Доброго времени суток! Необходимо аналитически рассчитать величину вносимого сопротивления в системе виток с током-проводящий немагнитный шар. Занимался ли кто-нибудь подобным? В учебнике Индукционная толщинометрия Дорофеева в приложении есть сводка формул для вносимых сопротивлений при различных конфигурациях системы, в т.ч. для моего случая (виток с током-шар) - Исходная формула.jpg,
Функция Фи(n).jpg
Формула есть, а пояснения внятного всех входящих величин - нет Все мои попытки получить по данной формуле годограф, приводимый в том же учебнике, потерпели крах. Может ли кто внести ясность или дать ссылку на другой источник?

аналитически, это хорошо.
а численные методы не катят ? CST EM LF (рисунок )

Уважаемый tay,
во-первых мне необходима аналитическая форма записи хотя бы для простейшего случая, во-вторых, численное моделирование провожу в Maxwell и тут как раз и хотелось сравнить соответствие хотя бы порядка вносимых величин - при моделировании очень легко "промахнуться", не имея большого опыта в подобных вещах.

P - это полиномы Лежандра. Задача симметричная по фи. Очевидно, раскладывают поле витка в ряд по сферическим модам, для каждой моды считают каким-то образом потери, а потом комбинируют всё в один результат.

P - нормированные присоединенные функции Лежандра, J - функции БЕсселя первого рода полуцелого порядка комплексного аргумента видимо. Пробовал получать значения функций и по рекуррентным формулам, и брал из матсправочников готовые аналитические выражения этих функций (первых четырех членов) - никак не получается даже близкий к требуемому результат
Вот как примерно должен выглядеть конечный результат http://narod.ru/disk/1087950001/Godograph.jpg.htmlНажмите для просмотра прикрепленного файла

Скорее сферические функции Бесселя.
А вообще говоря нужно разбираться в выводе формулы IMHO.

В том то и дело, что вывода формул нет, есть только готовая сводка. Вывод есть для случая виток над полупространством или проходная катушка с бесконечным цилиндром, но мне это сильно не помогло.

Метод вывода должен быть похожим, только геометрия другая.

Это-то я понимаю. К сожалению сам я, видимо, не в состоянии разрешить эту задачу. ТЕм более она, очевидно, уже была решена. Потому и пришел искать помощи сюда - вдруг да найдется человек, занимающийся подобными вопросами.

Удачи вам в поиске человека, уже решавшего такую задачу!
Задача выглядит как довольно узкоспециальная. Это что, шарики для подшипников тестируют?

А как выводится для плоскости?
А список литературы там есть?

Соболев, Шкарлет "Накладные и экранные датчики", Новосибирск, 1967. (есть бумажная)
Герасимов "Неразрушающий контроль" NDT_EM.pdf
Справочник по неразрушающему контролю под ред. Клюева. (есть бумажная)
Есть множество ссылок на полезные статьи, но большинство из них 65-75 гг, а многие, к тому же, были опубликованы в трудах вузовских конференций - найти ну нереально.

Насколко я помну курс математики. Подобные задачи удобно решать методом конформных отображений. Преобразуем систему коодинат в новую где шар превратися в плоскость решаем случай витка над плоскостью и результат переносим в исходные координаты. преобразование где то вида Хнев= 1/Х, Yнев=1/Y, Zнев=1/Z.

Вот это сомнительно. Для шарика токи текут по всей поверхности, а на плоскости токи на бесконечности нулевые.
Для высоких частот (малая глубина проникновения) кажется проще - виток отображается сферой на виток внутри. Тоже плоский, если радиус-вектор из центра сферы перпендикулярен плоскости витка...
Легче найти плотность поверхностных токов.
Мне также кажется сомнительным разложение... Ведь потери квадратичны от тока...


Вот в NDT_EM.pdf ключевые ссылки 13 и 65. Первую можно и поискать (книга). Вторая точно должна храниться (диссертация), но как ее достать, не знаю. Можно попробовать по фамилии автора - он же должен был публиковать статьи.

В каждом приличном учебнике по электродинамике есть задача о эллипсоиде в однородном поле, либо магнитном, либо электрическом.
Можно там подсмотреть методы решения.

Случай с малой глубиной проникновения совсем простой. Поле от витка с током известно, поле внутри шара тоже известно, оно нулевое.
Токи текут по поверхности шара, их поверхностная плотность сразу же находится из условий на границе раздела.
Теперь можно вспомнить что толщина скин-слоя не совсем нулевая, но много меньше радиуса. В этом случае плотность тока уменьшается с глубиной проникновения экспоненциально, как для плоской границы раздела. Остаётся проинтегрировать j*E или сигма*E² по объёму проводника чтобы найти энергию потерь.

Порекомендую ещё том 8 Ландавшица (параграфы 3 и 4) и задачник Батыгин, Топтыгин Сборник задач по электродинамике.
В точности такой задачи там нет, но есть похожие.

В однородном поле - значительно проще. Именно такая задача попалась мне на экзамене...
А тут немного сложнее... Внутри - виртуальный виток с меньшим током. Потом - скачок поля даст поверхностную плотность тока. Расположение витка и ток находятся из "окружности Аполлония"...

А сферические гармоники - ортогональны. Так что если моды поля оказываются ортогональны, причем, моды задачи в целом с учётом скин-слоя в шарике, что можно предположить исходя из его малой толщины - то и потери в целом равны сумме потерь в отдельных модах поля. Как видите, вопрос об ортогональности отдельных E и H, получаемых дифференциальными операторами из решений производных от уравнений Максвелла уравнений Гельмгольца для векторного потенциала, и здесь ключевой.

Tanya, я именно так и решил некоторое время назад. Собственно формула в самом первом посте как раз из [13] (а 65 вообще в списке литературы нет ) В [13] анализируются некоторые следствия из нее, однако нет ни одного разобранного примера. Я лишь хочу оценить хотя бы порядок величин (вносимого сопротивления) для конкретной системы. К сожалению, физик из меня еще тот, потому, по возможности, комментарии давать максимально упрощенные
SSerge, спасибо за ссылки на литературу - обязательно ознакомлюсь.

а почему нельзя или не хотите это сделать экспериментально?
пмсм самый быстрый и весьма достоверный способ.

to tay
я бы с радостью, но требуемые размеры частиц находятся в области десятков микрон, потому экспериментальное исследование данного вопроса требует либо прецизионных RLC-метров, чего нет и не предвидится, либо сбора экспериментальной установки с отличными шумовыми параметрами и широким диапазоном рабочих частот, что тоже не тривиально, да и как можно собирать установку, если даже примерно не знаешь на какой уровень вносимых параметров ориентироваться?

раз махонькие частицы , примите что поле однородное. Tanya, вероятно, Вам ответ подскажет, если время найдет.

Вот-вот. Все валите на меня... Ответ легко подскажу... Для электрического поля - две сферы с однородным распределением заряда (противоположного знака) по объему. В одной - электроны, в другой - остовы. Слегка сдвинутые... Формулу сразу видно.
Для магнитного поля... можно покрутить предыдущую картинку, а можно вспомнить теорему о циркуляции... и найти поверхностные токи.
Но, боюсь, что во всем этом нет особого смысла - потери будут сильно зависеть от размера и слабо от формы. Если частицы могут двигаться, то энергия тоже будет утекать еще и туда... их будет выбрасывать из поля. Кроме того, хотя для одной частицы поле, в котором она живет, некоторое время можно считать однородным, то поле витка - никак нельзя. Поэтому для частиц в разных местах будет разная диссипация... Это все для малой концентрации... Для большой - уже среда... Там принято описывать в терминах комплексных магнитной и диэлектрической проницаемости... И дисперсионные соотношения имени Крамерса-Кронига интегрировать в смысле VP.
P.S. Автор - нехороший человек, - морочил голову кольцом с током...

И ничего не морочил - во всех учебниках, связанных с контролем вихревыми токами это основная модель. Другое дело, что сразу не упомянул о размерах шара - но я и не подозревал, что это принципиальный момент. Приношу свои извинения. К тому же здесь, наверное, важны не абсолютные размеры, а соотношение диаметра витка и диаметра шара. Интуитивно понятно, что чем больше это соотношение, тем меньше будет величина вносимых параметров (меньше коэффициент заполнения).
При таких размерах действительно потери, видимо, не буду зависеть от формы шара. Т.е. рассматривать модель взаимодействия витка с шаром нецелесообразно, если в конечном счете интересует именно множество частиц и виток? И воздействия частиц на виток не будут "отдельными", так, что их можно проинтегрировать? Может быть тут существует какое-то граничное значение концентрации (а может быть размеров частиц), когда можно считать их совокупность средой, а когда изучать влияние отдельных частиц?

Комплексные магнитная и диэлектрическая проницаемости в теории вихревых токов применяются для описания полей внутри макротел. Т.е. при большой концентрации частиц для поля витка это нужно рассматривать как единую среду (тело) с какой-то комплескной диэл и маг прониц, которые зависят от концентрации?? Если есть какая-то литература по данной тематике, буду признателен?
PS: Tanya - хороший человек, раз сочла возможным ответить, за что ей очень благодарен!

Довольно грубо можно считать, что если удельный объем шариков меньше 10 процентов, - это отдельные шарики... Экранирующий эффект на соседей мал. У Вас основная проблема - распределение шариков с разными размерами и распределение шариков в разных местах - неоднородное поле от катушки - витка.
Вы что изобретаете?

сделал кое-какие эксперименты, ибо все оказалось "под рукой" сегодня.
поскольку размеры частиц малы , я предположил что на низких частотах ловить их одиночное влияние в "огромном" объеме поля бессмысленно. Датчик (катушечка) должны быть маленькими , а значит, частота высокая . Поэтому использовал имеющийся Гун на 10ГГц с сосредоточенным контуром. внесение частиц возможно было до расстояния 1мм от катушки контура из-за конструктивных ограничений.
Результаты: Гун, с заземленным входом управления, реагирует на внесение мелких медных деталюшек - частота повышается уверенно на 0.5 Мгц (относительно 10Ггц) при внесении незамкнутого медного колечка диаметром примерно 1 мм из проволочки 0.08мм. Собственная паразитная ЧМ модуляция этого Гун в полосе 1-10Гц (более правильно-отстройках) порядка 0.1Мгц (насколько можно судить по мельтешению пика несущей в спектроанализаторе). На таком объекте его влияние на частоту очень хорошо заметно. но на расстоянии 2-3мм влияния уже нет.
Для отрезанного кусочка провода 0.08 длиной 0.25 мм на расстоянии 1 мм от контура влияние тоже заметно , но сопоставимо с паразитной ЧМ несущей из-за фазового шума.

Следил только за изменением частоты , в связи с тем, что пмсм при толщине скин слоя менее 1 мкм (10GHz) влияние частицы будет в первую очередь на индуктивность контура , нежели на его добротность и вносимые потери.
для повышения чувствительности можно приблизить например фторопластовый "трубопровод" с частицами ближе к контуру, тогда (возможно) появится способность реагировать и на более мелкие одиночные частицы в протекающем жидком носителе.

to tay
спасибо большое за уделенное данному вопросу время! К сожалению, у меня нет спектроанализатора, а был бы весьма кстати для оценочных экспериментов, подобных Вашему. Очень, конечно, интересно оценить и величину активных потерь на более низких частотах - буду искать возможности! Опять же вопрос, что эффективнее с точки зрения обнаружения - работать на повышенных частотах и наблюдать только за индуктивностью или понижать частоту и снимать обе квадратурные составляющие?
Кстати, величина вносимых параметров падает по экспоненте при вынесении объекта исследования за пределы катушки, потому действительно можно ожидать повышения чувствительности. Хотя если даже для объекта в 0,25мм величина влияния на контур сопоставима с паразитными явлениями, это заставляет задуматься.
to Tanya
как верно подметил уважаемый tay, задача заключается в регистрации мелких проводящих объектов вихретоковым методом, в т.ч. и в потоке жидкости. Кстати, как Вы полагаете - влияние движения частиц на величину вносимых параметров значительно? Скоростью потока, в принципе, можно управлять, если возникет необходимость отстраиваться от этого фактора. И касательно 10% - это удельный объем от какого объема - того, в котором существует поле витка?

Это отношение объема частиц к объему жидкости... Движение жидкости в данном случае поможет избежать сепарации в объеме.

примерно 1 Мгц - мало для мелких частиц, и по вносимым потерям и по вытеснению поля. 20-30Мгц (имхо) -одинаковое векторное влияние в квадратурах. 100Мгц и выше - в основном угловое влияние. для меди. у Вас платина? в любом случае существенными факторами будут исходная добротность резонансного контура, отношение объема частицы к объему поля внутри контурного соленоида.

если наврал где - извините.

Спасибо большое за оценки, мои до сего момента были еще более грубыми. ПОтому и хочу провести аналитическую оценку - выбрать рабочую частоту и проч. Но, видимо, граздо рациональнее двигаться 2 путями - и теория, и практика.
Касательно материалов - сталь (ШХ-15), латунь.

to Tanya

Этим Вы имели ввиду, что можно будет рассматривать носитель с частицами как единую среду с комплексными проницаемостями?

Этим мы имели в виду только то, что имели. Но ввиду того, что Вы спрашиваете о том, что имелось в виду, еще раз скажу - на частицы будет действовать дополнительная к силе тяжести сила, которая будет зависеть квадратично от поля (поле на градиент) и может за некоторое время изменить пространственное распределение частиц по объему...

to Tanya
Спасибо, теперь ясно!

Может быть в первом приближении попробовать найти комплексную эффективную магнитную проницаемость материала, составленную из отдельных шариков малого размера.
В литературе можно найти вывод выражения для эффективной магнитной проницаемости для проводящего шара в однородном внешнем синусоидальном поле. Потом можно воспользоваться из магнитостатики выражениями для проницаемости материала образованного смесью частиц (формулы Релея, Лихтенеккера и т.д.).

Задача взаимодействия шара с витком действительно расписана во многих книжках по ВТ контролю, но вряд ли поможет когда объект много меньше катушки .

Если отыщите, то посмотрите К.М.Поливанов "Ферромагнетики" 1957, там такой подход предлагают для искусственных магнитодиэлектриков.

to SBE
Спасибо. Я и сам уже мыслю в том же направлении после размышлизмов уважаемой Tanya. Поиск по тематике (за формулу Лихтенеккера отдельное спс ) сразу дает достаточное количество любопытных ссылок. Но вот так навскидку - будут ли работать формулы в случае, если среда неоднородна по составу, т.е. магнитные и немагнитные частицы, следовательно магнитные будут являтся "неоднородностями" магнитной проницаемости для среды в целом? Буду изучать.

Формулы даже для магнитостатики приближенные, а уж для динамики и смеси магнитным и немагнитных и подавно. Вопрос в степени ошибки, но может достаточно качественно на уровне порядков понять поведение системы. Хотя бы для наиболее простого случая получить работающую модель и ее экспериментально проверить.