Доброго времени суток!
Есть задача сделать эквалайзер для КВ канала на FPGA. Целевая система - SC-FDMA, соответсвенно предполагается использовать частотный эквалайзер (между большим и малым Фурье преобразованиями). Эквалайзер должен отрабатывать по одному короткому пакету (не более 40 ODFM символов), использование статистики по предыдущим суб-фреймам в общем случае не приветствуется. Для оценки канала используются 8 пилотных поднесущих на 64 поднесущих с данными. На интервале одного суб-фрейма канал считается квазистационарным (состав и мощность лучей не изменяются, но полюс замирания может перемещаться в спектре с некоторой скоростью).

В модели пробовал следующий метод:
- В пилотных позициях оценивается частотная характеристика канала (LS оценка)
- По полученным оценкам делается интерполяция фильтром Винера (64 комплексных фильтра 8 порядка на каждую поднесущую данных соответсвенно)
- Выравнивание OFDM символа с помощью полученных коэффициентов

Пробовал два варианта интерполяции:
- обновление коэффициентов фильтра Винера по каждому новому вектору пилотов
- рассчет т.н. несогласованного фильтра Винера, когда он вычисляется заранее при той или иной конфигурации канала без AWGN составляющей и его использования для любого вектора пилотов

По идее первый вариант должен был дать лучшее качество интерполяции, но я этого не заметил. Для рассчета автокорреляционной матрицы канала (в случае обновляющихся коэффициентов интерполятора) думал использовать первый OFDM символ, состоящий только из пилотов. Далее из этой матрицы строются автокорреляционная матрица и матрица взаимной корреляции, необходимые для рассчета интерполятора. Математика всей этой кухни есть например в Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Результат моделирования показал, что такая схема работает в случае плоских замираний, и в случае с замираниями до 10-15 дБ вполне удовлетворительно, не приводит к дополнительной деградации созвездия при низком SNR (как это может наблюдаться в случае LS оценки канала по всем поднесущим), НО при частотно-селективных замираниях 15-30 дБ (1-3 полюса) даже при высоких SNR не дает возможность работать на модуляциях выше BPSK.

Вопрос: тем кто сталкивался с Винеровской фильтрацией и OFDM эквалайзерами, в чем тут может быть принципиальная ошибка? Можно в данном случае найти оптимальный фильтр, который позволил бы работать на больших индексах модуляции в канале с частотно-селективными замираниями более 15 дБ? Если у кого уже был опыт борьбы с MMSE эквалайзерами, очень интересует способ оценки автокорреляционной матрицы канала и взаимо-корреляционной матрица, которые требуются для рассчета фильтра Винера. Может кто мог бы поделиться своими изысканиями в этой области
Это мой первый опыт построения эквалайзера, буду благодарен вашим советам!

Зачем FPGA для обработки сигнала с шириной полосы в несколько килогерц?



Значит нестационарный.



Может для начала попроще сделать? Имеем частотно-временную ленту канала, зондируем её пилотами, оцениваем и интерполируем 2D FIR ФНЧ, полосы по частоте и по времени определяются интервалами стационарности канала по частоте и по времени соответственно.

Что касается поднесущих попадающих в спектральные нули, то никакой информации там нет, тут надо не столько канал выравнивать, сколько правильно с помехоустойчивыми кодами работать.

Надо же! Кто-то уже делает SC-FDMA. Прикольно.. :-))

Так случилось, что я последние несколько дней в свободное время пытаюсь разобраться с этой технологией, но что-то пока не догоняю, откуда берётся преимущество перед офдм.
Трудно даже сформулировать конкрентный вопрос. Ну, попробуем так::

Если предположить, что "большое" и "малое" Фурье на самом деле равны, то на выходе будет то же, что и на входе, и всё теряет смысл. Если между FFT и IFFT отсчёты как-то переставить, то на выходе конечно будет уже другое, но смысл такого действия не ясен.
Таким образом вроде бы выходит, что должно быть какое-то определённое соответствие между большим и малым Фурье, и определённая перестановка отсчётов/частот между ними. Какие?

2 petrov : вариант с проще я себе представляю уже как сделать, есть интерес, пока сроки не поджимают посмотреть как работает MMSE и в чем там выгода. Кстати если уж речь пошла об обычной LS оценке + интерполяция с постоянными коэффициентами: пробовал в канале без шумов, даже зная частотную характеристику канала, при определенном сложении лучей выравнивание далеко от полного. Я себе представлял, что если шума нет, то, беря обратную характеристику канала, всегда можно получить передаваемые символы, т.е. при бесконечном SNR LS оценка является оптимальной и дает минимальную ошибку. Вопрос: возможно ли найти такой фильтр, который бы полностью убирал бы эффект замирания (при условии, что нет шумов, разумеется)? Или есть какое то ограничение исправляющей способности, которое можно убрать только увеличивая базу, на которой производится оценка канала?

В случае если нет возможности померить канал на всех поднесущих, а есть только пилоты, появляется еще ошибка интерполяции, но тут все понятно, от нее никуда не уйдешь. Хотя здесь встает резонный вопрос: можно ли минимизировать ошибку интерполяции, используя фильтр с пересчитываемыми коэффициентами, например Винера, или игра не стоит свеч и интерполировать можно всегда одним и тем же фильтром (несогласованный Винер, sinc интерполятор, полином и т.д.)?

Спасибо за совет!


2 Dr.Alex : Секрет прост, все дело в том, что на передающем конце используются не все поднесущии большего преобразования Фурье. Например: если база большего Фурье равна 1024, то мы можем использовать 64, 128 или 256 поднесущих, остальные оставив нулями. Таким образом PAPR модулированного сигнала уменьшается (уменьшение тем больше чем больше поднесущих не используется). Таким образом даже в обычной OFDMA схеме есть выигрыш по снижению PAPR. Добавление малого Фурье - это "трюк", который позволяет дополнительно снизить PAPR.

Например, используется соотношение 1024/64. В случае обычного OFDMA это даст выигрыш порядка 3 дБ, т.е. PAPR = 12-3 = 9 дБ, если сделать SC-FDMA, то получим еще около 3 дБ, итого PAPR = 9-3 = 6 дБ. Это если на пальцах

Размещать данные на базе большего Фурье можно "кучкой" или распределенно, в чем соль распределенного размещения я не разобрался, если честно. Локализованное размещение вроде бы в LTE up-link применяют. Удачи в ваших начинаниях, там все довольно просто!

Окончательно всё запуталось.. :-))
Я-то думал, что от размера Фурье PAPR не зависит, а зависит именно от кол-ва ИСПОЛЬЗУЕМЫХ частот.
Вы же говорите, что (1024/64) будет иметь PAPR ниже, чем (64/64).
Пришлось проверять. Получилось почему-то ровно наоборот! :-//
Чтоб не быть голословным::



Разница конечно маленькая (а я думал что её вообще не будет), но она не в ту сторону!!
PAPR считал как среднее за 1024 случайных блоков.
(Если в качестве пикового значения выбрать максимальное среди всех блоков, то картинка несколько меняется, но я думаю так делать не стоит.)
Неужто я считаю неправильно?




Вот! В этом с самого начала и была главная засада в понимании. Ну до этого позже доберёмся. Может быть.

Посмотрите на обратимость оценки автокорреляционной матрицы. При адаптивной фильтрации она может оказаться вырожденной.
Вообще, так ли нужна адаптивная фильтрация в вашем случае? Насколько несогласованный ФВ проигрывает оптимальному в ОСШ?

Матрица обратима, даже кажется доказывалось где-то, что в данном алгоритме сингулярная матрица не получится, но утверждать не буду. По поводу проигрыша несогласованного ФВ: вот этот вопрос меня как раз очень интересует, так как я не уверен, что вообще получил оптимальный фильтр Винера. Возможно я не правильно составляю автокорреляционную матрицу или матрицу взаимной корреляции. Если кто-то делал оценку матрицы канала по известным оценкам частотной характеристики в пилотных точках, было бы интересно узнать как это делается "по науке". Тогда можно было бы провести адекватное сравнение согласованной и несогласованной фильтрации и решить как реализовать это в железе.

Здесь есть смысл сначала записать автокорреляционную матрицу для всего символа. Ее элементы - значения АКФ канала в частотной области. Пример с АКФ вида sin(x)/x есть в прикрепленной Вами статье. АКМ для пилотных поднесущих получается вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих поднесущим с данными. ВКМ - вычеркиванием только столбцов. Если есть усиление пилотов, то ВКМ умножается на коэффициент усиления, а АКМ - на его квадрат.
В теории если фильтр настроен на многолучевой профиль канала, больший чем есть на самом деле, рабочие характеристики будут определяться именно фильтром и практически не будут зависеть от действительного многолучевого профиля. Если же задержка в канале неодоценена, то произойдет радикальное снижение точности оценки.

Как вы будете обращать спектральный ноль? На бесконечность умножать? Вообще не очень понятно вы говорите о OFDM или SC. Для SC потребуется эквалайзер бесконечной длины чтобы полностью спектральный ноль компенсировать, нужно как минимум думать о DFE. Непонятно зачем нужна реализация эквалайзера в частотной области для КВ.

А в случае если пилоты/данные занимают не всю полосу Фурье, как например в случае множественного доступа, матрица включает только канал, определенный на поднесущих данного пользователя? Т.е. например, если Фурье 1024 точки, а нас интересует только 64 поднесущие, то матрица составляется как 1024х1024 или как 64х64? Или это не имеет значения?

Еще интересует такой вопрос: АКФ зависит только от профиля канала, но не зависит от фазы, в которой приходят лучи, т.е. в случае если полюс замирания "перемещается" по спектру в процессе приёма суб-фрейма, то АКФ фактически таже самая?



Т.е., если использовать несогласованный ВФ, то его надо выбирать исходя из самого худшего ожидаемого профиля канала? Что-то такое упоминалось в прикрепленной статье и в каком-то другом источнике...
Спасибо за советы!


2petrov :
у меня модем сделан по схеме SC-FDMA, т.е. фактически OFDM, соответственно эквалайзер в частотной области. Согласен, что в спектральных нулях данные теряются, их можно вытянуть только декодированием, либо в случае SC-FDMA попробовать синтерполировать... Речь тут скорее идет об ухудшении выравнивания в окрестностях спектрального нуля. В некоторых случаях при моделировании видел, что выпадает до 8-10 поднесущих из 64.

Фактически это SC а не OFDM и не получается у вас элементарный линейный эквалайзер по критерию пикового искажения, начните с азов, глядишь и SC-FDMA не понадобится.

Да нет, это как раз OFDM, SC-FDMA надстройка над OFDMA и почти вся обработка делается в частотной области, как и в OFDM... В SC-FDMA действительно есть возрат к временной области после малого Фурье, но делать TD эквалайзер, когда частотная область предполагается физикой приёма-передачи, не резонно, т.к. он априори сложнее.

В этом случае вычеркиваете (или сразу не пишете) элементы, соответствующие неиспользуемым несущим.



Да.

Ну теперь вроде бы понятнее
В MMSE еще используется такая оценка как дисперсия шума/SNR. Я правильно понимаю, что этот параметр нужен только при решении задачи MMSE оценки (в данном случае оценки канала в пилотных позициях), и не важен в задаче MMSE интерполяции? Потому, как в рассмотренных статьях/книгах в рассчете интерполятора дисперсия шума не присутствует.

При MMSE-интерполяции вместо дисперсии шума у Вас будет дисперсия ошибки оценки. В приведенной выше статье, кстати, она в формуле присутствует.

Ошибаетесь это обычный SC со сглаживанием усечённым синком во временной области, ничего такого существенного SC-FDE для КВ не даёт, а вот понимание сильно вам усложняет.

Еще раз пересмотрел доку, теперь кажется понял, под этим вы имеете в виду SNR на выходе фильтра оценки пилотов, т.е. если применяется LS оценка, то это и есть SNR на входе эквалайзера. Еще интересный момент: там пишут, что автокорреляционная функция канала в частотной области - это Фурье образ его PDP... Сразу не обратил внимания.
В работе Нажмите для просмотра прикрепленного файла
как раз приводится способ рассчета интерполируещего фильтра (стр. 34-35). Приведенный 3-D график похож в общем-то на то что у меня получилось. В случае, если посчитать его для "чистого" канала, то он будет иметь значения только в районе главной диагонали, и, фактически, будет делать интерполяцию по трем точкам. Чем более дисперсный канал, тем больше будут коэффициенты, сверху и снизу от диагонали, тем самым интерполяция будет уже по всем пилотам... Если я правильно понимаю.

Пока в тех моделях канала, в которых я пробовал построить фильтр, не увидел большой разницы между его реализациями в чистом канале и в дисперсном. Думаю попробовать с более "размазанным" PDP... В первой статье рекомендавали насчитывать фильтр в канале с PDP имеющим равномерное распределение. Подразумевается, что мощность всех лучей одинакова на разбеге 0...Tmax?


2 petrov : мы неправильно друг друга поняли
Вы имеете в виду SC-FDE, а я SC-FDMA. Вы правы насчет SC-FDE, там схема действительно основана на обычном SC модеме, переход в FD есть только в приёмнике. Я же применяю схему SC-FDMA, которая основана на OFDM. Применимость ее обусловлена в первую очередь задачей обеспечить множественный доступ по частоте, а не технологией, которая будет применяться для выравнивания КВ канала.

На КВ? Вас не смущает что пользователи должны быть синхронизированы?

Если под чистым вы понимаете канал без многолучевости, а под дисперсным - многолучевой, то все строго наоборот. Чем выше временное рассеяние, тем меньше корреляция между ЧХ соседних поднесущих и тем меньшее их число включается в расчет. И наоборот, с уменьшением рассеяния корреляция растет и в интерполяцию включается большее число отсчетов, благодаря чему увеличивается точность оценки.


Подразумевается непрерывная многолучевость с равномерным распределением мощности сигнала по задержке в интервале 0...Tmax.


Это почти одинаковые по смыслу системы. Фурье только переносится из передатчика в приемник.

2 petrov :

Модем работает асинхронно со всеми пользователями. Он и делался исходя из этого требования. Предлагаю вернуться к теме эквалайзера... Если есть какие то соображения.

2 KalashKS :

Но вот тут признаться я опять запутался... Если судить по моей модели, то в чистом канале, коэффициенты фильтра как раз находились в окрестности главной диагонали. По мере увеличения дисперсности канала, росли коэффициенты, не лежащие в окрестности главной диагонали. В чем же тогда подвох?.. Как корреляция между поднесущими i и k, например, зависит от степени многолучевости? Где можно ознакомиться с этими выводами, не подскажите?
Мощность основного луча при этом рассчитывается по тому же закону, что и остальные лучи?

Асинхронно будет сильная интерференция между пользователями, они должны синхронизироваться так, будто маппинг перед iFFT в одном устройстве осуществляется, сомнительно что это можно на КВ обеспечить в общем случае.




Цифровая Связь - Скляр, глава 15 Каналы с замираниями. Усреднять пилоты по частоте можно только в пределах полосы когерентности, которая примерно обратно пропорциональна максимальной задержке между лучами.

Что вы имеете в виду под сильной интерференцией между пользователями? Интерференцию между OFDM символами от разных пользователей? Интерференцию между их поднесущими?

В том конкретном случае вообще нет основного луча. Есть только дисперсная составляющая с равномерной плотностью распределения мощности по задержке.

Потерю ортогональности асинхронных пользователей в точке приёма.

В случае локализованного размещения поднесущих пользователей для устранения этой проблемы используется т.н. защитная полоса (GB). В таком контексте приёмник может разделять и отдельно демодулировать всех имеющихся пользователей. Действительная проблема, которую я обнаружил, это фазовые шумы вне полосы пользователя, которые возникают при "сшивке" OFDM символов, полоса которых меньше полосы формирующего Фурье преобразования. В свою очередь уровень фазовых шумов зависит от применяемого в передатчике оконного взвешивания после Фурье и вносимой им избыточностью.

В таком случае, если рядом с интересующим нас слотом стоит спектр +20 дБ и более, его фазовые шумы вносят искажения процесс демодуляции. Увеличение GB может частично решить проблему, но приводит к снижению спектральной эффективности. Если бы вы могли посоветовать способ оптимального оконного взвешивания, при котором фазовые шумы в передатчике будут на уровне -60...-80 дБ, был бы очень признателен! Хотя это уже и немного другая тема...

Это не фазовые шумы, а интерференция между поднесущими, либо синхронизируйте всех пользователей, либо используйте обычное разделение по частоте.

Плюсую к словам petrov - от просачивания по sync никакой защитный интервал не убережет - оно все равно будет (sync спадает медленно от частоты). Еще один момент (не знаю, писали или нет) при сравнении OFDM и SC - кроме PAPR к преимуществам SC можно отнести следующее - частотно-селективные замирания в случае OFDM сильно поражают отдельные символы модуляции. В случае SC они частично "закрывают глазок" (т.е. эффект замираний размазан по всем символам), поэтому OFDM в частотно-селективных каналах без помехоустойчивого кодирования не работает, а SC - иногда работает :-)

Написали бы лучше в ветке SC-FDMA.. И я бы вам возразил, что сравнивать PAPR SC-FDMA и OFDM некорректно, т.к. OFDM имеет огромное преимущество: способность держать многолучёвость без эквалайзеров (сложных и не дающих гарантии). А простому SC SC-FDMA по PAPR проигрывает.

Обсуждать работу без FEC в наше время вообще несерьёзно, я щитаю. А при работе с FEC выпадение отдельных несущих в офдм либо даст тот же эффект, что и при "размазывании", если в блок ФЕК собраны все несущие (так логично делать, когда гоните риалтаймовый поток), либо даже выигрыш будет, если разные несущие сгруппированы в разные блоки ФЕК (так можно делать при задачах типа "даунлоад").

Я согласился с petrov в том что множественный досуп с несинхронными пользователями в случае использования OFDM каждым пользователем (OFDMA) приводит к помехам из-за просачивания. Та же фигня будет и в случае SCFDMA. Чтобы помех не было, пользователи должны быть синхронны в точке приема. Больше ничего не имел в виду. В плане PAPR, я говорил про SC, поэтому написал сюда. SCFDMA модем не делал, а пересказывать что в книжках написано не буду.

В OFDM кодирование используется как метод разнесения по частоте. Про это мало в книжках говорят, а надо бы. На счет сложности выравнивания в SC - не согласен. Давно есть в природе системы SC с циклическим префиксом или повторяющимся пилотом между блоками данных длиной в степень 2. Так вот в них выравнивание ничем не сложнее, чем в OFDM (ну только два преобразования фурье вместо одного в приемнике делаются).

PS ИМХО, OFDM хороша только при использовании многоантенных технологий и/или очень больших скростей передачи данных. В остальных случаях это SC для бедных.

Что есть просачивание по sync, не могли бы вы прояснить?


Синхронизация по какому параметру является критичной?

Не могли бы вы привести какие-нибудь выкладки (математические желательно), может статьи, в которых иллюстрируется почему два разнесенных по частоте спектра не могут быть разделены и отдельно демодулированы в одном временном интервале? Определяющий критерий в таких системах - это максимальное отношение мощностей сигналов в точке приёма от разных пользователей, стоящих в соседних частотных слотах.



Ну вы бы хоть модельку состряпали бы прежде чем такое заявлять. Минимум нужно делать LS эквалайзер, его способность "жить" в канале поддается конкретным оценкам и дает конкретные гарантии. Но вот только он подходит для слабо дисперсных и медленно меняющихся каналов. Что бы работать в нестационарных и сильно дисперсных каналах требуется применять более эффективные методы оценки канала, и сложность таких эквалайзеров не уступает классическим TD решениям.

Соглашусь с andyp, никто не мешает применять FD эквалайзирование для любых систем. Тогда эквалайзер будет точь таким же как и в OFDM.

Я состряпал железные модельки, которые успешно продаются. Пилот есть на каждой несущей. Никакой эквалайзер не нужен.
(Сильный допплер не рассматривается.)

Допустим. Не суть важно как это называть. Точь такое же решение можно применить и в SC-FDMA.

Все отличие будет в том, что при обычном OFDM есть выпадание битов в полюсе замирания и его окрестностях, а в SC-FDMA за счет преобразования Фурье эта ошибка размазывается, как и говорит andyp, по всем символам. Таким образом мы избавляемся от выпадания битов, но имеем снижение сигнал/ошибка по всем символам. Сложно сказать, в каком случае декодер способен исправить больше ошибок. Но действительно до определенного уровня сигнал/шум в SC-FDMA в канале с замираниями может не быть ошибок, как раз за счет Фурье преобразования.

По-вашему, это ВСЁ отличие?

Размазывать - не размазывать, это действительно не принципиально.
А вот фундаментальная устойчивость к многолучёвости ввиду очень большой длины символа - это принципиально.
Я встрял в эту тему и даже завёл другую (SC-FDMA) только по одной причине:: для меня очевидно, что в плане многолучёвости SC-FDMA эквивалентно SC, и можно было бы дальше не разбираться, но в некоторых статейках (невысокого уровня) SC-FDMA в этом смысле приравнивают к OFDM, и это сбивает меня с толку.
Вашу точку зрения я что-то пока не могу идентифицировать, так что если можно, выскажитесь определённо, и аргументируйте, если хотите.

SC-FDMA и OFDMA стуктурно отличаются только DFT-премодуляцией, которая присутствует в SC-FDMA. Этот модуль позволяет сформировать сигнал во времянной области, перевести его в частотную область с помощью DFT, а потом реализуется обычный OFDMA модем. Таким образом в приёмнике возможно реализовать эквалайзер как в частотной так и во времянной области. В силу того, что как вы отметили выше, реализация выравнивания в частотной области проще чем во времянной, никто не мешает сделать обычный OFDM подобный частотный эквалайзер.

Это рабочий вариант, я уже некоторое время занимаюсь эквалайзером для SC-FDMA модема. Моделировал его в каналах с разными профилями многолучевости, схема частотного выравнивания для SC-FDMA работает, действительно наблюдается эффект "размазывания" ошибки и снижения сигнал/ошибка по всему символу, как уже отмечалось, но за счет этого удается избежать выпадания символов в районе спектрального нуля.

Еще один момент. Соберите простейшую модель SC-FDMA и добавте ошибку по несущей. Для обычных SC схем, ошибка по частоте несущей выражается во вращении созвездия, при этом амлитуда сигнала никак не искажается. В случае SC-FDMA для ошибки по частоте больше 0,2 расстояния между поднесущими будет иметь место деградация созвездия как по фазе так и по амплитуде. Причина: интерференция между поднесущими из-за нарушения ортогональности, которая требуется для OFDM систем.

Пример простенькой модельки в Scilab (матлабом не пользуюсь, извиняюсь):

Это просто. Посмотрите на преобразование Фурье от синуса с частотой, некратной длине преобразования. Вы увидите нечто вроде sin(x+dx)/(x+dx). Здесь dx - расстойка частоты от ближайщего бина. Именно этот случай получается в случае некогерентного OFDMA - несинхронные пользователи "просачиваются" в колодцы с полезным сигналом по sinc. Т.е. разговор идет в основном про некогерентность по несущей (когеретности добиться трудно из-за разных доплеровских сдвигов пользователей и нестабильности их опорных генераторов). Из математики могу посоветовать посчитать DFT от синусоиды с частотой, некратной длине FFT. Это позволит понять природу помехи. Некий анализ, учитывающий многолучевой канал, частотное и временное рассогласование можно найти в прицепленном файле. Это не лучший источник - но что нагуглилось, то нагуглилось.

PS только что заметил, что вы все сами написали постом выше. Имеет место быть та же неортогональность поднесущих других пользователей.

Это не верно. Берем SC-систему с прямоугольной огибающей символов, применяем к ней согласованную фильтрацию. Получаем набег кроме набега фазы еще и ослабление по амплитуде пропорционально sync (ровно такое же, как в OFDM). Разница с OFDM в том, что в SC из соседних каналов нам при этом никто не гадит, а в OFDM идут межканальные помехи со средней мощностью (1-sync^2).
Ну и 0,2 расстояния между несущими - это заоблачное рассогласование для OFDM. При нем и без шумов отношение сигнал-помеха равно 8,5 дБ.