признателен.
К сожалению, у меня есть только двухтомник Кудрявцева, и нет трехтомника. Но ничего, есть Колмогоров с Фоминым. Надеюсь, что за последние 20 лет оные авторы не передумали.

Нет. Оператор проекции на подпространство в линейном пространстве - это не функционал, а именно оператор, у него область значения есть подпространство. Кудрявцев, 3-й том, стр. 251, Теорема 15 - теорема о существовании и единственности ортогональной проекции на подпространство Гильбертова пространства. Конечно, не Кудрявцев сам придумал это все

Впрочем, пожалуй, по поводу L2 я переборщил. Опасно слишком вольно обращаться с бесконечностями. Кроме того, для каналов важны дополнительные ограничения - вроде частотной полосы. Если ограничена полоса - тогда все гораздо более очевидно. По теореме Котельникова размерность сигнала строго ограниченного по частоте и примерно ограниченного по времени как векторного пространства над полем действительных чисел конечна - следовательно, если мы спроецируем этот сигнал в два ортогональных подпространства чтобы получить две ортогональные компоненты, то их суммарная размерность не может превышать размерность исходного сигнала со всеми вытекающими последствиями.

Про Рабинера с Гоулдом ей богу не вру То, что они называют последовательностями, относится именно к непрерывному сигналу, о чем говорят все из последующие выводы. Было бы очень странным видеть интеграл в формуле 2.62 в пространстве l2:) Ну а вывод 2.65 вообще ни в какие ворота лезет.

Врете, врете. "Дискретные сигналы определяются лишь для дискретных значений переменной - времени." Ну и далее по тексту. Рабинер-Голд, стр. 18. Что он дальше пытается вытворять - пусть это остается на его совести. IMHO это лишь говорит о том, что книга писалась "для инженеров" за счет математической строгости. Впрочем, там не все так плохо, как увидели Вы - обратите внимание, что там есть спектр, обозначенный буквой "X" и спектр, обозначенный символом "Xн".

Если L2 многомерно, то как понимать Ваши фразы:
«Да, одномерный сигнал - это функция из L2.»
и
«Существует пространство одномерных сигналов - L2.»
Вероятно, под одномерностью Вы тут подразумеваете время, ну или ось х?

Понимать нужно было в том смысле, что два разных сигнала - это больше чем один сигнал, а две проекции одного сигнала - это не больше чем один сигнал. Вообще говоря, у меня появились сомнения, что это верно даже для L2 без ограничения частотой полосы - нужно подумать.

[asdf]

Вы, кстати, видимо упустили предложенный мною метод создания физически реализуемого канала с полосой 1 Гц и пропускной способностью 1 гигабит в секунду. Вы ведь не возражаете против создания канала с полосой 1 герц и пропускной способностью 1 бит в секунду? Ну так объедините 1 миллиард таких каналов впараллель - кабель, конечно, получится толстым, но такой канал, очевидно, реализуем. Соотношение сигнал/шум будет равно сумме мощностей сигналов деленной на сумму мощностей шума - то есть равна соотношению сигнал/шум одного канала. Частотная полоса тоже ограничена одним герцом. Так что все совершенно реально за обозримые деньги.

Так никто не спорит что по N наналам можно передать в N раз больше информации, чем по одному.
С моей точки зрения разговор шел об ограничениях в одном канале.
Если не ошибаюсь, Вы сами отделяли передачу в ортогональных пространствах от передачи ортогональных сигналов в одном пространстве, на что вобщем то и накладываются ограничения.