Почему не работает теоремма Котельникова при F = 1/2Fs Опции

[Skaf]

Всем привет.

Я только приступаю к изучению ЦОС. Заметил такой факт- в теоремме написано, что частота дискретизации должны быть по крайней мере в 2 раза выше частоты спектра сигнала. Открываю матлаб, набираю там скриптик, где частота дискретизации ровно в 2 раза выше частоты сигнала

Код

t=0:1/8000:0.01;

f1=4000;

x = sin(2*pi*f1*t);

plot(t,x);

Получаю следующий график. Вопрос- почему сигнала практически нет? (10^-14)

Эскизы прикрепленных изображений

 

[MrYuran]

Ну и где удвоенная частота?

[Andron_]

потому что функцию неправильно задаете.

y = sin (2 * pi * F * t / Fd).

[Skaf]

Странно, нам на лекциях давали именно так...

[ataradov]

Странно, нам на лекциях давали именно так...

Записи аналогичны, просто нагляднее действительно так:
t = 0:100;
Fd = 8000;
F = 4000;
x = sin(2*pi*F * t / Fd);
plot(x);

А нули получаются из-за того, что вы всегда в 0 функции попадаете. Добавьте смещение по фазе:

x = sin(2*pi*F * t / Fd + 0.1);

PS: в теореме строгое неравенство.

Сообщение отредактировал Taradov Alexander - Oct 2 2010, 13:29

[V_G]

Вообще-то в теореме Котельникова неравенство строгое. Т.е. в 2 раза больше нельзя, а в 2.001 - можно. Причина строгого неравенства в том, что для исключения наложения спектров в случае равенства пришлось бы применить идеальный фильтр, которого не бывает. Даже цифрового.

[Skaf]

А нули получаются из-за того, что вы всегда в 0 функции попадаете. Добавьте смещение по фазе:

Да видимо в этом и причина. Спасибо.

[Microwatt]

Вообще-то в теореме Котельникова неравенство строгое. Т.е. в 2 раза больше нельзя, а в 2.001 - можно. Причина строгого неравенства в том, что для исключения наложения спектров в случае равенства пришлось бы применить идеальный фильтр, которого не бывает. Даже цифрового.

Да, суть в этом. При теоретической достаточности отсчетов 6800Гц в телефонии берут 8000.

[Aner]

Теорема Котельникова работает, точка! Как то давно в студеньчестве проверяли.
Тогда были доступны 6 порядков после запятой. При отношении 1,999999 не получили. При 2,000001 получили.
Но вот вопрос к студентам, а что же будет при ровном значении 2,000000?
Американцы проверяли при 9 порядках, теорема работает.
Но похоже новые поколения будут таже покушаться на эту теорему.

[Dr.Alex]

Теорема Котельникова работает, точка! Как то давно в студеньчестве проверяли.
Тогда были доступны 6 порядков после запятой. При отношении 1,999999 не получили. При 2,000001 получили.
Но вот вопрос к студентам, а что же будет при ровном значении 2,000000?
Американцы проверяли при 9 порядках, теорема работает.
Но похоже новые поколения будут таже покушаться на эту теорему.

Хорошая шутка!.. :-)))))))))))))))))

[rezident]

Шо, опять???!!! Была обширная тема в оффтопике про теорему Котельникова и ограниченность ее применения. Жаль не ищется поиском она что-то.
Суть ограничения теоремы в том, что там действительно неравенство строгое. Потому, что время в пределе при стремлении частоты сигнала к удвоенной частоте дискретизации стремится к бесконечности. То бишь, для восстановления частоты F при частоте дискретизации 2*F требуется бесконечно большое время.

[тау]

То бишь, для восстановления частоты F при частоте дискретизации 2*F требуется бесконечно большое время.

для абсолютно точного восстановления сигнала по любому потребуется бесконечно большое время.
но если спектр ограничен до Fs/2 , то с заданной точностью восстановить сигнал можно тем быстрее чем больше зазор

[rezident]

для абсолютно точного восстановления сигнала по любому потребуется бесконечно большое время.

Угу. А еще требуется, чтобы исходный сигнал был бесконечный во времени и бесконечное количество дискретных отсчетов

[тау]

Угу. А еще требуется, чтобы исходный сигнал был бесконечный во времени и бесконечное количество дискретных отсчетов

ну тада и 2TΩ ≤1 до кучи

[Oldring]

Теорема работает, но автор, очевидно, использует её неправильную формулировку. Потому что восстановить амплитуду синусоиды с частотой, равной половине дискретизации и произвольной фазой, по ровно двум отсчетам на период, невозможно очевидно.