диэлектрическая проницаемость проводника, нужно ли учитывать ток смещения? Опции

[powerZ]

При записи закона полного тока (одного из уравнений Максвелла)
rot(H)=J+εdE/dt
имеем второй член в правой части, называемый током смещения. Нужно ли учитывать его в проводнике? Если нет - то почему? Если да, то каково значение диэлектрической проницаемости проводника, например меди? Если в случае проводника должен использоваться только первый член J, то в каких случаях используются оба члена?

[Andrew10]

Для очень медленных (квазистационарных) процессов ток смещения можно не учитывать. На высоких частотах, например для расчета скин эффекта - нужно учитывать, только при этом эффект и получится.

[SSerge]

При записи закона полного тока (одного из уравнений Максвелла)
rot(H)=J+εdE/dt
имеем второй член в правой части, называемый током смещения. Нужно ли учитывать его в проводнике? Если нет - то почему? Если да, то каково значение диэлектрической проницаемости проводника, например меди? Если в случае проводника должен использоваться только первый член J, то в каких случаях используются оба члена?

Можно, но не нужно
Для проводников с большой проводимостью б второй член слишком мал пока справедливо квазистатическое приближение. А для более высоких частот вводят понятие комплексная диэлектрическая проницаемость чтобы учесть сразу и ε и б.
Посмотрите в Ландавшице, том 8, параграф 75, в окрестности формулы (75,10).
Ещё одна полезная книжка:
Каценеленбаум_Б.3._Высокочастотная_электродинамика._Основы_математического_аппар
ата._1966
есть на http://techlibrary.ru

[Andrew10]

Можно, но не нужно
Для проводников с большой проводимостью б второй член слишком мал пока справедливо квазистатическое приближение. А для более высоких частот вводят понятие комплексная диэлектрическая проницаемость чтобы учесть сразу и ε и б.

Говорить, что не нужно учитывать, не совсем корректно, правильнее сказать, что его уже учли, если используется комплексная диэлектрическая проницаемость. Она возникает, если оставлять оба слагаемых в правой части уравнения для $rot H$.

[powerZ]

Хорошо, я попробовал оценить влияние второго члена, исходя из значения диэлектрической проницаемости вакуума. Получилось, что вплоть до частот порядка 10^18 Гц (а это на три порядка больше частоты видимого света) вклад тока смещения пренебрежимо мал. То есть можно не беспокоиться. Но вот всё же (для полной уверенности) хотелось бы узнать реальное значение относительной диэлектрической проницаемости для меди например. Сколько?

[Andrew10]

Для металлов можно считать, что диэлектрическая проницаемость почти чисто мнимая, ток смещения действительно гораздо меньше чем ток проводимости, но для вывода формулы для $\epsilon$ проницаемости нужно сначала учесть оба слагаемых, а потом выкинуть в окончательном результате действительную часть.

$\epsilon = \sigma/(j \omega \epsilon_0) $

\sigma - проводимость, \omega - круговая частота , \epsilon_0 - диэл. проницаемость вакуума.

[powerZ]

Для металлов можно считать, что диэлектрическая проницаемость почти чисто мнимая, ток смещения действительно гораздо меньше чем ток проводимости, но для вывода формулы для $\epsilon$ проницаемости нужно сначала учесть оба слагаемых, а потом выкинуть в окончательном результате действительную часть.

$\epsilon = \sigma/(j \omega \epsilon_0) $

\sigma - проводимость, \omega - круговая частота , \epsilon_0 - диэл. проницаемость вакуума.

Вы по-моему просто расписали мнимую часть выражения для случая гармонических токов и объявляете её как значение эпсилон. Но взляните на уравнение в моем первом посте. Где там говорится о гармонических токах? Просто дифференциальное уравнение. Откуда ТАМ мнимые единицы? Они позже появляются. Короче из Вашего сообщения я заключил, что вы считаете относительную проницаемость в меди, равной единице, как в вакууме.

[Andrew10]

1. Прежде всего должен признать, что мои предыдущие заявления про скин эффект неправильные Он, конечно, будет и в квазистационарном случае, когда ток смещения в уравнении для rot H выкинуть, а производную магнитного поля в уравнении для rot E оставить! Так что прошу прощения...

2. Теперь про ток смещения. В металлах его можно выкинуть, вы сами провели правильную оценку, до каких частот это можно сделать.

3. Диэлектрическая проницаемость металлов. В первом Вашем посте формула немного неверна. \epsilon должна быть под производной по времени и, вообще говоря, должна рассматриваться как интегральный оператор, действующий на электрическое поле, чтобы получить вектор электрической индукции. \epsilon можно считать просто числом в двух случаях, если в том частотном интервале, в котором сосредоточен спектр сигнала, диэл. проницаемость слабо зависит от частоты, или если рассматривается поле на одной частоте. Во втором случае для оценки действительно части диэл. проницаемости можно считать, что электроны проводимости в металле являются свободными, и использовать формулу для диэл. проницаемости плазмы в случае продольных (ленгмюровских колебаний): $\epsilon = 1-(\omega_p/\omega)^2$ Здесь \omega_p2=(e^2 n/(m \epsilon_0) - квадрат плазменной частоты, $e$ и $m$ - заряд и масса электрона, n - невозмущенная плотность электронов.

Всего наилучшего!

[powerZ]

Прежде всего должен признать, что мои предыдущие заявления про скин эффект неправильные

Да ладно, я и не заметил даже

$\epsilon = 1-(\omega_p/\omega)^2$ Здесь \omega_p2=(e^2 n/(m \epsilon_0) - квадрат плазменной частоты, $e$ и $m$ - заряд и масса электрона, n - невозмущенная плотность электронов.

Попробуем применить полученные сведения на практике. Так. Заряд электрона 1.6e-19, масса 9.1e-31,
диэлектрическая проницаемость вакуума 8.85e-12 (всё в СИ, поэтому без обозначений). Небольшой затык в "невозмущенной плотности электронов". Ну ладно, пусть это будут электроны проводимости в меди. Точно не уверен, но допустим это валентные электроны. Для надежности возьмем по две штуки с атома. Тогда n будет где-то 2.8e5 (при плотности меди 8.9e3 и атомной массе 63.54). Получается искомая эпсилон на частоте 100кГц около 0.998. Вроде приемлемо. Но почему по этой же формуле при 10 кГц получается 0.774, а при 1 кГц вообще -21! А на нулевой частоте - минус бесконечность будет? Какая-то странная зависимость от частоты получается.

Сообщение отредактировал powerZ - Oct 18 2007, 13:21

[Andrew10]

Что-то плотность носителей маловата получилась. Типичное значение для металлов - 10e22/см^3

[powerZ]

Да, это я забыл на число Авогадро умножить. Тогда получается n=8.4e28 (считаем всё-таки, что действует один электрон с атома, т.к. у меди один электрон на внешней орбитали). Что вполне согласуется с приведённым Вами типичным значением 10e22/(0.01^3)=1e29 шт/м^3. Но тогда вообще получается странный результат: к примеру на частоте 1кГц имеем epsilon=-8e24 !?

[Alex255]

1. Прежде всего должен признать, что мои предыдущие заявления про скин эффект неправильные Он, конечно, будет и в квазистационарном случае, когда ток смещения в уравнении для rot H выкинуть, а производную магнитного поля в уравнении для rot E оставить! Так что прошу прощения...

2. Теперь про ток смещения. В металлах его можно выкинуть, вы сами провели правильную оценку, до каких частот это можно сделать.

3. Диэлектрическая проницаемость металлов. В первом Вашем посте формула немного неверна. \epsilon должна быть под производной по времени и, вообще говоря, должна рассматриваться как интегральный оператор, действующий на электрическое поле, чтобы получить вектор электрической индукции. \epsilon можно считать просто числом в двух случаях, если в том частотном интервале, в котором сосредоточен спектр сигнала, диэл. проницаемость слабо зависит от частоты, или если рассматривается поле на одной частоте. Во втором случае для оценки действительно части диэл. проницаемости можно считать, что электроны проводимости в металле являются свободными, и использовать формулу для диэл. проницаемости плазмы в случае продольных (ленгмюровских колебаний): $\epsilon = 1-(\omega_p/\omega)^2$ Здесь \omega_p2=(e^2 n/(m \epsilon_0) - квадрат плазменной частоты, $e$ и $m$ - заряд и масса электрона, n - невозмущенная плотность электронов.

Всего наилучшего!

1. В квазистационарном случае никакого скин эффекта не будет.
2. Оценка не очень правильная. Составляющую типа тока смещения (в смысле сдвига фазы) придется учитывать при частотах порядка частоты плазменного резонанса (в том числе и меньше ее). Типичные энергии плазмонов в металле - 10эВ, что соответствует частотам порядка 10^15-10^16Гц. В щелочных металлах вообще есть область прозрачности в ближнем УФ диапазоне.
3. Эпсилон - это никакой не оператор.

Да, это я забыл на число Авогадро умножить. Тогда получается n=8.4e28 (считаем всё-таки, что действует один электрон с атома, т.к. у меди один электрон на внешней орбитали). Что вполне согласуется с приведённым Вами типичным значением 10e22/(0.01^3)=1e29 шт/м^3. Но тогда вообще получается странный результат: к примеру на частоте 1кГц имеем epsilon=-8e24 !?

Ничего странного. Проводимость можно представить комплексной величиной, при этом ее мнимая часть будет обратно пропорциональна эпсилон, то есть мала при низких частотах

[powerZ]

Ничего странного. Проводимость можно представить комплексной величиной, при этом ее мнимая часть будет обратно пропорциональна эпсилон, то есть мала при низких частотах

Мне кажется тут Вы ошибаетесь - не обратно, а прямо пропорциональна! Поэтому такой результат и удивляет.

1. В квазистационарном случае никакого скин эффекта не будет.

Не знаю, что Вы подрузамеваете под квазистационарным случаем, но без учета тока смещения скин эффект прекрасно получается.

Сообщение отредактировал powerZ - Oct 24 2007, 07:57

[Alex255]

Мне кажется тут Вы ошибаетесь - не обратно, а прямо пропорциональна! Поэтому такой результат и удивляет.
Не знаю, что Вы подрузамеваете под квазистационарным случаем, но без учета тока смещения скин эффект прекрасно получается.

Да, прямо пропорциональной, это мне визуально эпсилон0 внизу вспомнилась. Похоже просто в формуле перепутаны Wp и W.
Ток смещения в скин эффекте не нужен, послкольку скин-эфф. проявляется существенно на более низких частотах (чем 10^15). Но причем здесь стационарный процесс простите? И чем он тогда будет нестационарен если учесть ток смещения?

[Andrew10]

1. В квазистационарном случае никакого скин эффекта не будет.
2. Оценка не очень правильная. Составляющую типа тока смещения (в смысле сдвига фазы) придется учитывать при частотах порядка частоты плазменного резонанса (в том числе и меньше ее). Типичные энергии плазмонов в металле - 10эВ, что соответствует частотам порядка 10^15-10^16Гц. В щелочных металлах вообще есть область прозрачности в ближнем УФ диапазоне.
3. Эпсилон - это никакой не оператор.

Ток смещения в скин эффекте не нужен, послкольку скин-эфф. проявляется существенно на более низких частотах (чем 10^15). Но причем здесь стационарный процесс простите? И чем он тогда будет нестационарен если учесть ток смещения?

Квазистационарные процессы - принятая в электродинамике терминология. Учитывается закон индукции, но не учитывается ток смещения. В книжке Тамма, например, теория скин эффекта завершает главу с названием "Квазистационарное электромагнитное поле".

Если в среде существенны процессы временной или пространственной дисперсии (или и те и другие вместе), то поляризация зависит не от мгновенного значения электрического поля, а от поведения поля во все предыдущие моменты времени (на интервалах, сравнимых с обратными значениями характерных частот), и не только от значения поля в данной точке, а от значений в соседних точках тоже. В этом случае \epsilon не число, а ядро интегрального оператора. См. Ландау-Лифшица, Электродинамика сплошных сред.