реклама на сайте
подробности

 
 
2 страниц V   1 2 >  
Reply to this topicStart new topic
> Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть?, Чистая математика
Дмитрий_Б
сообщение Jul 17 2018, 14:29
Сообщение #1


Местный
***

Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195



В приложении формула.
Эскизы прикрепленных изображений
Прикрепленное изображение
 
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Serge V Iz
сообщение Jul 17 2018, 14:46
Сообщение #2


Частый гость
**

Группа: Участник
Сообщений: 142
Регистрация: 3-05-18
Пользователь №: 103 639



Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
blackfin
сообщение Jul 17 2018, 14:59
Сообщение #3


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261



Преобразование Гильберта
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Дмитрий_Б
сообщение Jul 17 2018, 15:09
Сообщение #4


Местный
***

Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195



Цитата(Serge V Iz @ Jul 17 2018, 18:46) *
Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено.

Похоже. Ну, положим, там дельта - функция. А на остальной оси?

Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 18:59) *

Да. Но как его брать?
Go to the top of the page
 
+Quote Post
blackfin
сообщение Jul 17 2018, 15:28
Сообщение #5


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261



Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 17 2018, 18:09) *
Да. Но как его брать?

ЕМНИП, через вычеты.

У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши.

Метод такой:

Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.

По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.

Вычет в точке x = 0 равен нулю.

Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.

Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.

Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.

Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.

Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.

В итоге получаете:

ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.

Если ничего не напутал.. biggrin.gif
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Дмитрий_Б
сообщение Jul 17 2018, 17:07
Сообщение #6


Местный
***

Группа: Участник
Сообщений: 211
Регистрация: 25-10-09
Пользователь №: 53 195



Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 19:28) *
ЕМНИП, через вычеты.

У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши.

Метод такой:

Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.

По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.

Вычет в точке x = 0 равен нулю.

Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.

Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.

Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.

Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.

Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.

В итоге получаете:

ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.

Если ничего не напутал.. biggrin.gif

Идея понятна.
Есть тут неприятность: теорема о вычетах требует, чтобы на контуре интегрирования не было полюсов - а они как раз на действительной оси.
Нас интересует интеграл вдоль действительной оси - это должно быть нижней стороной контура при обычном обходе против часовой стрелки.
Другие стороны (будь то прямоугольник или пол-окружности) должны быть бесконечно удалены от 0. Метод работает, если подинтегральная функция комплексного аргумента стремится по модулю к 0 при стремлении к бесконечности модуля комплексного аргумента.
И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.

И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
blackfin
сообщение Jul 17 2018, 17:24
Сообщение #7


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261



Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 17 2018, 20:07) *
И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.

Ну, там со сменой направления интегрирования не все так просто, как выяснилось.. wink.gif

Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 17 2018, 20:07) *
И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.

Экспоненциальный рост функции sin(x) при x -> 0±i*∞ при указанном выше пути интегрирования нас, вроде, волновать не должен.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
blackfin
сообщение Jul 17 2018, 19:59
Сообщение #8


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261



В итоге получается так:
[attachment=113606:Hilbert_1.jpg]
[attachment=113607:Hilbert_2.jpg]
UPD: Исправил ошибки.. biggrin.gif

То есть, искомый интеграл равен:

I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
mcheb
сообщение Jul 18 2018, 00:23
Сообщение #9


Местный
***

Группа: Участник
Сообщений: 326
Регистрация: 30-05-06
Пользователь №: 17 602



Цитата(Дмитрий_Б @ Jul 17 2018, 18:29) *
В приложении формула.

Если w -> Real ,то не сходится
Go to the top of the page
 
+Quote Post
blackfin
сообщение Jul 18 2018, 04:18
Сообщение #10


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261



Цитата(mcheb @ Jul 18 2018, 03:23) *
Если w -> Real ,то не сходится

Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю.

PS. Кстати, формула, похоже, верна и в точке ω = 0.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
mcheb
сообщение Jul 18 2018, 05:05
Сообщение #11


Местный
***

Группа: Участник
Сообщений: 326
Регистрация: 30-05-06
Пользователь №: 17 602



Цитата(blackfin @ Jul 18 2018, 08:18) *
Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю.


Для такого y = inline ("sin(x)/x/(3-x)");
[q, ier, nfun, err] = quad (y,-1000000000., 1000000000.)
Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP
Go to the top of the page
 
+Quote Post
blackfin
сообщение Jul 18 2018, 05:26
Сообщение #12


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261



Цитата(mcheb @ Jul 18 2018, 08:05) *
Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP

А она умеет вычислять главное значение интеграла по Коши?

PS. Кстати, в английской версии Wiki есть табличка с готовыми формулами для преобразования Гильберта sinc-функции.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
thermit
сообщение Jul 18 2018, 06:28
Сообщение #13


Знающий
****

Группа: Участник
Сообщений: 781
Регистрация: 3-08-09
Пользователь №: 51 730



Цитата(blackfin @ Jul 17 2018, 22:59) *
В итоге получается так:
[attachment=113602:Hilbert.jpg]

UPD: Полученный результат таки нужно поделить на два, так как путь интегрирования проходит через оба полюса.

То есть, искомый интеграл равен:

I(ω) = [1+ cos(ω)]/[2*ω].


Не правильно.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
blackfin
сообщение Jul 18 2018, 07:35
Сообщение #14


Гуру
******

Группа: Свой
Сообщений: 3 106
Регистрация: 18-04-05
Пользователь №: 4 261



Цитата(thermit @ Jul 18 2018, 09:28) *
Не правильно.

Исправил. См. выше..
Go to the top of the page
 
+Quote Post
thermit
сообщение Jul 18 2018, 08:15
Сообщение #15


Знающий
****

Группа: Участник
Сообщений: 781
Регистрация: 3-08-09
Пользователь №: 51 730



Да.
Go to the top of the page
 
+Quote Post

2 страниц V   1 2 >
Reply to this topicStart new topic
2 чел. читают эту тему (гостей: 2, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 


RSS Текстовая версия Сейчас: 14th August 2022 - 15:33
Рейтинг@Mail.ru


Страница сгенерированна за 0.02354 секунд с 7
ELECTRONIX ©2004-2016