Здравствуйте, уважаемые коллеги. Недавно начал изучать ЦОС, естественно много вопросов, но вот один мне покоя не даёт. Если подобный вопрос был - прошу прощения, т.к. не нашёл.
Итак, читаю книгу Applied Digital Signal Processing THEORY AND PRACTICE. DIMITRIS G. MANOLAKIS. Остановился на дискретном ряде Фурье. Сначала вроде всё ясно - коэффициенты ряда это амплитуды гармоник, которыми можно представить сигнал (ф-цию). Для дискретных последовательностей всё то же самое что и для непрерывных ф-ций, только не интегралы а суммы. Так в книге формулы для прямого и обратного разложения представлены на первом рисунке. Вроде всё ясно. Далее идёт пример: раскладывается сигнал x[n] = cos(w0n) = cos(2pif0n). Данную ф-цию, принимая во внимание её переодичность, раскладывают по ф-ле Эйлера, т.е.
x[n] = exp(j*2pik0n/N)/2 + exp(-j*2pik0n/N)/2 = exp(j*2pik0n/N)/2 + exp(j*2pi(N-k0)n/N)/2. Где f0 = k0/N Рис.2.
Далее в книге утверждают, что теперь исходя из формул на первом рисунке, мы имеем ф-цию разложенную в ряд Фурье. Где 1-ый и 2-ой коэффициенты равны 1/2. На рисунке 3 приведён спектр колебания для k0 = 2, N = 5. Внимание вопрос - что это значит то????!! Т.е. выходит, что спектр синусоиды, с частотой 2/5 и нулевой начальной фазой состоит из 2-х гармоник с амплитудами 1/2 и частотами 2/5 и 3/5 соответственно????? Как такое может быть то??!!

Это называется "утечка спектра". Связано с тем, что мы вычисляем именно дискретный спектр, по определенным частотам.
Почитайте книгу Р. Лайонса "Цифровая обработка сигналов". Там приведены простые примеры (когда частоты составляющих сигнала совпадают с частотами вычисляемого спектра).

Про утечку спектра в книге которую я читаю ничего не сказано... Во всяком случае касательно данного примера. В ней есть глава про утечку спектра но она вроде дальше. Я думаю они бы про это упомянули. Лайонса пробовал читать, но... отчего то не идёт. Вроде всё просто до нельзя... Вроде читаешь, вроде всё понятно... но как задумаешься такое чувство будто и не читал ничего... не понимаю в чём дело... Но прочту обязательно по это.

А, тогда это просто показан периодический спектр. Вам нужно взять только 5 гармоник из него. От -2 до 2 или от 0 до 5. Причем, он симметричный, так что реально только половина частот дают интересующий спектр. То есть, та гармоника, что под цифрой 2.

Вы чертовски правы. Теперь всё на своих местах. Фу блин... вроде теория сошлась, слава Богу! Вот только не должны ли их значения в этом случае быть равны 1 а не 1/2?

Должны. Математики мудрят кто во что горазд.

Ну а где же тогда правду то искать?

Так в логике же. Если знаете, что подали синус с амплитудой 1, а ДПФ вам выдало два по 0,5, умножьте на 2 результат. Типа, оно половину дало для гармоники 2, а половину для -2.

Да... Во всяком случае, выглядит и впрямь логично... большое спасибо!

Еще следует иметь в виду, что результат преобразования Фурье - это некая математическая абстракция. Если Вы подадите на вход синус, с периодом, не кратным размеру окна, то получите все гармоники с различными амплитудами. Это не значит, что поданный синус из них состоит. Это значит только, что мы аппроксимировали его таким набором синусов. А на самом деле не его, а периодическую функцию, состоящую из повторяющихся отрезков синуса с разрывом в точках повтора. Для минимизации набора генерируемых гармоник используются различные окна, накладываемые на исходный сигнал перед преобразованием Фурье.

Спасибо за уточнение... Но мне бы пока с теорией разобраться... В данном случае всё вроде идеальное...

Не кратный синус - это тоже теория.

Согласен...

FT устроено таким образом, что одной "палке" в частотном домене соответствует не вещественная, а комплексная синусоида во временном домене. Комплексная синусоида описывается комплексным числом с постоянным модулем, вращающимся с постоянной скоростью.
Поскольку FT линейно и обратимо, мы не можем просто взять и отбросить мнимую часть во временном домене. Зато можем представить чисто вещественную синусоиду в виде суммы двух комплексных синусоид, вращающихся с одинаковыми скоростями, но в противоположных направлениях, с равными амплитудами, и согласованными фазами, таким образом, что сложение этих двух синусоид приводит к аннигиляции мнимой части независимо от времени. FFT в силу своей обратимости автоматически находит параметры двух комплексных синусоид, если на вход подаётся вещественная, и создаёт для неё две "палки" в частотном домене. Одну "палку" можно получить, только подавая на вход комплексную синусоиду.

Короче говоря математический трюк... как и говорил ViKo. Всё ясно, спасибо.