в результате N опытов получили M исходов.
какова вероятность?, очевидно, что не M/N. Необходимо вычислить вероятность в доверительном интервале 95%.
вспомнил тервер, там только формула Бернули с факториалами или ее приближение- формула Лапласа, но написано, что она не годится для случая, когда p<<1.
Я должен получить вероятность 0,01 и 0,001.
сколько нужно проделать N и получить M для обоих случаев?
подскажите как посчитать или где искать решение, со строгим теор. обоснованием.

Думаю что вероятность вероятна!
Вряд ли кто-то поймёт Ваше высказывание...

Вопрос - что в вашем случае является исходом. Типа Да, Нет? Или результаты измерения какие-то с отклонениями.
Что конкретно?

да/нет
закон распределения вероятности неизвестен

Если M - это количество исходов ДА, и если эти исходы во всех опытытах равновероятны, то вероятность исхода ДА в каждом из опытов как раз и будет равна M/N при N стремящемся в бесконечность.
...
О каком законе распределения вероятностей речь?

число опытов не устремляется в бесконечность, следовательно вероятность не равна точно m/n, а имеет случайное значение, которое в некоторм доверительном интервале равно искомой вероятности.
Задачей является найти этот интервал и взаимосвязь числа экспериментов, уровня значимости, числа исходов и вероятности.

например 300 опытов, 30 исходов ДА, вероятность равна 30/300 +- погрешность оценки вероятности, в доверительном интервале 95%.
для 300/3000 эта погрешность будет меньше

В обозначениях этой страницы Вас интересует доверительный интервал для параметра θ=M/N, который нужно построить по выборке (x1=M1/N1,..., xn=Mn/Nn).
Т.е. Вас спасут, н-р, n=100 подходов по N=300 опытов в каждом. А для того, чтобы найти

, придется проделать еще k по n подходов с более другими N.

Я полагаю для меня актуальны следущие строки:
Во-первых, вопрос о выборе функции решается в каждом конкретном случае и по этому поводу нет общих рекомендаций. Во-вторых, совершенно не гарантировано, что решением неравенства в п. 3 будет интервал конечной длины. Вместе с тем, во многих важных случаях изложенный выше метод приводит к хорошим доверительным интервалам. Например, оправдано применение такого метода в случае, когда при каждой фиксированной выборке

Вероятность зависит от предсказуемости чего-то на каком-то интервале времени. Бесконечность - вырожденный случай. Если это что-то (условия опыта) меняется во времени, то вероятность (предсказуемость) на коротком временном отрезке будет неравна вероятности на бесконечном. Так что опять всё зависит от условий опыта.

Если опыты совершенно независимы, то Вы можете попробовать усилием воли назначить закон распределения нормальным, и на этом задача будет решена.
Если же Вас интересует реальный закон распределения, то по некоторой выборке строите, н-р, гистограмму с разрешением достаточным, чтобы отбросить по 2.5% опытов слева и справа, и получаете искомый 95% интервал. Или находите аппроксимирующую функцию для гистограммы, которая и будет искомым законом распределения, и мучаете ее интегралами.
(потом находите аппроксимацию по другой выборке, третьей,... изучаете их зависимость от фаз Луны или погоды на Венере, - вот уже и диссер в кармане ).

в МЭК . IEC 60834-1Teleprotection equipment of power systems Performance and testing
нашел вот такую формулу, не могу понять откуда выведена

Вероятность наблюдения события с доверительным уровнем 95% приблизительно вычисляется по следующей формуле . IEC 60834-1Teleprotection equipment of power systems Performance and testing
P= E/N*(1+-2/sqrt(E)),
где
N - общее число сделанных попыток;
E - число наблюдаемых событий.
Увеличение числа наблюдаемых событий Е приведет к увеличению степени достоверности.