Почему не работает теоремма Котельникова при F = 1/2Fs Опции

[Oldring]

Не совсем. Надо бы еще единственность доказать. В смысле что приведенному вами определению соответствует одна и только одна ОФ - дельта-функция с точечным носителем.

Определение чего я привел? Дельта-функции как функционала, равного значению пробной функции в нуле? Вы знаете иное определение дельта-функции? Я доказал, что какова бы ни была дельта-функция, соответствующая этому определению, у неё будет точечный носитель из одной точки. И она, кстати, единственная очевидно, с точностью до области определения, так как для функционалов равенство означает равные значения на всём пространстве пробных функций. И заметьте, что я в качестве области определения использовал Q, а не R или C. Нужно, конечно, добавить требование, что Q содержит нуль, иначе будет неверно утверждение, что дельта отлична от нулевого функционала.

Я хочу определить интеграл от дельта-функции в пределах от -inf до 0. Согласно введенному Владимировым, да и не только им, это не интеграл, а предел интегралов дельта-образуюших функций.

Нельзя ли уточнить, в каком месте Владимиров даёт определение определённого интеграла от обобщенной функции? Определение первообразной - знаю, но, как и любая обобщенная функция, первообразная может не иметь значения в точке. Что и происходит с первообразной дельты в нуле. Поэтому определение определённого интеграла через разность значений первообразных на краях отрезка интегрирования не работает с обобщенными функциями очевидно.

[729]

Не обязательно предел функции равен ее значению. Мне вот больше нравится... Интегралы справа и слева равны 1. Если 0 включен. А что, если я буду представлять себе дельта-функцию (тоже как Вы) как предел, но только несимметричной относительно нуля функции. Тогда по Вашему методу могут получиться любые разные значения...
Вот, например, две ступеньки разной высоты... Или импульс с наклонной верхней частью, чтобы не думать, чему равна функция в нуле. Зубец пилы.
Идея понятна?

Тут предел уже не функции, а последовательности констант, или константы.
1. А они так и представляются - по-разному, кому как в голову взбредёт - кому симметричнго, кому спрнава, кому слева. Только вот при несимметричной дельта образующей последовательности функционал от основной функции (в обычном, не обобщенном смысле) НИКАК не будет равен значению функции в точке. А это уже нехорошо. Потому дельта(-х)=дельта(х).

[Oldring]

Только вот при несимметричной дельта образующей последовательности функционал от основной функции (в обычном, не обобщенном смысле) НИКАК не будет равен значению функции в точке. А это уже нехорошо. Потому дельта(-х)=дельта(х).

Вы сможете в подтверждение своего утверждения про "НИКАК" (но орать всё-таки не надо ) привести пример последовательности несимметричных абсолютно интегрируемых функций, площадь которых равна единице, на нулевом множестве дельты поточечно стремящихся к нулю, которые в пределе в смысле обобщенных функций сойдутся не к дельте?

[729]

Если позволите, то не буду цитировать.
Давайте я вам просто приведу примеры функций, не обязательно обобщенных, которые
для некоторых пространств пробных функций удовлетворяют приведенному вами
определению, но имеют неточечный носитель. Ограничимся областью определения R1.
Под "дельта" буду понимать функцию, удовлетворяющую определению, но не дельта-функцию Дирака.
1. Для всех пробных функций с ограниченным ПФ определению удовлетворяет
бесконечное множество взвешенных синков с "частотой" не менее некоторой.
2. Для вполне определенного подпространства пространства функций, заданных как
взвешенная сумма (в общем случае бесконечная по числу слагаемых) дельта-функций
Дирака, определению удовлетворяет бесконечное множество "дельт" вида
А*(дельта Дирака)+сумма(В_i*синк_i),
где синк_i - синки с "частотой" на некотором интервале ненулевой длины, сумма
может быть и бесконечна по числу слагаемых.
3. В общем случае, если ПФ пробной функции на оси частот содержит хоть один
отрезок ненулевой длины, на котором ПФ=0, то определению удовлетворяет
бесконечное множество "дельт", и можно показать, как они строятся. При этом
вполне может оказаться, что пробная функция и "дельта" - функции комплексные.

Владимиров как-то вообще не заморачивается определением определенного интеграла,
но совершенно спокойно определяет фукнкционал с дельтой Дирака, как предел дельта-
образующих последовательностей, в том числе и в ограниченных пределах (по моему
изданию, например, в разделе глава1, параграф 1.9 - "Замена переменных в обобщенных
функциях").

По поводу примера последовательности несимметричных функций с площадью, равной
1 и так далее, - предел по e->0 от дельта(e,t), равной 1/e при -e<=t<0 и
равной 0 при t<-e и t=>0.

[Oldring]

1. Для всех пробных функций с ограниченным ПФ определению удовлетворяет
бесконечное множество взвешенных синков с "частотой" не менее некоторой.

"Финитная пробная функция с ограниченным ПФ" - это ваше собственное изобретение, или оно встречается во Владимирове, например?
Начинает возникать ощущение, что вы строите какую-то свою собственую теорию обобщенных функций. Вам только осталось доказать её непротиворечивость. То есть, что у вас найдется хоть одна пробная функция вашего имени, отличная от нуля.

но совершенно спокойно определяет фукнкционал с дельтой Дирака, как предел дельта-
образующих последовательностей

Нет, формула 1.4 - определение дельта-функции как значение пробной функции в нуле. Никаких пределов последовательночстей. Есть доказательство сходимости некоторых последовательностей к дельте, но не как определение.

По поводу примера последовательности несимметричных функций с площадью, равной
1 и так далее, - предел по e->0 от дельта(e,t), равной 1/e при -e<=t<0 и
равной 0 при t<-e и t=>0.

Эта последовательность сходится к дельте, так как пробные функции непрерывные, и для любой пробной функции функционал стремится к значению пробной функции в нуле. Я же вас попросил привести пример последовательности, не сходящейся к дельте, то есть к значению пробной функции в нуле.

[729]

"Финитная пробная функция с ограниченным ПФ"

Где у меня это написано?

[Oldring]

Где у меня это написано?

У вас написано "для всех пробных функций с ограниченным ПФ".
А во Владимирове написано, что... Кстати, да, Владимиров использует термин "основные функции", что есть одно и то же. Так вот, согласно Владимирову, пространство основных функций - это "пространство финитных бесконечно дифференцируемых в Q функций". И про то, что пробные функции - обязательно финитные, написано наверное в любом учебнике по обобщеннам функциям, и это успользуется много где в доказательствах теорем.


И даже, если рассматривать не финитные, а быстро убывающие пробные функции, чтобы работать с ПФ обобщенных функций медленного роста - всё равно вам ничего не светит.
Потому что ваше замечание про существование у вас большого числа неотличимых от нуля синков, каждый из которых есть регулярная функция, как раз и означает ущербность вашего множества пробных функций, неспособного отличить друг от друга даже различные регулярные функции.

[729]

У вас написано "для всех пробных функций с ограниченным ПФ".
А во Владимирове написано, что... Кстати, да, Владимиров использует термин "основные функции", что есть одно и то же. Так вот, согласно Владимирову, пространство основных функций - это "пространство финитных бесконечно дифференцируемых в Q функций". И про то, что пробные функции - обязательно финитные, написано наверное в любом учебнике по обобщеннам функциям, и это успользуется много где в доказательствах теорем.

Или, согласно вашему утверждению, интеграл от дельта-функции Дирака в бесконечных пределах неопределён, ибо единица нефинитна. Я правильно понял?

И даже, если рассматривать не финитные, а быстро убывающие пробные функции, чтобы работать с ПФ обобщенных функций медленного роста - всё равно вам ничего не светит.
Потому что ваше замечание про существование у вас большого числа неотличимых от нуля синков, каждый из которых есть регулярная функция, как раз и означает ущербность вашего множества пробных функций, неспособного отличить друг от друга даже различные регулярные функции.

Позвольте, то, что я что-то пытаюсь построить новое, это ваши домыслы. Ничего я не хочу построить новое мили перестроить старое.
А, как вы его величаете, ущербное множество пробных функций, является подпространством функций медленного роста. Вы привели определение дельта-функции Дирака, и прочитали у Владимирова про её точечный носитель. Нет никаких вопросов. Только приведенное вами доказательство требует уточнения. Почему - я вам написал. Только и всего. Ну а то, что "дельт" для разных пространств может быть много, вы вроде и не спорите. И Владимирову это не противоречит.

По-моему, дискуссию можно завершать. Топикстартер ответ на свой вопрос получил, и, похоже, им проникся. Вы не возражаете?

Сообщение отредактировал 729 - Oct 7 2010, 14:11

[Oldring]

Или, согласно вашему утверждению, интеграл от дельта-функции Дирака в бесконечных пределах неопределён, ибо единица нефинитна. Я правильно понял?

А при чём тут финитность к первообразной обобщенной функции? Финитные - пробные функции.
Определён ли интеграл от дельта-функции в бесконечных пределах - зависит от определения определённого интеграла обобщенной функции. Первообразная - определена.

А, как вы его величаете, ущербное множество пробных функций, является подпространством функций медленного роста.

Не спорю, функций медленного роста. Но как пробные функции - они не годятся. Хотя бы потому, что пробными для пространства обобщенных функций медленного роста служат функции из пространства быстроубывающих функций, а ваши функции не являются быстроубывающими.

Вы не возражаете?

Ну я же не могу вас заставить продолжать столь увлекательную беседу.

[729]

Давайте продолжим. Но, если это не будет для вас чем-то не очень удобным, то в таком-же, как до сих пор, "медленном" темпе, просто очеь много работы.

[ViKo]

Эти "многие" могут попытаться задействовать для начала собственные мозги. Взять в руку карандаш, бумажку, сесть и спокойно подумать, как выглядят два отсчета на период и нет ли синусоид с разными амплитудами и фазами, которые по этим отсчетам неотличимы.

Вот - простое и правильное решение для понимания теоремы.

Рисуем синус, несколько периодов (не важно, просто, чтобы вспомнить, какой он, синус).
Рисуем точечки на синусе - выборки, с частотой ровно в 2 раза чаще, чем период синуса. С любым понравившимся сдвигом по фазе.
Теперь пытаемся нарисовать другие синусоиды, проходящие через те же точки. Гармоники не подходят, ибо они уже за пределами теоремы. Можем? Запросто. С той же частотой, только с другой фазой и амплитудой.
Теперь на том же синусе рисуем выборки чуть чаще. Пытаемся нарисовать другие синусоиды. Нет! Невозможно!

[thermit]

Ручкой и бумагой все владеют. Проблемы с владением матаном...

[Oldring]

Давайте продолжим. Но, если это не будет для вас чем-то не очень удобным, то в таком-же, как до сих пор, "медленном" темпе, просто очеь много работы.

Да ничего страшного.
Помнится, "частотно-ограниченную дельту" в виде синка пытался вводить Однобайтный, вот только его дырявые построения "для электронщиков" - это не обобщенные функции, и синк - это всё же не дельта.

[GetSmart]

Кто такой Однобайтный?

[729]

Если позволите, немного забегу назад, просто в качестве "придирки".

В посте №30 в диалоге с fontp вы написали "...базис Котельникова ортонормирован.".
Если вы имеете в виду функции Котельникова sin(pi*Fs*t)/(pi*Fs*t), то эта система функций орто, но ненормирована.
Нормированной будет система Fs*sin(pi*Fs*t)/(pi*Fs*t).

В посте №83 вы написали ==Кстати, помарка в этом доказательстве у Котельникова
всё-таки есть, так как он пишет про "интегрируемость", подразумевая "абсолютно
интегрируемость".==.
Помарки тут нет, всё очень четко. Иначе вы лишаете Котельникова возможности
проанализировать свой ряд на предмет финитности его (ряда) ПФ.

По поводу интеграла в бесконечных пределах от дельты Дирака. Первообразная тут
не причем, как и определённый интеграл от обобщенной функции, ибо не определён
пока. Но, поскольку дельта Дирака определяется как функционал, ставящий в
соответствие и так далее, то интеграла в бесконечных пределах от дельты Дирака
и есть тот самый функционал от основной функции f(x)=1, которая ни D, ни S
(пространству быстроубывающих) не принадлежит. "Хорошая" это основная функция,
или "плохая", судить не будем. Она непрерывна, что несколько облегчает жизнь,
но не является необходимым условием.

В вопросе о пробных функциях медленного роста, так приведённые мною примеры,
кроме одного, вообще к обобщенным функциям отношения не имеют. Но это не мешает
рассматривать "дельты" в виде синков как обобщенные - синк является
обобщенной функцией на пространстве S, которое состоит, например, из
преобразований Фурье атомарных функций. Так что вы зря так про синки.