Баланс мощности в импульснике, Говорят, что импульсники эффективнее. Математическое опровержение. Опции

[javalenok]

Среднее значение величины u(t) за период T принято записывать деля площадь на длину периода:
Uav1 = int{0..T}u(t)dt / T
Пусть импульсник аппроксимирует u(t), коммунируя нагрузку с источником напряжения U0 на долю периода Ton/T, так что среднее значение Uav2 = U0 * Ton/T. Понятно, что Ton должно быть таким, чтобы средние сошлись.

Но кто сказал, что совпадение средних напряжений даст совпадение мощностей? Ведь мощность пропорциональна квадрату напряжения! В случае постоянной нагрузки мощность P = U^2/R (усилители выдают переменный сигнал на пост. нагр. в отл. от источников пит., кот. выдают пост. напр. на перем. нагр.). А суммы (интегралы) квадратов, в общем, не равны квадратам интегралов.

Давайте рассмотрим простейший случай u(t) = U0 / k, то есть когда напряжение на выходе на протяжении какого-то периода T постоянно и равно k-й доле максимального U0 (ключ коммутирует на нагрузку либо 0 либо U0). T_on можно вычислить сравнивая средние:
Uav2 = Uav1
U0 * Ton/T = U0/k, откуда Тon = T/k, что логично.

При данном напряжении u(t), эталон будет передавать в нагрузку мощность P(t) = (U0/k)^2/R в каждый момент времени. Она же и будет средней.

Импульсник же выдаст мощность Pon = U0^2/R на протяжении времени Ton = T/k. То есть, в среднем, Pav2 = U0^2/R * Ton / T = U0^2/ (R*k) = P(t) * k.

Мы доказали, что Pav2 = k * P(t), то есть импульсы передают в среднем в k раз больше энергии в нагрузку чем идеальный усилитель, при том же среднем напряжении. Понятно, что в крайних случаях когда k=1 (Uср=U0) и k=беск. (Uср = 0) мощности будут равнятся и максимальные выбросы лишней относительно идеала энергии получаются посредине между 0 и U0, когда Uср=U0/2. Известно, что идентичными потерями обладает линейник B-класса (жгёт энергию когда Uвых = Uвх/2). Разве что в линейники выделяют излишки на себе, а импульсники всё передают нагрузке.

Получается, что потери без сглаживающего импульсы фильтра неизбежны? Как спроектировать правильный фильтр?