Народ скажите, кто в школе теорию вероятности не прогуливал и знает теорию надежности.
Допустим есть карманный фонарик, который включаем только когда выключают электричество в доме. Через каждые 3 включения фонарик накрывается. Т.е. N-ное включение приведет к отказу фонарика с 25% вероятностью.
Допустим свет в доме в среднем отключают раз в полгода. Т.е. вероятность остаться без света составляет 2/365= 0,54%.
В итоге вопрос:
1. Какова вероятность остаться без света и без фонарика вообще?
2. Какова будет вероятность остаться без света и фонарика, если фонарик, в целях профилактики, включать 4 раза в год и проверять, независимо от того есть свет или нет.

Я так понимаю, что во втором случае события "отказ фонарика" и "отключение света" являются независимыми. И следовательно вероятность их одновременного появления составляет 0,54% * 25%= 0,13%, но как быть с первым случаем? Должно же быть выше, но я не пойму по какой формуле считать - это вроде как зависимые события.
Собственно вопрос в том, поможет ли профилактика фонарика уменьшить вероятность остаться без света вообще или нет.

1. Считаете неправильно. Нужно, сначала, подсчитывать вероятность безотказной работы.
Для одного включения вероятность безотказной работы 1-0.25=0.75, так как вероятность отказа 0.25;
Для двух включений вероятность безотказной работы 0,75*0,75=0.5625, а вероятность отказа 1-0.5625=0.4375;
Таким образом, если фонарик включают только при отсутствии света, то есть, в среднем, два раза в год, то вероятность
остаться без света и без фонаря в течение года равна 0.4375

2. Для N включений вероятность безотказной работы (0.75)^N, а вероятность отказа 1-(0.75)^N;
Если фонарик включают 6 раз в год (4 раза - проверки и 2 - раза по необходимости), то вероятность остаться без света и без фонаря в течение года будет равна 1-(0.75)^6=0.8220; Это наихудший вариант, когда включение по необходимости не отменяет периодических проверок.

3. Если включение фонаря при отсутствии света отменяет одну из проверок, то расчет усложняется. Все будет зависеть от того, как
производятся проверки - строго по расписанию или по прошествии определенного времени от момента последнего включения.
В любом случае, проверки работоспособности лишь увеличивают вероятность остаться без света и без фонаря в течение года.

Подождите. С фонариком ситуация такая, что при отказе он ремонтируется/меняется. Т.е. вероятность его отказа от количества включений фонарика не зависит

Конечно не зависит. Поэтому, сначала, считается вероятность безотказной работы - то есть вероятность того, что фонарь не откажет за указанное
количество включений (ремонт/замена не требуется). А вероятность отказа - это единица минус эта величина. То есть вероятность того, что фонарь
хотя бы один раз отказал.

Поясню на всякий случай. При включении фонаря вероятность его отказа 0.25. При каждом включении! А вот если включили фонарь N раз, то
вероятность того, что он хотя бы один раз откажет уже не 0.25, а - см. формулу выше.

Еще добавлю. Если после проверки фонаря он ремонтируется, в случае выхода из строя, то это не будет влиять на результат. Тогда проверки не нужно учитывать при расчете (так как свет есть при проверке, предположительно).

Хмм. Ок, понятно.
Тогда каким способом можно уменьшить вероятность остаться без света и без фонарика? Только 2 фонарика?

Почему только два?
В общем случае, у Вас есть M фонариков с вероятностью отказа 0.25.
Вероятность того, что все фонарики откажут (ни один не включится) равна (0.25)^M ;
А вероятность того, что хотя бы один включится равна 1-(0,25)^M;
Какая надежность вашей системы фонариков вас устраивает?
Предположим, 0.99; Тогда 1-(0.25)^M=0.99; Откуда M=4.
Но это вероятность для одного включения (точнее отключения света).
Как посчитать для нескольких - Вы уже знаете.

2 фонарика, 3 фонарика и т.д...
В реале кривая отказов (зависимость вероятности отказа от времени) имеет достаточно сложную форму, что- то вроде скособоченной буквы U - вероятность выше в начале эксплуатации, потом вероятность выходит на почти плато и возрастает с ростом числа включений, насколько я помню из совкового еще прошлого - мощные транзисторы в цепи строчной развертки выдерживали примерно тысячу циклов вкл/выкл и потом дружно выходили из строя. Так что рецепт такой- взять 10 фонариков, построить кривую отказов, потом взять еще 10 фонариков, отбраковать быстро сгоревшие, поменять по гарантии , снова отбраковать и у вас останутся фонарики с вероятностью отказов на плато с минимумом этой вероятности.