Вопрос, скорее, для обсуждения разных вариантов. Лучшим по точности будет, очевидно, восстановление sinc функциями. Но как это сделать в реальности, микроконтроллером, а не в MATLAB? Кубическая интерполяция будет сильно ломать сигнал. Может, как-то полином 5 степени использовать? 7-й? А нет ли способа чисто синус найти подходящий? Какие еще есть способы?
И еще, если взять 10 точек на период, что здесь можно применить? Задачка выглядит намного более легкой. Значит, и способ найдется попроще.
Критерий "похожести", наверное - задать величину среднеквадратического отклонения интерполированного сигнала от оригинала. Не знаю, какое конкретное значение выбрать. Нужно, чтобы было "похоже" визуально.

попробуйте это
там бесплатно дается возможность пользоваться про версией после регистрации...

PS Мне помогло...

Да отфильтовать просто надо.

... цифровым НЧ фильтром, в идеале с бесконечной крутизной перехода между пропусканием и подавлением. А иначе полезут те же артефакты.


Спасибо! Пользуюсь MATLAB-ом, он на все способен. В нем буду прикидывать. Вернее, кое-что уже имею, нужно вспомнить, посмотреть.
То есть, инструмент имеется. Нужны конкретные алгоритмы.

Может это поможет? по сути выполняет функции ФНЧ тока без операций умножения

В отличии от матлаба по ссылке выводит формулу (линейную, квадратичную и кажется полиномиальную)
сразу. Показывая графики...

Какой-то не инженерный критерий....
Уж очень субъективный. См. прикрепленный файл.
Ведь похож?

фит полинома пятой степени по шести точкам выглядит очень похоже на синус.
и считается довольно просто, по сравнению со сплайнами не надо по всем данным от начала до конца бегать чтобы производным граничные условия задать.

просто для каждого отрезка делать полином 5 степени от +-3 точек влево/вправо.

а еще можно наверное усреднять все 5 полиномов которые содержат данный отрезок между двумя точками, возможно будет ещё красивее, а может и нет.

Нет, не похож. И кубически интерполированный тоже не похож. Вот когда синус из двух парабол склеивали, было похоже.
Я критерий указал. Величина ошибки. Но ведь она, наверное, будет зависеть от того, как точки упали на синус?


Вот, так должно подойти. "Фит" - это что? Может, есть ссылки на расчеты такой интерполяции?

Тогда методом Ньютона.
Я бы тут лучше задался вопросом каким способом считать оценку несовпадения.

Пойдем с конца.
Если известен период, то симулировать синус с желаемой погрешностью визуализации.

в общем случае, когда точек больше чем степень полинома - наименьшие квадраты:
http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresF...Polynomial.html

ну а вообще просто система из N уравнений для нахождения коэффициентов:
y(x1) = y1;
y(x2) = y2;
...
y(xn) = yn;


y(x) = a0 + a1*x +... an*x^n;

Нет, период не известен. Даже, что синус, тоже притянуто за уши. Просто в документации будет записано "полоса частот такая-то". Если для максимальной частоты у меня выходит 5 выборок АЦП на период, желаю продемонстрировать, что наблюдается "синус".


Опять Wolfram. Что это за зверь такой?

Этот путь понятен. Ходил. У меня есть свой матлабовский файл с полиномами разных степеней. Стряхну пыль, посимулирую.
А другие варианты есть?

Тогда задача меняется:
Имеется сигнал с максимальной полосой Fmax. С частотой дискретизации Fs делаются выборки на протяжении не менее периода (или сколько?), причем на максимальной частоте это будет 5 выборок.
Далее необходимо выполнить визуализацию сигнала с обеспечение гладкости воспроизведения.
Желательно определиться с числом точек для визуализации.

Вот тут начинается самое интересное - если на максимальной частоте визуализированный сигнал д.б. похож на синус, то на что он должен быть поход на частоте Fmax/2?

P.S.
Я делал "гладкость" простым способом, как раньше по лекалу делали. Соединяем три точки, проводим только через две.
Как правило достаточно параболы + простой фильтр. Но это не для 5 точек на период, конечно.

Выборок - куча.
Для Fmax/2, понятно, будет 10 выборок на период.
Здесь так же будет, через 3-ю и 4-ю точки из 1 - 6 проводим кривую 5-й степени.

Mathematica. В закромах лежит, попробуйте, имхо куда лучше матлаба.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла


ну брать те же несколько соседних точек и теми же наименьшими квадратами, но уже правда нелинейными, натягивать на них синус, а не полином.

Сшивание синусоиды параболой по 6-ти точкам ( 5 точек уже явно неудовлетворительно ):
http://shot.qip.ru/00gZ9L-1OPovQH3t/

По 9-ми точкам вполне удовлетворительно, с т.з. визуализации:
http://shot.qip.ru/00gZ9L-5OPovQH3v/

P.S.
Еще косинусная интерполяция:

float CosInterpolate(float v1, float v2, float a)
{
float angle = a * PI;
float prc = (1.0f - cos(angle)) * 0.5f;
return v1*(1.0f - prc) + v2*prc;
}

Для демонстрации "синуса" нужно ИМХО смотреть на спектр сигнала и на количество и соотношение гармоник: какие, сколько, каково соотношение между ними и т.д. Из наблюдения за колебанием во временной области ничего разумного заключить нельзя. Поэтому, сделать Фурье, для максимальной частоты будет хорошо наблюдаемая гармоника в районе fs/5, что и требуется показать.

Так я и предложил эмуляцию на крайних частотах

P.S.
Т.е. должны быть два режима: измерительный (в диапазоне нормальных частот), когда все по честному и тестово-демонстрационный, в диапазоне крайних частот, когда делается симуляция по 1..3 крайним тестовым частотам, значения которых оговорены в ПМ.

P.P.S.
И это не обман Заказчика, поскольку мы, на основе реальных измерений, алгоритмически выявляем крайние частоты и показываем их наличие в удобной и понятной для всех визуальной форме.

Удобная и понятная для всех визуальная форма - это спектр.

Да, но у ТС похоже что-то вроде генератора частот с визуализацией сигнала во временной области.
Мы не знаем всех ньюансов ТЗ, а потому и гадать не будем.

Нелинейное вписывание. Он же фит. Почему нужно полином-5 вписывать? Почему синус не вписать? Вычислительно сложно?

В свое время вот эту статью нашел (здесь в форуме и автор был, и ссылку на эту статью я давал). Также несколько других, представляющих интерес. По этим статьям в MATLAB экспериментировал. Сейчас пересмотрел. Вижу, что интерполяция сплайном Эрмита по 6 точкам, как в статье, дает примерно такой же результат, как интерполяция полиномом 5 степени. Но проще.
TSerg, гадание, зачем это нужно, не понадобится, если заглянуть в мой профиль.

Дефки? Голые?


Косинусом проще и не хуже.

Передискретизация у вас довольно большая, поэтому никакой бесконечной крутизны и длинного ФНЧ не требуется, увеличиваем частоту дискретизации ещё в два раза добавлением нулей, давим праразитный спектральный образ полуполосным ФНЧ, отсюда экономия вычислений на полифазной реализации и нулевых коэффициентах полуполосного фильтра, затем простым дробным параболическим интерполятором Фарроу любые точки вычисляем.

Частота выборок в 5 раз больше частоты сигнала - это большая передискретизация?
Мне не нужно в реальном времени фильтровать. Поэтому все эти полифазные фильтры, хитроумные перетрахивания операторов (Фарроу) не нужны. Нужны формулы, а как их использовать, найдем способ.


Вычислить косинус посложнее полинома 7 степени будет. С чего вдруг стало проще?

Если реальное время не является критичным, можно использовать DFT интерполяцию. Пример:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Здесь разумеется проявляются краевые эффекты, поэтому выводить лучше значения в интервале [N_guard...N_dft-N_guard]. Ну это уже детали реализации.

Да. Фильтр простой будет, скажем 5 умножений на константы на входной частоте дискретизации, зависит от требований к подавлению.



Не имеет значения, в реальном, не в реальном, зачем лишние вычисления, параболический Фарроу - простой способ любой отсчёт вычислить промежуточный, но требует побольше чем 5 отсчётов на период, увеличиваем в два раза до 10, половина отсчётов остаётся исходная, нужно вычислить только вторую половину между исходными отсчётами, а это всего лишь ФНЧ симметричный с чётным количеством коэффициентов, который даёт задержку в пол такта исходной частоты дискретизации, единственное требование к которому - АЧХ константная вплоть до вашей крайней частоты.

Так а почему сразу по 10 выборкам не интерполировать, если этот Фарроу требует больше 5 выборок? И почему он столько требует?
А, понял. Ломать сильно будет. Ну так на одном Фарроу теория не остановилась.
Параболический - кубическая парабола, естественно?
То есть, поскольку кубическим полиномом интерполяция не блещет качеством, вы предлагаете интерполировать в 2 этапа. Что же не полиномом 5-й степени?

Вы 5 на период задали в исходной постановке.



Потому что простой, чем меньше передискретизация тем сложнее интерполятор для вычисления произвольной точки между исходными отсчётами.

Спасибо. Посмотрел, что работает. Синус восстанавливает прилично. Но этот алгоритм не соответствует требованию "просто".
А на края окно можно наложить, наверное.
Время не реальное (250 МВыб/с), но и не бесконечное. Возможно, и так получится. Нужно смотреть, во сколько уложится.
А как будет интерполироваться этим алгоритмом перепад?

Думаю полиномом 5-й степени больше вычислений, впрочем это от архитектуры вычислительного устройства зависит, вам виднее, я со своей FPGAшной колокольни смотрю.

Так то на период. Выборок - куча. Можно хоть по 10-ти интерполировать. Шучу.


Понятно. Я микроконтроллером буду интерполировать.

Я так понял, что в вашем сигнале нет частот выше, чтоб на период меньше 5 отсчётов приходилось, выборок в фильтре и будет куча использоваться, больше 5.

Такое предлагали? Пользовался, мне понравилось. Буржуи делают для людей, очень просто и удобно.

Вещь хорошая. Но не по теме.


Имеется в виду одновременно, для вычисления одного интервала интерполяции.
Будем считать, что выше частот нет. А если есть, интерполируем, что получим.

Перепад чего смотря. Если амплитуды, то прекрасно, это легко проверить в том же скрипте Как и любой другой перепад.

А по сложности. Если у вас 250Msps, и вы хотите визуализировать сигнал на передискретезации, например, х10, то, наверное, это будет не потоковая визуализация, т.к. 2.5Gsps, допустим хотя бы байт на сэмпл = 20Gbps - согласитесь как-то многовато. Значит, скорее это будет какая-то произвольная выборка из данных АЦП, которая будет интерполироваться в N раз (в 10, например), выводиться на экран, далее берётся другая выборка и так по кругу. Правильно я понимаю?

Тогда предложенное решение несложное, т.к. требует использования непотокового БПФ/ОБПФ, которое реализуется "малой кровью" как в аппаратуре так и на компьютере.

ЗЫ: по поводу краёв, окно будет нужно, если вы хотите строить спектр этого сигнала. Для корректной визуализации проще выбрать только те значения, которые подходят. Например, с помощью ОБПФ было получено 8192 точки. Можно вывести на экран 8000 точек, выкинув первые и последние 96.

ЗЗЫ: по поводу "приличности восстановления синуса". Метод, основанный на БПФ-ОБПФ - лучший линейный метод, т.к. он использует все доступные точки исходного сигнала для получения промежуточных значений. В этом плане он будет оптимальнее любого фильтра, т.к. фильтр будет просто напросто короче. С другой стороны нелинейные методы могут дать схожий результат по значительно меньшему количеству точек. Но тут вы рискуете получить всевозможные артефакты, как то: ложные экстремумы между точками, биения - это нелинейные искажения, которые присущи данным методам.

Правильно. Не только в 10 раз. В много больше. Не по кругу, а от начала до конца. Фрагмент.
Выбрасывать выборки не хочу. Интерполирую, дополнив края чем-нибудь.
Метод БПФ-ОБПФ восстанавливает синус той же амплитуды. Это радует. А полиномиальные ломают, до амплитудных значений не дотягивают. Я так вижу в МАТЛАБе.

Потому, что, "как известно", удовлетворительной считается аппроксимация кривых для целей визуализации с СКП не более 3%.
Посчитать косинус с такой погрешностью это точно менее затратно, чем полином 7 степени.

А чем интерполяция sin(x)/x не подходит ?
Наглядные примеры разных методов для разных сигналов.