Разбираюсь с БПФ и возник вопрос, ответ на который я пока в литературе не нашел.
Суть проблемы. Есть действительная последовательность N точек. Я выполняю от нее БПФ и получаю N действительных значений и N мнимых. Действительные - амплитуда перед cos , соответствующей частоты, мнимые - перед синусом. Нулевая точка - только действительна и представляет собой среднее значение сигнала. Начиная с N/2 действительные значения симметричны, а мнимые антисимметричны (знак). Эти точки лежат выше частоты Найквиста и смысла в них нет (если нет частот в сигнале больше половины частоты дискретизации). А сама точка N/2?
Из определения симметрии мнимая часть ее должна быть равна нулю. Значит она представляет амплитуду сигнала только для cos с частотой половина частоты дискретизации?
Если подать на вход сигнал с генератора с половиной частоты дискретизации и сдвигать его фазу на 90 градусов, то это никак не отразится на результатах БПФ - всегда будет только cos?
Где-то мои рассуждения ложны, но где...

Косинус с фазой всегда можно представить как cos(Fs/2+fi)=Acos(Fs/2)+Bsin(Fs/2). Видно, что при изменении фазы "косинусные" и "синусные" спектральные составляющие меняются, "переливаются" из А в В и обратно. БПФ должно дать тот же результат.

Каким же образом БПФ может дать тотже результат, если для точки Fs/2 коэффициент B всегда равен нулю!?

Коэффициент B=-sin(fi), то есть нуля при сдвиге на пи пополам не получается...

Может чего не понимаю, но для точки заворота действительной последовательности выполняется тождество - все точки до точки заворота равны комплексно сопряженным точкам выше точки заворота. Т.е. коэффициенты А равны, а В равны со знаком минус. Это тождество должно выполняться и для самой точки заворота, т.е. точка должна раняться своему комплексному сопряжению. Такое возможно, только если мнимая часть В=0!

Она и равна 0 всегда, мнимая часть на fd/2 для действительного сигнала.

2BH


Как же тогда передается информация о фазе сигнала с частотой Fs/2?

Но ведь это же все элементарно. Находится прямой подстановкой Fdiskr/2.
Ну ради интереса нарисуйте cos(PI*n), 0.5*cos(PI*n) и cos(PI*n+PI/3) на одном графике. Чем они отличаться будут?
Вдобавок к этому взгляните на базовую ф-ю Фурье, соответствующую Fdiskr/2. Она очевидно равна
exp(-j*PI*n). Найдите у этой ф-ии мнимую часть.
Fdiskr/2 - особая точка.

2BH


Спасибо! Вроде стало немного понятнее. Да, действительно sin при частоте равной Fs/2 всегда равен нулю, а cos +1 и -1.
Но не понимаю как все-таки передавать значение фазы внешнего сигнала с такой частотой?
Или в силу особенности базовой функции при этой частоте я всегда получаю только проекцию входного сигнала на функцию cos? Тогда значение БПФ для данной точки должно сильно меняться при изменении фазы (поскольку наблюдаю только амплитуду, то она должна меняться от нуля до максимума - что-то похожее на биения - частоты входного сигнала и БПФ всегда чуть-чуть разные). Правильно?

Да тут дело не в базовой ф-ии даже. Это особенность дискретизированного действительного сигнала этой частоты. Фаза у него целиком перелезает в амлитуду. Я же Вам давал для сравнения 0.5*cos(PI*n) и cos(PI*n+PI/3).
Они одинаковы абсолютно. Вообще такое поведение на половине ч-ты дискретизации фактически есть проявление эффекта наложений.

2BH


А если амплитуда фиксирована, то изменение фазы приводит к изменению значения А? Если взять Ваш пример, то 1*cos(PI*n) и 1*cos(PI*n+PI/3) будут отличаться ровно в два раза.
На счет наложения - не понял - я же не выше частоты Найквиста. Может из-за того что половина ширины бина приходится на частоту выше частоты Найквиста?
И последний вопрос (он же по сути исходный) - можно ли использовать эту точку для анализа спектра сигнала или нет?

Да. 0.5*cos(PI*n) и 1*cos(PI*n+PI/3) просил Вас сравнить. А не 1*cos(PI*n) и 1*cos(PI*n+PI/3).
Ну напишите Вы всю тригонометрию сами. Ведь школьные же формулы. C 5 по 8 класс.


Забудьте Вы про бины в данном случае. Частота Найквиста - граница. С нее все эффекты начинаются.
В данном случае накладываются друг на друга спектральные составляюшие исходного, недискретизированного, сигнала, находящиеся на +Fdiskr/2 и на -Fdiskr/2.

Ради бога. Но с учетом сказанного. Т.е.амплитуда с фазой для этой ч-ты неразделимы. Для действительного сигнала.

Вообщето необходимо рассматривать частоты ниже Fп/2 т.е. строгий знак меньше а не меньше или равно.

Физический смысл не сводится к манипуляции формулами, пардон Частота Fs/2 интересна тем, что число выборок на период строго 2 (смотрим в знаменатель) А фазы синуса и косинуса отличаются на 1/Fs. При этом _количество_ и _значение_ положительных и отрицательных выборок син() и кос() на период соответственно четное, а их сумма тождественно = 0. Отсюда амплитуда частотной составляющей на частоте Fs/2 == 0, а фаза неопределена. ИМХО.



Подобная же особенность в районе частоты = 0. При этом при начальной фазе == 0 все отсчеты кос(0) == 1, что дает _среднее_ значение функции на интервале интегрирования, а все отсчеты син(0) == 0, что дает возможность их не вычислять, пардон То есть формула для интеграла от произведения с син(0) справедлива, но бесполезна

Гнилые помидоры кидать сюда (+)

Только ерунду не надо писать, ладно? Амлитуду сначала научитесь вычислять, физик.