Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 17 2018, 18:09)
Да. Но как его брать?
ЕМНИП, через
вычеты.
У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться
теоремой Коши.
Метод такой:
Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.
По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.
Вычет в точке x = 0 равен нулю.
Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.
Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.
Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x
2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.
Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.
Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.
В итоге получаете:
ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.
Если ничего не напутал..