Предположим, что у нас имеется некий черный ящик на вход которого можно подавать какой-либо сигнал.
Задача оценить его (черного ящика) частотно-фазовую характеристику.
Если я подам на вход системы импульс, то вроде бы на выходе ЛС будет отклик, соответствующих ИХ данной ЛС и если взять Фурье от полученной ИХ то и получим частотно-фазовую характеристику.
Вопрос - насколько правомочно применение данного подхода, если одним из компонентов в черном ящике является устройство децимации?

абсолютно наплевать- на то он и черный ящик.

Тогда не могли бы Вы ранее озвученным способом смоделировать расчет частотно-фазовой характеристики черного ящика состоящего из halfband фильтра и дециматора на 2? Особенно интересует что будет показывать рассчитанная АЧХ в точке 0.25 исходной частоты дискретизации (или в точке 0.5 конечной частоты дискретизации)?

А его по определению не нужно моделировать...У него или есть известная характеристика, независимо, как она получается, или её нужно измерить- как Вы и сформулировали. смоделировать- это уже не ЧЯ.

...ключевое слово "линейных".


Ну типо так - если подадите импульс (дэльта) то получите импульсный отклик. А если подадите серию таких импульв заведомо более длинную чем время переходного процесса системы (т.н. единичный импульс) вот тогда то и получите переходную характеристику системы. И да, взяв от нее FFT получите АЧХ системы(ПХ)... это всякие Айфичеры-Джервисы мутят устоявшуюся терминологию ...


ммм... децимация в каком смысле? В последовательности появляются "0"(это в общем и целом уде нелинейная обработка - параметрическая система) или просто "улетают отсчеты"(просто меняется "скорость" чтения функции))?

Если я рассчитываю АЧХ системы (halfband->decimation) путем подачи импульса, регистрации отклика (ИХ) и взятием от ИХ Фурье, то получается некая АЧХ.
Однако если я типа в уме, на основании здравого смысла оцениваю АЧХ системы (после фильтрации halfband и последующей децимации в 2 раза представляю свертку спектра), то полученная АЧХ отличается от АЧХ, полученной путем подачи на вход единичного импульса. В целом и общем отличия не сверхпринципиальные, но отличия есть. Вот и возник вопрос - а провомерно ли для систем с децимацией использовать подход измерения АЧХ через подачу на вход импульса?, или здесь есть особенности?

Некая - да получаеЦЦо... Вот только Фурье надо брать от ПХ, а не от ИХ... (йа болванчеГ , мыже ищем АЧХ системы, а не реакцию на произвольный сигнал)


...очень длинные мысли лучше разбивать на несколько простых. Итак:
Я так понял у Вас расхождения модели и оценки "в уме", с этим понятно
Но вот что я не понял:
1) что Вы называете импульсной функцией, а что единичной(есть подозрение, что одно и то же, а это неверно)...
2) что есть свертка спектра и каким она боком к линейным системам? Напомню, что свертка во временнОй области(наложение фильтра) соответсвует перемножению спектров в частотной области...


Ну а что Вам подсказывает тот же здравый смысл(который вам в уме строит АЧХ-ФЧХ)? Вот идет постоянный ток, мы его продецемировали - что на выходе? Синусоиды всех мастей - продецимировать, что выйдет? А вот ежели сумму синусоид?

Предположим
h=[0.042041 0 -0.087017 0 0.31156 0.5 0.31156 0 -0.087017 0 0.042041];

Далее делаем так

%формируем единичный импульс
s=[zeros(1,128) 1 zeros(1,128)];

%фильтруем
s_f=filter(h,1,s1);

%децимируем в два раза
s_f=s_f(1:2:end);

%Фурье от ИХ
plot(20*log10(abs(fft(s_f))+eps));

Где ошибка?

Это не единичный скачек, а дэльта-импульс...
Черт, я с утра туплю. Мы же не ПП ищем а АЧХ. Все правильно Вы делаете. Не знаю что там у Вас не так - давайте картинки в студию...

Ну я вроде о скачке и не говорил, я это единичным импульсом называл. Но ладно, хрен с ним с названием. В ранее приведенном мною коде все таки что Вы видите некорректным? Не тот сигнал на вход подается, не так выход обсчитывается или в принципе для такой системы такой подход противопоказан?

Я понял! Я пршу-прощения, я не так понял да еще не так исправил! Вобщем и целом, Вы верно мыслите дельта имульс на вход системы->имеем ее АЧХ характеристику->FFT->и меем АЧХ... И собственно децимация тут ничего не испортит.
Вопрос в том, что именно Вам не нравится? Можно иллюстрации?

Ставьте вопросы по существу

Если посмотреть plot(20*log10(abs(fft(s_f))+eps)) то ровно посередке (точке соответствующей 0.5 от новой частоты дискретизации) мы увидем подавление около 30дБ.

А если в уме прикинуть то что должно получиться, то так как halfband в точке 0.25 от начальной частоты дискретизации по определению имеет 6дБ, то после децимации в 2 раза во время которой спектр накладывается, то в точке 0.5 (от новой частоты дискретизации) должно бы быть теже 6дБ, а не 30дБ!

Так что правильно 6 или 30?

Так получатся?

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Исходная АЧХ halfband фильтра входящего в состав системы - фильтр->дециматор в 2 раза

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

То что по идее должно получиться после децимации в 2 раза и полученного после этого наложения спектров (зеленая линия).
Дополнительно отмечу, что если тестирование данной системы провести путем подачи на вход синуса (на разных частотах) и сравнить выход по отношению ко входу, то мы как раз и увидем зеленую линию.

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Та АЧХ, которая получается при подаче на вход системы единичного импульса

h=[0.042041 0 -0.087017 0 0.31156 0.5 0.31156 0 -0.087017 0 0.042041];

%формируем единичный импульс
s=[zeros(1,128) 1 zeros(1,128)];

%фильтруем
s_f=filter(h,1,s);

%децимируем в два раза
s_f=s_f(1:2:end);

%Фурье от ИХ
plot(20*log10(abs(fft(s_f))+eps));


На втором и третьем рисунке наблюдаем откровенное несоответствие поведения графика на частоте 0.5 от новой частоты дискретизации.

Не вдаваясь в анализ Ваших результатов, могу только еще раз повторить, что к системам типа дециматор-интерполятор совершенно не применимы такие понятия, как АЧХ и передаточная ф-я. Так что вопрос "что правильно 6 или 30?" не имеет смысла, ибо не правильно ни то ни другое.

В дополнение могу порекомендовать ознакомиться с работами Vaidyanathan P. P., например Quadrature mirror filter banks, M-band extensions and perfect-reconstruction techniques, цитата:

"...decimator is a time-varying device, even thought it is linear. Accordingly, it cannot be represented by a transfer function..."

И посмотреть (хотя бы на Wikipedia) что такое Time-variant system:

"There are many well developed techniques for dealing with the response of linear time invariant systems, such as Laplace and Fourier transforms. However, these techniques are not strictly valid for time varying systems."

"It does not have an impulse response in the normal sense"

Ну уж совсем ничем характеризоваться они не могут наверное. Что-то должно быть, что?

- а какое подавление должно быть на самом деле если на вход системы будет подана частота 0.25?

Далась Вам эта частота)). Полистайте форум, пару-тройку месяцев назад тут были серьезные диспуты по поводу теоремы Котельникова (в который раз уже) и частоты 0.5*Fd (ну или 0.25*Fd до децимации). С практической точки зрения говорить про эту частоту не имеет смыла, в этом легко убедиться если посмотреть на результат фильтрации и децимации двух синусоидальных сигналов с одной и той же частотой 0.25*Fd но с разными фазами.

Если же речь идет о частотах меньше 0.5*Fd (0.25*Fd), то насколько я помню, эта тема уже обсуждалась: Halfband фильтр...

Перескочил сюда из недавней темы. Попробовал то, что здесь предложено. Но изменил длину входной последовательности, чтобы было кратно степени 2.

Имею картинку, отличную от показанной топикстартером.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Если же последовательность другая, то и картинка другая.
s = [zeros(1,128) 1 zeros(1,127)];
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Как это понимать?

Ясно же сказали, что к системам с дециматором неприменимо (в полной мере) понятие ЧХ.
Исходные ЧХ (до децимации, синие) совпадают.
После децимации (малиновые) различаются из-за того, что выброс входного сигнала попадает под децимацию. Если конкретно для децимации в 2 раза иметь входной сигнал с ДВУМЯ единицами подряд, малиновые графики должны совпасть более точно (не проверял, но так думаю). Но это - уже не частотная характеристика.

Еще раз:

"...decimator is a time-varying device, even thought it is linear. Accordingly, it cannot be represented by a transfer function..."

И для закрепления материала вот так попробуйте:

% Дециматор в два раза
s_d = s_f(2:2:end);

И что? Первый вариант поменялся со вторым.

С двумя единицами уже что-то бессмысленное вылазит...


Очень уж удачно попадает. Так, что плоская АЧХ получилась. Ну, пусть не АЧХ...

Вот с этим сигналом:
?
Ничего не бессмысленное, а спектр отклика на сигнал из двух единиц подряд. Он уже устойчив к сдвигу при децимации в 2 раза.

s = [zeros(1,127) 1 1 zeros(1,127)];
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
s = [zeros(1,127) 1 1 zeros(1,128)];
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Как видите, не устойчив... А, нет, одинаковый.