Народ, возник вопрос, возможно ли аналитически рассчитать пиковое значение шумого сигнала по заданному значению шума в полосе частот в dBm per Hertz и полосы.

rms такого шума можно оченить путем перемножения этих двух велечин и после пересчитать из dBm to V. Но как найти peak value? Из общих соображений peak value должно зависить еще и от длительности сигнала, так как шум вероятностный процесс, и чем он длиннее, тем больше вероятность появления всплеска с большей амплитудой. Но найти аналитическую формулу для такого расчета не получается.

Заранее спасибо.

Если шум гауссов (а на его модели и строятся вся инфа в даташитах), то он теоретически не ограничен, а все фразы типа "peak value of noise = 1uV" являются ничем иным, как заклинанием. Можно привести только вероятность того, что сигнал (не)достиг или (не)превысил этот порог.

для белого шума только оно и имеет смысл. если чисто для удовольствия и очень-очень теоритечески, но что называется "на пальцах" (в первом приближении), то пользуясь законом сохранения берете значение RMS=const и начинате уменьшать временной интервал. т.к. RMS - суть интеграл по отрезку времени, то уменьшая этот отрезок до нуля получите амплитуду = бесконечность. вероятность же такого будет пропорциональна временному отрезку, т.е. нуль.

Да речь идет о гауссовом шуме.

Предельное значение типа амплитуда = бесконечность. вероятность же такого будет пропорциональна временному отрезку, т.е. нуль понятны. А вот как соотнести например, уровень шума с в доверительном интервале 0.95 при длительности импульса в 100 микросекунд?

Не для белого, а для гауссового. Белого шума в природе не бывает.

Простите, какого еще импульса?

Для "узкополосного случайного процесса" считается, но,честно говоря, не смог вспомнить как. Осталось в памяти только ощущение что всё правильно и "как же это я сам не допёр".
Ну и правило для применения на практике: напряжение "от пика до пика" в 6 раз больше среднеквадратичного.

Практическое правило "напряжение "от пика до пика" в 6 раз больше среднеквадратичного" это хорошо, но начальник уперся, подавай ему аналитическое описание данной оценки (формулу). Есть идеи, где такую формулу можно раздобыть?

Когда долго чем-нибудь не занимаешься все теоремы "о существовании и единственности" выветриваются из головы напрочь. Попробую завтра поискать в книжках, помнится я находил это в книге по статистической радиотехнике в разделе об этом самом узкополосном случайном сигнале, там был вывод для количества переходов через ноль для такого сигнала, распределение по амплитудам и прочее. Сигнал представлялся как A*cos(w0*t+fi), причём A и fi были случайными и статистически независимыми величинами. А что с этим потом делали - не помню. Это ж ещё во времена дефолта было (1998 год?).

оценки делаются исходя из вероятности которую вы хотите получитть
и делается с помощью функции erf или erfc в матлабе- почитайте там есть это описание

интеграл вероятности или интеграл ошибки
чем больше берется число запаса по сигма тем боьше вероятность и тд и тп

Блин, всё ещё проще: три сигмы - вот и вся формула.
С вероятностью 0.997 сигнал находится в пределах +-3 сигма. А сигма - это и есть среднеквадратичное значение.

не всех устраивает вероятность 0.997 - зачастую вероятность ошибки берется меньше 10^-11
поэтому рекомендую вам все же посмотреть график функци erf и erfc из которых вы получите понимание сколько сигма даст вам вероятность

Некоторые уточнения.
Гауссово (или Вейбуловское) распеделение - это удобная математическая абстракция
Сигма в квадрате - это мощность шума (при сопротивлении нагрузки 1 ом)
Правило трёх сигма действует в большинстве случаев, и пиковое значение берётся исходя из него (в случае гауссовского распределения шума!)
Само пиковое значение посчитать не получится, так как математическая абстракция предусматривает любые значения амплитуды шума, правда большие амплитуды могут существовать с ничтожно малой вероятностью.
Можно посчитать (исходя из той же абстракции) буквально следующее: вероятность того, что шум с заданным распределением будет меньше заданного порога. В вашем случае надо просчитать тот порог, при котором та самая вероятность будет достаточно большой (например, 0,99999)
Считается эта вероятность как интеграл от плотности распределения случайной величины в пределах от минус бесконечности до интересующего порога. Если плотность распределения гауссова - то и можно воспользоваться той самой функцией ошибок, либо табулированными значениями интеграла вероятностей. Если не гауссова - тогда либо аналитически, либо маткадом. Кстати, аналитичеки решить прямую и обратные задачи не всегда возможно (попробуйте тот же гаусс ). Я сам в маткаде считаю.
Количество переходов через ноль с положительной производной однозначно связано с шириной спектра сигнала, и больше ни с чем иным. Это Тихонов вывел в работе, по моему, "Вероятностные характеристики выбросов случайных процессов". Если надо, могу поискать точно.
Литература:
Левин. Статистическая радиотехника
Тихонов. Статистическая радиотехника

Спасибо за идею, только как понимать значение x in
Y = erf(X) returns the value of the error function for each element of real array X. Мне кажется, что это явно не временная шкала, так как
erf(1e-6)=1.1284e-006

Фактически мой вопрос можно перефразировать так, возможно ли связать время наблюдения случайного сигнала с заданным rms с зарегистрированной пиковой амплитидой.
При моделировании в Matlab, правило трех сигм не очень выполняется, для сигналов длительностью в 100 мкс при полосе 100МГц. В таких расчетах получается что-то порядка 4 сигм.

По части литературы интересуют электронные версии на русском или английском, так как классическая библиотека не доступна.

Там ещё ширину полосы сигнала надо учитывать, согласно теоремы В.А. Котельникова. Там получается следующая вещь, говорю чисто теоретически, ещё не проверял. Чтобы получить оценку времени ожидания всплека, прывышающего порог, нужно:
1. Оценить вероятность превышения этого порога (см. выше)
2. Определить количество испытаний, необходимых для наступления событий с заданной вероятностью из неравенства p*N>=1, где р - полученное значение вероятности, N - искомое число
3. Полученное значение N разделить на ширину спектра в герцах - получатся искомые секунды
Кстати, ещё одна широко распространённая книжка:
Г.Корн, Т.Корн Справочник по математике для научных работников и инженеров. Раздел "Теория вероятностей и случайные процессы". В электронном виде нету, может уважаемый all вам поможет.
http://books.krst.ru/cgi-bin/catalog.pl - искать слова "выбросы случайных процессов"
Кстати, вот порылся, нашёл. Как раз ваш случай, и с хорошей библиографией (правда про буровые установки )http://www.ogbus.ru/authors/Imaeva/Imaeva_3.pdf - там довольно подробно всё расписано

Задача напоминает мне проблему оценки false alarm rate в радиолокации. Посмотрите какой-нибудь учебник - там это должно быть расписано. Хотя бы энциклопедию леоновскую.

Да что-то подобное.

Полоса частот задана. В первом приближении она соответствует теореме В.А. Котельникова (кстати в англоязычной литературе его почему то не упоменают). В общем случае полоса частот может быть уменьшена до определенного значения.

Совершенно не понятно, как для подобного измерения оченить количество испытаний, если речь идет о однократном измерении. Варьируется только длительность однократного приема сигнала и скорость оцифровки, которая удовлетворяет условию теоремы В.А. Котельникова

- Может я неясно выразился, но таковы термины теории вероятностей.Вычисляется из приведённого неравенства.
"количество испытаний" в данном случае - среднее количество выбросов шумового напряжения между двумя выбросами, превышающими заданный порог. Длительность выбросов известна - она однозначно задаётся шириной полосы сигнала (вычисляется как 1/(ширина спектра в герцах)). Множим одно на другое - и получаем среднее время между двумя выбросами, превышающими заданный порог.

IMHO, одно испытание соответствует характерному времени - времени установлению системы, например. Это только интуитивное предположение - из общих соображений, так сказать.

Пытаюсь систематизировать предложенное.

1) Длительность выбросов вычисляется как 1/(ширина спектра в герцах).

2) Количество выбросов N в заданном интервале - длительность интервала/ длительность выбросов.

3) Из неравенства p*N>=1, находим значение p (оно будет очень малым)

3) Задаем порог и считаем вероятность "р" как интеграл от плотности распределения случайной величины в пределах от минус бесконечности до интересующего порога.
Если плотность распределения гауссова - то и можно воспользоваться функцией ошибок p=erf(x), x значение порога для шума с rms 0.5 (в соответствии с заданием функции p=erf(x) в Matlab)

Здесь возникает несоответствие, возможно, из-за моего непонимания теории, так как малое значение p получаются только для малых x.

Постараюсь найти какую-нибудь из предложенных книг в электронном виде.

Вот, не поленился, посчитал. В аттаче скриншот с маткада, пардон за размерНажмите для просмотра прикрепленного файла.

Огромное спасибо!!!
Размер не критичен, так как интернет быстрый.

Теперь кажется все понятно.

Понял, где путаница была:
вместо
""
2. Определить количество испытаний, необходимых для наступления событий с заданной вероятностью из неравенства p*N>=1, где р - полученное значение вероятности, N - искомое число
""
следует читать:
"
2. Определить количество испытаний, необходимых для наступления событий с заданной вероятностью из неравенства (1-p)*N>=1, где р - полученное значение вероятности, N - искомое число
", извините за ошибочку

Там ещё по-хорошему надо дисперсию оценить, забавные результаты могут получиться. Этот промежуток времени между двумя выбросами, превышающими порог, будет распределён, по моему, по геометрическому закону (как вероятностьуспеха в первый раз после точно х испытаний по схеме Бернулли), и исходя из этого закона можно посчитать дисперсию как p/(1-p)**2 а матожидание как p/(1-p)

Вот ещё ссылочка http://algolist.manual.ru/maths/matstat/

Кстати, Котельникова за бугром не упоминают по той же причине, по какой не упоминают Попова и ещё очень многих наших учёных.

Люди добрые, подскажите, пожалуйста, где первоисточник этих сведений? Даже точнее спрошу: мне нужно название ЛЮБОЙ книги или ссылку на любую странцу, где есть эта информация в более или менее научном виде (лучше, чтобы понятно было)?

6=+-3, так ведь? То есть правило даже не эмпирическое, а научно обоснованное?
И ещё: +-3 - это об амплитуде или о мощности?

Извиняюсь за такие вопросы, но со статистикой у меня трудности. Как и с теоретической радиотехникой.
И вообще, что бы попонятнее почитать про оценку шумов?

Все это относится к распределению Гаусса (или нормальному), весьма удобному для всяческих оценок. К счастью, многие (даже очень многие) реальные случайные процессы (СП), происходящие в электронных схемах (и не только), имеют плотность вероятности, близкую к гауссовому распределению. Я думаю, достаточно набрать последние два слова в поисковике, или обратиться к справочнику по математике, или хэлпам к матлабу.

Конечно. Это определенный интеграл от "хвостов" плотности вероятности. Ниже на рисунке, площадь фигур, закрашенных зеленым, дает вероятность того, что текущее значение СП выходит за рамки +-3 сигма относительно максимума распределения. Для гауссового процесса эта вероятность ~0,003.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Почему в качестве порога для оценки берут именно 3 сигма - не знаю, так уж исторически сложилось.

В данной теме, как и в большинстве публикаций, речь идет о напряжении. Для тока все аналогично.

В закромах много чего лежит на эту тему. Начать лучше всего с Хоровиц-Хилла.

В дополнение к рекомендациям Stanislav, могу посоветовать следующее:
1. В.И. Тихонов 'Статистическая радиотехника' (http://dsp-book.narod.ru/tichSTR/tichSTR.htm).
2. И.А. Лапкин 'Статистическая радиотехника. Теория информации и кодирования'.
3. Б.И. Шахтарин 'Случайные процессы в радиотехнике'.
4. Р.Л. Стратонович 'Теория информации'.
5. И.С. Гоноровский 'Радиотехнические цепи и сигналы'.

А Вы что, считаете - Попов радио изобрел?

Утверждение


IMHO, как видно из приведенного уважаемым radist примера расчета в MathCad данное утверждение не абсолютно корректно, если опустить полосу частот и время наблюдения.

IMHO, данное правило надо рассматривать способ первичной оценки.