Мало имел дела с регуляторами, так что, возможно, ерунду спрашиваю...
Из формулы, которую везде приводят, явно следует, что переходная функция не может быть без колебаний (что вижу и на практике).
Ведь когда регулируемая величина доползет до требуемого значения, ошибка станет =0, но из-за интегрального члена она обязана перескочить требуемое значение, и только тогда значение интеграла начнет уменьшаться по модулю. Дальше перескок в обратную сторону –> затухающие колебания, сходящиеся к требуемому значению.
Откуда на картинках берутся графики без перерегулирования?

Это не так. Вот тут долго обсуждалось -https://electronix.ru/forum/index.php?s=&showtopic=73921&view=findpost&p=730199

Обсуждалось действительно долго, но все-таки другое. То, что «это то не так», там только констатировалось. Буду признателен, если разжуете или подкинете ссылочку, где я найду ответ на мой вопрос.

Не другое. Обратите внимание на мою дискуссию с Oldring. Он как раз и утверждал, что невязка (разбаланс) в любом случае будет знакопеременной. Но был переубежден.
Чисто математически - дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее такую систему, может иметь три решения (одно из них (второе) является граничным и нереализуемо практически). Третье - с затухающими осцилляциями, а первое - апериодическое движение.
На пальцах - легко представить печку, нагреваемую ПИ-регулятором с большой постоянной времени интегратора и малым усилением. При приближении к равновесию пропорциональный член очень мал, а интегральный медленно и печально увеличивает нагрев, который выходит на стационар через бесконечно большое время. Асимптотически.

Процесс без перерегулирования будет апериодическим - всё зависит от коэффициентов регулятора.
Есть разные методики расчет коэффициентов в зависимости от желаемого компромисса между скоростью регулирования и допустимым перерегулированием, ищите по ключевым словам: Ziegler-Nichols, Cohen-Coon, Wang-Juang-Chan, Chien-Hrones-Reswick

Например, для роботов-манипуляторов перерегулирование недопустимо.

Я, кажется, понял, что не с тем маслом курил эти регуляторы.
Tanya, я правильно (теперь) понимаю, что величина kp*err(t)+ki*integral(0,t)err(s)ds и является (если «плясать от печки») тем самым напряжением, которое мы подаем на нагреватель печки?
До сих пор я думал, что эта величина – добавка к напряжению на предыдущем шаге.


Не понял, что Вы имеете в виду. Чисто математически, по теореме единственности, это ДУ имеет единственное решение. Я его даже нашел для пресловутой печки с ПИ-регулятором. Оно состоит из двух слагаемых: константа и exp*sin.


Спасибо, это мне пригодится, когда дойду до наладки.
Сейчас с теорией хочу разобраться.


Предполагаю, что Вы не тот смысл вложили в слова «не может быть без колебаний», «обязана»

Я?

Да. Не тот смысл, который я в них вкладывал. Иначе не понятно, к чему такое очевидное замечание


Ааа, кажется догадываюсь. Нумерация, показавшаяся поначалу странной (второе, третье, первое), навела на мысль, что подразумевается «решение ДУ, в зависимости от комбинации коэффициентов, может иметь 3 вида...».
Уменя, правда, получилось, что общий вид всегда один

Очевидно, к тому, что в некоторых случаях перерегулирование допустимо, чтобы быстрее установиться, а в некоторых нет. И в тех, в которых нет, его нет.

Не напряжением, а мощностью. если для печки. И знаки не те.
Вот для печки мощность (два ваших члена) равна температура с точкой (производная от температуры по времени), умноженная на теплоемкость. Если взять еще раз производную получится дифференциальное уравнение второго порядка - уравнение колебательного контура. Если навниматиться, то можно увидеть, что получено уравнение для грузика на пружинке, где пропорциональный член представляет трение, а интегральный - пружинку.

Пресловутое уравнение имеет в зависимость от соотношения параметров три различных решения, что вместе с Вашими начальными условиями дает единственную траекторию. Смысл теоремы единственности в том, что траектории не должны пересекаться.


Вы не один так заблуждаетесь... https://electronix.ru/forum/index.php?s=&am...st&p=175147
Не знаю, радоваться этому или...

И в "некоторых" случаях применяется еще и нелинейное регулирование... Например в усилителях с быстрым откликом. При большом рассогласовании между входом и выходом включается генератор накачки тока в каскады, что дает усилителю малую постоянную времени переходного процесса. А когда быстрая часть переходного процесса пройдет и напряжение рассогласования уменьшится, то генератор отключается и далее идет чисто апериодический процесс... Еще так же ходят лифты. Быстро подъезжают к этажу, а потом медленно подходят к уровню пола...

Весь секрет в том, что рисуя такие графики народ считает, что имеет дело с линейной системой второго порядка.
Она элементарно решается в маткаде.
Записывается ее изображение в s-области в виде дроби как на моем рисунке ниже и делается обратное преобразование лапласа.
Причем важны для осцилляции только коэффициенты в нижней части дроби.
В верхней части может стоять тоже многочлен 2-го порядка, но это не важно для осцилляции.
В общем решении видна функция sinh, вот она и отвечает за осцилляцию.
Если ее аргумент реальное число, то будет просто экспонента, если число мнимое из-за корня от отрицательного числа, то sinh превращается в косинусы и синусы и соотвественно осцилляцию.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Однако это просто везение, когда удается иметь дело с системами второго порядка.
Для систем более 4-го порядка никто вам уверенно не скажет можно ли получить гладкую переходную без затухающей осцилляции в принципе. Ибо там только численные решения.


В современных лифтах идет отработка траектории строго по PID.

Те или не те – зависит от того, что понимать под err. Ну это так...

Спасибо, Tanya.
А также всем неравнодушным.

На самом деле, соль, которую я отсюда вынес, – вот она:

Как только в вашей модели управления появляется мощность вы теряете ее линейность.
И вся теория усложняется многократно.
Так что подумайте.

По-моему все усложнение заключается в том, чтобы извлечь квадратный корень

Думать полезно.
Только подача мощности в данном случае (печка) делает систему линейной. Для мотора - ток.
Я так думаю.


Но это не сложность, а необходимость.
Обычно возводится в квадрат напряжение и подается в обратную связь после интегрирования.
Точнее - управляющее воздействие (вычисленное) складывается (вычитается) с квадратом напряжения и интегрируется.

Согласен. А для того чтобы подать мощность, нужно из нее (вычисленной по вышеупомянутой формуле) извлечь корень и подать его (этот корень) в виде напряжения.
Ну это если пренебречь изменением сопротивления грелки от температуры.

В моем-то случае другая сложность: теплоемкость (если в терминологии печки) может меняться независимо от моего желания. Тут, видимо, придется разбить на диапазоны и для каждого свои коэффициенты


Собственно, и пренебрегать не надо. Если R(T) известно, то можно учесть, оставаясь в линейной задаче.

С печками никогда не бывает линейной задачи, поскольку там есть задержка.

Никогда... "Никогда не говори "никогда"" и не горячитесь. Вот проволочка из чистого металла - нагреватель и термометр в одном флаконе.
И в печке задержки нет. Есть динамическое распределение тепла, тепловые волны...
Надо правильно располагать нагреватель и датчик.


А что у Вас за "печка"? Если меняется неконтролируемо, то есть такой путь - измерять динамику быстро.
Корень в некоторых случаях медленно вычисляется процессором. Помогают аналоговые умножители.

Вроде сама по себе задержка линейность не портит.


Печка как раз такая:

И на нее дует ветер... или не дует.
По-моему это в модели сводится к изменению теплоемкости.


Динамику чего?
Если я правильно понял, то учет динамики превратит в ПИД.


Проще аппроксимировать полиномом.

Это называется термоанемометр. Теплоемкость проволоки не меняется. Меняется теплоотдача, которую и нужно измерять. Тут два пути.

Постоянный ток. Измеряется температура. По сопротивлению мостовым способом.

Постоянная температура. Измеряется подводимая мощность.
Может. есть еще какие-нибудь.
Если проволока тонкая, то в первом случае ее небольшая теплоемкость несколько замедляет отклик.
Во втором - мощность подводимая равна отводимой. Но реализовать такое сложнее. Тут уже ПИД нужен.

Мне поначалу показалось, что можно к теплоемкости свести – ошибся.


У мну второй. Но тут из кожи лезть бессмысленно, поскольку из-за дурацкой конструкции (долго бодался с начальством, но не проломить) присутствует утечка, которую вообще не учесть и еще есть бяки. Все равно хорошо сделать не получится (по вышеупомянутой причине), так что, думаю, с ПИД заморачиваться не стоит того.

Какая разница ПИ или ПИД... Если не использовать аналоговый регулятор, то на контроллере, например, STM32F303 можно уложиться в микросекундный диапазон. Там есть ПИД-библиотека. Д-член добавит скорости. А вот корень лучше аналоговым способом.
Какая утечка? Что и куда течет?

Ну если экспонента в операторном полиноме вам ничего не портит, то да.
Но народ обычно задержку апроксимирует дополнительной рациональной дробью, которая повышает порядок системы и вносит ошибку в модель.

Нет, ну это кощунство!
Обычный MK66 семейства Kinets (Cortex-M4) от NXP делает корень в double за 3.75 мкс
И между прочим некоторые представители в серии Kinetis имеют специальный сопроцессор для операций извлечения корня.

Тепло из нагревателя в конструкцию, нагревает ее, и при следующем включении девайса условия уже другие.


Лишняя возня с доп. коэффициентом. Не потому что я пофигист, а потому что овчинка выделки (при упомянутом выше). Плюс еще по техническим причинам во всем диапазоне нормально подобрать нет возможности. Начнутся еще колебания страшные.


Контроллер другой, железо уже есть.


Дык я ж не говорю, что ничего не портит. Я говорю, что линейность не портит.
Повышение порядка не есть превращение линейности в нелинейность.


А вот здесь согласен!
Ну наверно можно найти случаи, где аналоговые вычисления оправданы, может даже где не обойтись... Может быть для управления каким-нибудь атомным реактором, где нужна молниеносность

Коллега, Вы Kinets тут рекламируете? Похоже, Вы его в каждой теме поминаете... Есть и другие МК, не хуже.

Линейность портит. Нарушено правило гомогенности.

Да ну?
А что же их никто не рекламирует?
Реклама Kinetis для понимающих это все равно что реклама воздуха.
Поэтому это не реклама.

Неплохой аналоговый умножитель (не буду рекламировать) имеет полосу 250МГц.
Я вот не хочу, чтобы вычислитель вносил транспортную задержку.

А вот тут пишут что делали цифровые умножители на 40 ГГц еще в 2005 году.

Не могу понять, сколько же там тепла выделяется у Вас.
Если боитесь колебания, то сделайте все максимально мееедленным. Только зачем?


А делители? Ведь я имела в виду такое простое устройство. На вход ОУ - управляющий сигнал, в обратной связи стоит умножитель. На выходе получается корень.

Критерий нелинейности – появление на выходе частот, которых не было на входе (при разомкнутой петле). Задержка их не родит.



Мне не нужны ни 250МГц ни 40 ГГц ,
и внесенная задержка тут не страшна


Конечно, специально делать мееедленнее, чем возможно, не нужно. Но у системы постоянная времени где-то порядка 1 сек, и мощности АВР-ки за глаза хватит.