Читал. Много смеялся.


"Бесконечная ценность" это круто))))). Кстати, что такое "два ортогональных числа"? Ортогональные вектора знаю, функции знаю, а вот числа... (имеющие правда "огромную помехоустойчивость") - не знаю.


Вы уверены?


Сами то понимаете что пишете?

Вы имеете ввиду комплексное Фурье? Тогда какой же абсурд? Видите ли, кроме информации на вещественной оси - другой информации о сигнале просто нет. А комплексное преобразование - это всего лишь вариант синус-косинусного преобразования, не более того. Или Вам ведомы какие то неизвестные науке "комплексные сигналы"? Поделитесь



Браво. Осталось только определить, что такое по Вашему "точный спектр".


Опять каша. Прежде чем опровергать классиков, хорошо бы просто узнать что же такое Фурье преобразование во всех его вариантах. Хотя бы.

Те кто понимают тему - давно "врубились". А остальным если не дано - то не дано.

Особенно врубились в "два ортогональных числа", не иначе Не ушиблись?

Практика показывает, что если кто-то не способен излагать мысли ясно и на правильном техническом (математическом и тд) языке, то путь к истине такому заказан.

ТК доказана бог знает когда уже, а Вы действительно так и не "врубились".

Хорошо, я объясню, для тех, кто не понял меня с "полуслова".
Дело в том, что ортогональные числа (функции) имеют свойство "дополнять" и "поддерживать" друг друга. Возьмём две последовательности вещественных чисел. Одна будет расположена в одной плоскости, другая - в ортогональной первой. Последовательности независимо друг от друга имеют некую функцию каждая, глобальную для всей последовательности (не обязательно синус, поэтому экспонента не является "божественной" функцией). В то же время две этих последовательности имеют функцию по отношению к друг другу. В частности для комплексных векторов - это их нормированность. Если считать, что вероятность ошибки распределяется равномерно по обоим плоскостям (а это так по теории вероятности), особенно если эти числа располагаются в общей вещественной последовательности (в нашей реальности, например чередуясь), то при нарушении функции в первой последовательности в случае реальных шумов или других "повреждений", её можно восстановить из функции по второй последовательности. Такой принцип несёт в себе повышенную помехоустойчивость, т.к. появление двух синфазных ошибок в двумерном пространстве с равными координатами X и Y ускользающе мало.

Так вот. Этот принцип не ограничивается двумерным пространством. Это может быть и трёхмерное и более мерное пространство.



Только чем дальше - тем сложнее

Как запущено все. В Москву из Питера едете через Владик.

Вероятно вы хотели сказать, что дублирование сигнала уменьшает кол-во ошибок? Но зачем страсти такие? Причем здесь "Дело в том, что ортогональные числа (функции) имеют свойство "дополнять" и "поддерживать" друг друга" (совершенно неизвестное науке свойство) или "В то же время две этих последовательности имеют функцию по отношению к друг другу. В частности для комплексных векторов - это их нормированность."? Цитат не менее интересных можно еще добавить, увы...

Теперь по существу, то бишь о ТК.

Главное в теореме - это формулировка. В этой ветке озвучена хоть одна формулировка ТК? Нам ее давали примерно так: "Для того, чтобы сумма (известная надеюсь) ряда сходилась к исходной (непрерывной) функции необходимо (не достаточно!!), чтобы дискретные отсчеты следовали не реже чем с частотой 2F, где F - макс. частота ненулевых значений спектра исх. функции". Не скажу точно, возможно налагались доп. условия на функцию. В данной формулировке теорема математически строго доказывалась.

Формулировка, найденная в инете строгой не является. Это не редкость, кстати - часто встречаются неточности в ньюансах которые, более того, быстро тиражируются.

У меня нет под рукой оригинала статьи Котельникова. Но, ЕСЛИ даже допустить нестрогость формулировки теоремы автором, сказать, что теорема неверна или что то в этом духе - просто невежество. Благо
1. Ошибиться может каждый.
2. Ошибку всегда можно исправить.
3. ТК давно уже разобрали "по косточкам", о чем свидетельствует формулировка которую давали, в частости, в нашей альмаматер.
4. ТК десятки лет является надежным инструментом грамотных(!) инженеров-электриков а затем и электронщиков.

Аминь.

Очень не хочется никого обижать, но если человек уже настроен неприязненно к чему-то, то смысла он не увидет даже если его носом тыкать.

Какое ещё дублирование? Речь идёт о трёх глобальных функциях двух последовательностей. Самый простой пример - подсчёт CRC. Что в ней такого особенного? Да то, что сам пакет и CRC ортогональны. Пакет несёт свою функцию (любую информацию), CRC содежит выжимку всей этой функции в нескольких байтах. Причём она не только "защищает" пакет от потерь; она ещё даёт возможность при желании восстановить некоторое кол-во этих потерь. Но CRC в общем виде - тупая, да и слишком уж её мало. Более прогрессивные методы защиты содержат в себе БЧХ коды. Они тоже ортогональны к пакету. Но распределяются так, чтобы восстанавливать ошибки на не очень большом интервале. Поэтому в нормальном пакете данных их требуется поболее чем одной CRC, то есть несколько штук. БЧХ в принципе тот же CRC, только БЧХ не "стремится" объять необъятное. Если взлянуть "сверху" на такие "танцы с бубном" становится понятно как и почему вообще возникает свойство восстановления повреждённой (по теории вероятности) инфы минимумом дополнительной информации.

Те, кто понимают саму "идею" ТК знают о таком же свойстве комплексной экспоненты. Но видимо какое-то внутреннее желание всё идеализировать (без доказательно) привело к ошибочным выводам из ТК. Дело даже не в наблюдании спектра через ДПФ. Просто "реальный" ДПФ имел один недостаток - незамкнутость. А кто сказал, что он не замкнут? Мой сигнал - что хочу, то и делаю. Вот возьму и замкну. Особенно если это сэкономит кому-то количество "нервотрёпки" от общения со сложными формулами. Так и получилось. Все стали жить довольные и счастливые в своём виртуальном мире. Лишь бы кормили А истина или нет - кому какое дело.


Вот Вам:Вы себя считаете умнее допустим fontp? или может 729 ?
Разобрали... Только видно не до конца. Или не поняли друг друга?

Инструмент-инструментом... Но не надо отрываться при этом от реальности. Выдумывая "божественные законы" там, где их нет. Всё имеет свой разумный предел.

Смысл я понял верно. Если хотите - не дублирование, но так или иначе избыточность инф-ции. У вас редкостная способность объянять вобщем хорошо известные вещи через одно место.


Опять о чем то о своем о женском...


Спасибо

Я считаю до раз .Глупейший вопрос.




Опять таки о ТК. Заметим (речь идет видимо о ТII) что конечная частота спектра функции f1 не включена в интервал в оригинальном тексте. Это означает что ТК будет благополучно работать. Работать она будет и при включении границы частотного интервала при условии отсуствия дельта-функции на границе спектра. Такое ощущение, что чего то Вы не понимаете...

Если честно, то мне уже надоело всё вам разжёвывать и в рот запихивать.Не только исбыточность, но и сжатие "в одном флаконе".

Я искренне верю, что Котельников придумал очень мощную формулу и метод анализа гармонических сигналов. Но метод неидеален. И чем дольше этого не замечать, тем дольше нас будут считать за лохов, плетущихся позади планеты всей.

Это кажется, что я обнаружил мелочь. На самом деле очень принципиальная вещь.

Так не идеален, кто ж спорит. Это не мы лохи, это СОНИ лохи со своим цифровым звуком.
Как показал товарищ из Винницы.
Наверное, единственное правильное утверждение в его публикации ))))

Только никому ни слова

Чувствую щас кое-кто съест меня с гав.ом. Но думаю правильнее будет рассказать остальным, а то судя по другой ветке мало кто вообще понимает ситуацию.

Когда две и более синусоиды смешиваются, то ДПФ не умеет принципиально отличать в какой из синусоид происходят изменения и производит почти скачкообразные (по синусу вобщем) округления до ближайшей частоты, остаток идёт в НЧ. Вобщем несколько динамично меняющихся частот интерферируют и гадят в НЧ. А вот при смене окон эти изменения уже становятся резко скачкообразными. И ИМХО могут при этом даже вылезти в любом месте диапазона в виде якобы шума, но это не шум, а всё та же интерференция.

Да нет уж, пожуйте. У Вас юмористический дар. Получаешь удовольствие читая:

"Ряд Котельникова достигнит частот 0 и Fs только если остановит время!!!!!!!!!!!!!!!

Что противоречит реальности в принципе и самой теореме, т.к. временные отсчёты берутся на шкале времени!"

"Я сразу поясню для "тугодумов"

Частота и ортогональность увеличивается линейно при увеличении окна. Однако для восстановления информации используется формула sin(x)/x, которая аналогично линейно уменьшает результат и вроде бы они компенсируют друг друга."

"Тогда докажите мне ортогональность Fs/4 и 3*Fs/4 на почве реализма. А точнее в пространстве вещественных чисел, идущих от АЦП. Ну или 0 от Fs/2, или 0+df и Fs/2-df ??? Слабо?"

"Вы понимаете (?) что придумали математики? Они решили создать из N действительных чисел в 2 (!) раза больше действительных чисел для комплексного представления всех частот."


"И само понятие комплексных чисел в этом плане и меет бесконечную (!) ценность, т.к. два ортогональных числа имеют огромную помехоустойчивость."


"1. Любая конечная или бесконечная сумма вещественных чисел будет равна нулю (или любому целому числу) с вероятностью 0."
и тд и тп

Буду следить за Вашими дальнейшими публикациями

Доказательство ТК ясно, как ясно и то, что оно настолько же точно, насколько точны используемые при доказательстве средства.

Не будете ли Вы так любезны привести ошибку в довазательстве? Или провести антидоказательство? Такое же четкое и ясное как у Котельникова желательно.

Однако, весело у вас тут . GetSmart жжет! Можно мне тоже прикольнуться, а то тема засыхать начинает .



А как на счет 0+0? Конечная сумма двух действительных чисел .

Или Вы имели ввиду, что вероятность того, что случайно выбранная конечная или бесконечная сумма вещественных чисел будет равна нулю (или любому целому числу), равна нулю?


Неасилил...


Мне тут вспомнилась такая история:
<<<
В бытность свою при дворе Екатерины Великой, Эйлер встретил великого французского философа Дени Дидро. Тот был убежденным атеистом и пытался обратить в атеизм представителей русской знати. Разгневанная этим Екатерина обратилась к Эйлеру с просьбой пресечь деятельность французского безбожника.
Эйлер поразмыслил над просьбой императрицы и объявил, что располагает алгебраическим доказательством существования Бога. Екатерина Великая пригласила Эйлера и Дидро во дворец и собрала на теологический спор всех придворных. Эйлер встал перед аудиторией и заявил:

«Сир! (a + b^n)/n = x, следовательно Бог существует. Что Вы имеете возразить?»

Дидро не был силен в алгебре и не мог ничего возразить. Ему оставалось только безмолвствовать. Потерпев унизительное поражение, он покинул Санкт-Петербург и вернулся в Париж.
>>>

Я раньше уже писал что вероятность. Случайно здесь пропустил и ЧТО?

ЗЫ. Жаль что по-настоящему умные люди сбежали куда-то.

Именно потому что остались одни "приколисты". В самом стрёмном смысле.

Не. Они - как Дидро. Сбежали, потерпев унизительное поражение.

Честно говоря, я действительно думал, что Вы просто прикалываетесь. Извините.

Если же говорить серьезно, то:
1. ТК - это просто "теорема о существовании предельного случая". Примерно как закон сохранения энергии в физике - позволяет быстро оценить и отсечь заведомо нереализуемые случаи. Собственно, вся суть этой теоремы заключается в факте, что для передачи любого сигнала с ограниченным спектром, необходимо и достаточно иметь отсчеты с частотой не менее, чем удвоенная ширина спектра этого сигнала. Никто в здравом уме не будет применять на практике формулу из нее.

2. Неравенство в ТК должно быть строгое Fs>Fc/2. Котельников, почему-то не аккуратно здесь формулировку дал, хотя при выводе теоремы используется условие представимости функций рядами Фурье на интервале со строгим неравенством. Но Котельникову это еще простительно - всетаки одна из его первых статей была. Удивительно, что потом нестрогое неравенство в некоторые учебники, монографии и даже энциклопедии перекачевало. (ну это, если оставаться в рамках старого доброго матана, что там будет в терминах )
Впрочем, если не говорить о маргинальных случаях (конечный набор синусоид и некоторые, специально построенные ряды синусод), то добавление в спектр Fs=Fc/2 погоды не сделает, поскольку мощность этой спектральной компоненты на фоне мощности всего сигнала будет стремиться к нулю.

3. То, что Вы видели биения амплитуды при дискретизации по времени синуса 450 Гц на частоте 1кГц (ну или типа того), то это не амплитудные искажения, а сумма самого тона 450 Гц и его имеджа (alias) из второй зоны Найквиста с частотой 550 Гц. (То, что при дискретизации действительного сигнала получаются имеджи n*Fs+Fc и n*Fs-Fc, думаю, знаете).
Если потом дискретизированный сигнал отфильтруете НЧ фильтром с полосой Fs/2, то биения исчезнут и останется исходный сигнал. (Кстати, формула в ТК ничто иное, как сумма отсчетов, прошедших через идеальный НЧ фильтр Fs/2).

Все. На сегодня хватит.

С этим у меня в конце проблем не было. Тут действительно не было искажений (только кажущиеся) при свёртке с синком (даже не идеальным, а простейшим). И с Fs/2 проблем у меня вобщем нет, т.к. от неё и толку мало. Как я понял, в оригинальной формулировке ТК можно применять только разве что для синтеза сигнала, а не для дискретизации реального сигнала.

Главный косяк ТК в том, что при дискретизации сигнала (на конечных последовательностях) есть мусорка в нулевой частоте. Это уже принципиальный косяк. Т.к. при наличии нескольких гармоник в сигнале неизвестно какой гармонике принадлежит этот остаток.

ТК

http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf

всем читать

Может, в процессе нескончаемой дискуссии уже народ ознакомился с оригиналом, тогда извините.

Там, вообще-то, набор из 7 теорем. Нигде строгого равенства на границах интервала частот не заметил, речь идет о функции состоящей из частот от 0 до f1, что несколько невнятно, но далее рассматривается участок 0<w<w1.

Больше никаких нестрогостей/неоднозначностей просто не может быть, потому что это заурядная теорема из математики, не открывшая никаких новостей. Просто Котельников разъяснил неграмотным инженерам, что нельзя передать без искажений сигнал по каналу, спектральная пропускная способность которого уже спектральной полосы сигнала. Сейчас это звучит банально, а раньше и слов таких не было в электротехнике.

Все споры идут об обратном процессе - не о передаче, а о приёме. С ним проблемы, т.к. большинство электронщиков считают что эта "теоремка" она как бы двусторонняя и работает в обе стороны.

Всё-таки умные книги читать полезно,например Романюка. Лучше начните разговор о вейвлет-анализе,у Вас хорошо получается народ заводить.

Видно, вы не захотели по ссылке пройтись. В "статейке" К не одна "теоремка", а 7.

******************
Теорема 2. Любую функцию F(t), состоящую из частот
от 0 до f1, можно непрерывно передавать с любой
точностью при помощи чисел, следующих друг за
другом через 1/(2f1) секунд.
......
Передавая эти Dk по очереди... мы сможем по ним ...
почленно восстановить F(t) с любой точностью.
***************************

Естественно, обратный процесс, т.е. прием, является неотъемлемой частью коммуникации. Кого, простите, волнует передача, которую нельзя принять? Это уже какое-то высокомерное эстетство.

ЗЫ Признаться, всегда с иронией относился к заклинаниям о приоритете К в области теоремы отсчетов. Но когда, почитав посты, решил ознакомиться со статьей и увидел вполне внятные инженерные рассуждения - зауважал. Мужик не просто выписал формулы из учебника Смирнова, а смог сделать выводы, да еще напридумывал всяких фокусов. Спасибо, GetSmart, что такую тему подняли.

Обратите внимание, я всего лишь цитирую Вас, вот и весь прикол. Интересно, что вы понимаете под умными людьми?


Именно, сначала надо по настоящему понять, а потом базар разводить.
То что математически нельзя установить взаимно однозначного соответствия между дискретным и непрерывным множеством - это банальность - чего тут спорить спрашивается? Но необходимо понимать также, что теорема эта - не математика, а техника-практика, а там (как и в физике) такого рода неточности второстепенны. Главное здесь - новый уровень понимания ситуации. Кроме этого надо иметь ввиду, что в 1933г:
- передача цифровых сигналов ограничивалась телеграфом;
- дельта-функция едва появилась и известна была видимо весьма узкому кругу лиц.
ТК - это весьма удачная попытка соотнести дискретное и непрерывное. Показано, что за период можно передать до двух отсчетов произвольной амплитуды (QAM была еще неизвестна кстати!). Тут уже до теоремы Шенона полшага. Прологорифмируйте отношение сигнал шум и все дела. ТК очевидно, оказала весьма значительное влияние на широкий класс спецов (на тех, кто оригинал читал) по обработке и передаче сигналов, в том числе и цифровых.
Поэтому споры о правоте ТК - занятие не благодарное да и прямо скажем не слишком умное.
ЗЫ. Лучше уж разрядность АЦП поднимали чтоль - разрядов 30 было б уж наверное

Да не обращайте внимания. Человеку, с одной стороны, хочется изобрести вечный двигатель, а с другой - он вдруг нечаянно узнал, что Волга впадает в Каспийское море

...

Уже хорошо .


Дискретизация и синтез - близнецы и братья,
Что из них больше в теореме Котельникова ценно?
Мы говорим - синтез, подразумеваем - дискретизация
Говорим - дискретизация, подразумеваем - синтез.


"Косяк" - плохое слово. Что такое "мусорка в нулевой частоте"? Вот 729 приводил картинки для Вашего (?) случая. В районе нулевой частоты там никакого мусора не было видно. Можете привести свою картинку с "мусором"?

Впрочем, если не накладывать никакое окно на выборку (в смысле, пользоваться прямоугольным окном), то действительно на нулевой частоте (как, собственно, и должно быть) будет вылезать постоянная составляющая сигнала, которая зависит от "фазы" сигнала. При "правильно" подобранной "фазе" ее вообще можно сделать нулевой. Только к ТК, ровно как и к восстановлению сигнала по выборкам, это не имеет никакого отношения. Да и ДПФ к ТК не имеет никакого отношения.

А с точки зрения гидрографии Волга впадает в Каму (является ее притоком), а уже Кама впадает в Каспийское озеро. Для многих это тоже неожиданное откровение ;) Кстати, еще одним доводом в пользу этого утверждения является факт, что в месте слияния русло Камы глубже, чем русло Волги.

Что-то новенькое.
Я считал, что объединение ведется по принципу:
- меньшее подчиняется большему
- направление (вектор) главного потока до слияния и после него не меняется (или меньше), чем у притока.

Да ради бога. Можете даже считать, что Каспийское озеро - всего лишь родничок. Исток. Из которого вытекает хотите Кама, хотите - Волга, хотите - Ока. Хотите - все 3 одновременно и причем по разным руслам. Ни в чем себе не отказывайте -как хотите, так и считайте.

У меня есть идея передачи данных в сигнале с ограниченным спектром. Название не придумал, но суть такая: в полосе частот 1.5..3 Кгц передавать вещественные (до какой-то степени) числа. Возьмём для примера прямоугольный сигнал "несущей", но при передаче его легко можно пропустить через НЧ фильтр не нарушив принцип. Просто срезав самые верхние гармоники. Например, один импульс с периодом (верхней/нижней шириной импульса) 3 КГц будет передавать число 0x0f, импульс 2.5 КГц = числу 0x0a, 2 КГц = 0x05, 1.5 КГц = 0x00. Очень простая частотная модуляция (не QAM, заметьте). Через чисто аналоговые цепи и фильтры такой сигнал пройдёт чудесно, максимум с фазовыми искажениями, для которых можно легко сделать программную адаптацию. Через дискретный канал связи этот сигнал не пройдёт из-за свойства его приблизительности. ДПФ и ширина окна тут не причём. ВременнАя дискретизация такого сигнала просто "убивает" информацию в нём, а точнее ограничивает до N чисел.

Как-то пафоса я вашего не понял. Ну передадите вы 16 частотами 16 чисел. А дискретизация-то чем их убьет? Выберите правильную частоту выборок, отфильтруете полосу, и будет вам N=16.

Вот и К. формулировал в обсуждаемой статье

Теорема V. Любую функцию F(t), состоящую из частот от f1 до f2 можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, передаваемых друг за другом через 1/[2(f2-f1)] секунд.

Это естественное обобщение теоремы отсчетов.

PS Ну это я со своей колокольни, вроде, мы здесь по сути обсуждаем статью Котельникова, но не всем ее охота читать, поэтому приходится приводить цитаты. Все,ушел.

Читал я её. И понял "до глубины души". Не сомневайтесь. Поэтому и вижу её недостатки как на ладони. Кстати, я тут писал, что с выводом проблем нет. Это не совсем так. При дискретизации ещё кое-как можно программно посчитать идеальный синк, а вот при выводе никакая схемотехника (НЧ фильтр) не воссоздаст то, что обещано. Так что полюбому придётся увеличивать скорость вывода в 2.5 и более раз (а не в 2 раза).

Не будет. Я хочу не 16 чисел на 16 выборках передать, а больше. И если на чисто аналоговой схеме это можно сделать, а на дискретной нельзя, то значит дискретизация ограничивает кол-во инфы, а значит неидеально передаёт сигнал, ограниченный по спектру. В ТК принципиально сделано так, что динамичные частоты (быстро меняющиеся) усредняются до целого числа отсчётов. Грубо говоря - один квант информации распределяется между несколькими отсчётами равномерно(!). Если же он в реальном сигнале распределяется неравномерно между отсчётами, то он принудительно будет распределён равномерно. Потому как на входе урезанная инфа. Тут важно понять сам принцип дискретизации по ТК. Дробные частоты она восстанавливает только по нескольким отсчётам и с точностью этих нескольких отсчётов. То есть усредняя частоту внутри этих нескольких отсчётов. А в частотной модуляции каждый полупериод несёт в себе уникальную динамичную информацию (грубо - полупериод = байт), которую нельзя усреднять.

Для примера можно взять плавно уменьшающуюся частоту от Fs/3 до Fs/6 и любое окно. И никогда (!) нельзя будет точно эту частоту восстановить. Потому, что она непериодическая.

По минимуму в PI раз и забыть про все.
Пусть теоретики обсуждают диапазон от 2 - PI. Этот вопрос может быть интересен только для любителей диссертаций.

Насколько чудесно этот сигнал пройдет через аналоговые цепи зависит от ширины полосы этих цепей и скорости, с которой Вы будете переключать частоты (шумы и нелинейные искажения не рассматриваем).
Кстати, а с какой скоростью Вы хотите их переключать?


Опять же, пройдет или не пройдет (или точнее, насколько чудесно пройдет) Ваш сигнал через дискретный канал будет зависить от скорости оцифровки (в некотором смысле аналогична и ширине полосы аналогового тракта) и скорости, с которой Вы будете переключать частоты.


ДПФ тут точно не причём. Ширина окна - в зависимости от того, что Вы под этим подразумеваете.

ВременнАя дискретизация такого сигнала "убивает" информацию в сигнале, только если сигнал имеет ширину спектра больше, чем Fs/2. Причем, тем сильнее "убивает", чем шире полоса сигнала.

НО, для аналогового тракта картина аналогичная: "узкий", в смысле ширины полосы, аналоговый канал тоже "убивает" сигнал.

ОДНАКО, "узкий" цифровой и алоговый каналы убивают сигнал несколько поразному. "Узкий" аналоговый канал просто обрезает "широкие" частоты, в то время как "узкий" цифровой канал отображает "широкие" частоты на "рабочую" полосу сигнала. В этом смысле, конечно, можно сказать, что цифровой канал "убивает" сигнал сильнее, чем "аналоговый" (см. также Замечание).

Только здесь не ТК виновата, а тот э... человек, который пытается засунуть толстый сигнал в узкий канал.

Замечание: довольно просто придумать ситуацию, когда "отображение" "широких" частот в цифровом канале (в отличие от аналогового) не только не "убивает" сигнал, а наоборот позволяет сохранить "полезную информацию". Придумаете?

P.S. Вопрос о "мусорке" в близи нулевой частоты потерял актуальность?

до 1.5 КГц сдвига за 0.33 мс (хоть 1 мс).

Чем больше я задумываюсь о понятии спектра, тем больше он мне напоминает тавтологию. По крайней мере спектр радиосигнала. Спектр любой заранее известной последовательности ещё как-то я могу себе представить. По сути, ТК есть тавтология в чистом виде. То есть можно представить сигнал через N чисел, но в сигнале при этом будет не столько спектр сигнала ограничен, сколько кол-во информации ограничено. Кроме этого, если взять любые реальные сигналы, то они почти всегда имеют частотную модуляцию. А ЧМ вообще имеет неограниченный спектр. Тот же голос и другие звуки, все содержат ЧМ.

ДПФ - единственный метод разделения дискретизированного сигнала на спектральные компоненты. Разве нет? Математическая непротиворечивость ТК будет только при условии идеально точного прямого и обратного преобразования. Да ещё и при условии существования единственного реального сигнала, соответствующего
любому взятому дискретному.

Нет. А что? Из-за этой мусорки все частоты, которые можно выделить из сигнала математически имеют точность +-0.5df.


Если это сдвиг частоты, как в аналоговых трактах ПЧ, то он не такой как аналоговый. Именно из-за невозможности точного отделения множества спектральных компонент друг от друга. (в какой-то степени без конкретного примера это не важно)

Это не совсем так.
При сшивке разночастотных сигналов (частей синуса) у Вас будет разрыв первой и/или второй производной, и это ограничит возможности Вашей аналоговой схемы по объему передаваемой информации.

Наверно, вместо слова "тавтология" (i.e. повторение одного и того же разными словами) Вы хотели здесь использовать что-то другое. Чего именно я, честно говоря, не уловил.


Ну да. Спектр сигнала, представленного конечным числом выборок, как и, спектр любого конечного во времени сигнала - неограничен. Количесво информации, представленной конечным числом чисел, - ограничено. Кроме как необоснованного упоминания ТК, никакого криминала в Ваших словах не вижу.


"Обычное" преобразование фурье . (подразумевая, что ДПФ, как правило, определяется для конечного числа выборок, а обычное ПФ - для бесконечного).

Опять же надо понимать, что если Вы делаете ДФП сигнала на отрезке [0..T], то Вы получаете спектр не самого сигнала, и даже не отдельного отрезка сигнала, а спектр периодического сигнала, составленного из отрезков [0..T].



Ну так любая математическая формула будет "математически непротиворечива" только для "идеально точных" вычислений (если ввести погрешности и шумы, то при желании даже из формулы y=x можно "вывести", что 2*2=5 ).

Тут мы рискуем вступить на "скользкую дорожку" философии. Какая конечная у Вас цель? Понять как и насколько приемлимо применять математические выражения и абстракции (коей в частности является спектр сигнала), сформулированные для "бесконечно-длинных" и абсолютно точных величин, для решения практических (физических и/или инженерных) задач? Или же осознать, что в нашем мире есть такое ТК, спектр сигнала, конечный и бесконечный сигнал и т.п.?

Второе, IMHO, вопрос в значительной степени филосовский и об этом можно спорить всю жизнь [только не подумайте, что я позитивист ]. Что, впрочем, тоже полезно.



Просто я так и не понял, почему Вы место вблизи нулевой частоты называете мусоркой. Может какую картинку для пояснения покажите.


А вот нифига. Математически, точность будет абсолютная (с учетом того, что ДФП дает спектр периодического повторения отрезка сигнала). И даже, если Вас интересуют "физические параметры" сигнала (например, частота основного тона), то их тоже по спектру ДФП можно вычислить с большой точностью (только это уже будет не настолько тривиальная задача, как найти "палку" на ДФП с максимальной высотой).

По недомыслию. На том основании, что синусоиды частоты некратной 1/период неортогональны постоянной составляющей. Интуитивно кажется, что это противоречит возможности восстановить такую "некратную" синусоиду. На самом деле это ничему не противоречит, а так, тромб в мозге



А что Вы застеснялись. Я, например, пост-позитивист, и в гробу видал такие споры. Чем горжусь.
Надоел он со своей "мусоркой".

Понятие спектра дискретного во времени сигнала - тавтология. Можно доказать, что однозначного спектра не существует, а тот спектр, который большинство радиотехников считает что "понимает" - именно тавтология. Типа самообман. Эта некая идеализация, которой не существует ни в математике, ни в реальности. Ровно та же ситуация и с "вымышленным" переходом функций с конечным числом отсчётов в бесконечную временную ось. В обоих случаях математически нет полной ортогональности, необходимой (хотя бы) для математической непротиворечивости.

Я обеими руками за математику. За "безупречную" математику, которая применяется для познания мира. Пока что я не упоминал о якобы неточных вычислениях (как и амплитудной дискретизации), указывая, что противоречивость существует даже при идеально точных вычислениях.
Обычное ПФ можно применять только для непрерывных аналитических функций, определённых на бесконечности. Поэтому для дискретных во времени сигналов применяется только ДПФ. При этом конечное число отсчётов или бесконечное - непринципиально. Но штука в том, что даже ДПФ на бесконечности "не сходится", а уж на конечных отсчётах (на практике) - тем более! Именно дискретизация во времени (df) принципиально вводит ограничение на допустимые частоты (тоже дискретизированные) в реальных (или даже математических) сигналах, то есть принципиально не разрешает быть им любыми на непрерывной шкале частот. Если же частота в реальном сигнале будет несоответствовать допустимой, то она округлится до ближайшей. Для двух разных гармоник в сигнале это даже математически не "разрулить". Именно потому, что нехватает информации для этого в дискретизированном сигнале. Хоть на конечном интервале, хоть на бесконечном. Так вот, она округлится до ближайшей, а "остаток" уйдёт в НЧ, то есть в нулевую частоту. И из-за этой нехватки информации НЧ не очистится никогда. Можно даже принудительно ввести в сигнал НЧ и исказив при этом все другие частоты!!! Либо у них частота перескочит на соседнюю, либо амплитуда немного изменится (в идеально точных вычислениях). Хотя все остальные гармоники (кроме НЧ) я ведь не трогал. Отсюда вывод - даже математически весь набор частот дискретного во времени сигнала неортогонален, а значит ТК математически противоречива в своей идеальной формулировке.
Невозможно. Даже измерить частоту основного тона в сигнале с примесью (даже небольшой) других частот - невозможно точно. Математически! Это значит, что намеренно (или случайно) управляя этой примесью (особенно с ЧМ) я буду искажать параметры этой "главной" палки (амплитуду+частоту), вычисляемые по дискретным отсчётам. Даже попытаться отделить основной тон от примесей можно только аналоговым способом ещё до дискретизации. Хотя я не уверен, что
это вообще можно сделать. Собственно, увеличивая кол-во отсчётов мы теряем динамику, но увеличиваем точность только тех сигналов, которые не несут много информации, т.к. они постоянны. Вся информация при такой операции просто перетекает в точность определения частоты этого основного тона, в то же время она удаляется из динамики этого тона. То есть это просто перераспределение информации. ТК таким образом ограничила именно кол-во информации в сигнале, а совсем не то, что заявлено в ТК. А раз в своих начальных условиях ТК ограничила информацию (незаконно обозвав эту операцию ограничением спектра), а потом в своих следствиях пришла к выводу о той же ограниченности информации - это и есть тавтология.

ЗЫ. Действительно можно "доказать" что 2*2=5. Примерно так же и доказывается в ТК. То есть достаточно сделать одно маленькое упущение (или преднамеренное отклонение от "реальности") в "выводе" доказательства, что возникнет "чёрная дыра", "большой взрыв" и "коллапс вселенной". Это конечно немножко из другой оперы, но ошибки те же.

Да никуда она не "округлится" и не "перескочет". Это вы её у себя в мозгу "округлили", когда раскладывали по дискретному базису ДПФ. А потом начинаете тыкать на пальцах. Дескать: "вот и вот!"
Для любого человека, изучавшего "теорию представления"
в квантовой механике очевидно, что базисы - это язык описания, а не свойства реальной действительности.

По дискретной последовательности можно выделить основной тон (пусть даже некратный) абсолютно точно и мы делаем это каждый день.

Какова вероятность того, что частота в реальном сигнале будет кратна df? - С вероятностью 0! Что из этого следует?

Вы просто скромняга Ведь уже знаете о принципиальной ограниченности ТК и о том, как это правильнее "обойти" как цифровыми так и аналоговыми методами. Именно понимание этого и даст разбирающимся в теме возможность "движения вперёд". Потому что известно куда идти. Хотя про Вас я могу и ошибаться.

Не надо стёба. Ещё раз: Любая некратная частота может быть восстановлена или измерена с любой наперёд заданной точностью по дискретным отсчётам в условиях ТК



Читая форумы глубоко разбираться в ТК не станешь. Книжки надо читать с формулами и картинками.
ТК ограничена по точности, я с вами давно согласился в этом. Но компромисс между точностью восстановления и протяжённостью используемых НЧ фильтров для практических целей вполне приемлем.

Одна? Две? Три слабо?
Не надо себя (других - особенно) вводить в заблуждение. Можете не отвечать. Мы оба знаем ответ.

В любом кол-ве отсчётов есть ограниченное кол-во инфы. Когда гармоника одна, можно всю инфу распределить на неё одну и считать что "мы" достигли потолка (заданного начальными условиями) для этой гармоники. Если же гармоники две, то то же кол-во инфы будет распределено между двумя гармониками, то есть на каждую гармонику уже половина инфы. А если взять белый шум (в котором кол-во гармоник неограничено, то есть равно кол-ву отсчётов), то рОвно столько же (N=1000) инфы будет распределено между всеми этими гармониками. Конечно, 1000 вещественных чисел можно распределить на амплитуды 1000 гармоник, но тогда вероятность начальной фазы у каждой этой гармоники будет 0! И наоборот. И это не стёб. Можно конечно забрать немного инфы из амплитудной информации частот и уточнить фазу, но при этом пострадает амплитуда. Я уже писал, что я вполне математически корректно могу извлечь из любой гармоники "частичку" и положить её в другую гармонику и "вся математика сойдётся".

Эээ. Всеравно не понял. Что Вы подразумеваете под словом "тавтология"? (мое определение этого слова я привел в предыдущем посте)


Ааа. Вы, кажется считатете что тавтология - это заблуждение, самообман. Правильно?


Как это "не существует (ни) в математике"? Самая, что ни на есть математическая абстракция (мы, надеюсь, про спектр сигнала говорим).

На счет существования спектра в реальности - филосовствование (в хорошем смысле этого слова). По этому поводу см. ниже.



Ниче не понял. "Непереводимая игра слов" (с), IMHO.



Я вообще-то про "основной вопрос философии спрашивал". Вы с какой позиции хотите вести дискуссию: как инженеру применять ТК, ПФ, ДПФ и т.д. на практике или реален/нереален спектр сигнала? Только честно.

Насчет противоречивости (которую Вы постоянно поминаете) - я ее все ни как не могу увидеть. Не сочтете за труд, еще раз сформулировать в чем противоречие ТК?


А как же насчет дев ПФ прямоугольного импульса?


ДПФ для дискретных во времени сигналов применяют по тому, что его в данном случае удобно применять. С почти тем же успехом можно представить дискретизированный сигнал в виде суммы взвешанных дельта-функций и применять ПФ ("почти" относится к тому, что замучаетесь формулы писать).


Эээ. Неправда Ваша. В ДПФ используется конечное число отчетов (окно). Но это конечное число отчетов фактически представляет собой бесконечное число отчетов периодического сигнала (с периодом в окно ДПФ).


Не понял. Как может не сходиться сумма конечного числа отсчетов (в теории, на практике соглашусь - может быть калькулятор сломался )?


Дискретизация во времени действительно вводит на допустимые частоты в реальных (или даже математических) сигналах: спектр дискретизируемого сигнала (в смысле ПФ) должен быть уже, чем Fs/2.

А вот что такое "допустимые частоты (тоже дискретизированные)" - не уверен, что Вас понял. Если это относится к спектру после ДПФ, то дискретность частот там определяется не дискретом времени, а длинной выборки, для которой делается это ДПФ.

Давайте для начала определимся, что мы будем называть "частотой (гармоникой, тоном) в реальном сигнале". Хотя бы на простом примере:
- u = a1*sin(2*pi/F1*n*t0), при n = 0..N-1,
- u = 0, при n != 0..N-1,
F1 или же спектральные компоненты, которые получаются при ДПФ с окном 0..N-1?


Если пользоваться Вашей терминологией, то тогда уж не "округлится до ближайшей, а "остаток" уйдёт в НЧ", а "как-торазмажется по всем частотам". Там где-то в середине дискусии проскакивало слово "голограмма". Ну так спектр сигнала и есть эта самая "голограмма". (Да и сама "голограмма" по сути есть ПФ изображения по пространственным частотам). Если Вы вносите какие-либо искажения в сигнал, то рискуете исказить все "палки" в спектре.


Давайте таки определимся, что мы будем называть "набором частот (гармоникой, тоном) в реальном сигнале". Опять же на простом примере:
- u = a1*sin(2*pi/F1*n*t0) + a2*sin(2*pi/F2*n*t0), при n = 0..N-1,
- u = 0, при n != 0..N-1,
F1 и F2 или же спектральные компоненты, которые получаются при ДПФ? (в первом случае они действтельно могут быть не ортогональны, во втором - всегда ортогональны).

Опять же, причем здесь ТК?



Конечно верно: если у Вас есть полезный сигнал с какими-то чаcтотами Fi и помеха, которая помимо всего прочего имеет те же частоты Fi. То врядли удасться отделить полезный сигнал от помехи (по крайней мере не зная структуры сигнала или помехи).

На сегодня хватит. Единственно:


Какое, по Вашему, делается упущение в ТК?

Народ, поменяйте тему топика или тему обсуждения.
Тема топика интересная, а движения вперед нет. А жаль.
Форма не соответствует содержанию.

Идут три англичанина по берегу озера. Первый говорит:
- Сэры, я думаю в этом озере водится рыба.
Через пол-часа другой англичанин отвечает:
- Сэры, я думаю в этом озере не водится рыба.
Еще через пол-часа третий англичанин говорит:
- Сэры, мне надоели ваши бесконечные споры.

Уговорил
У меня пока совсем интерес пропал кому-то что-то доказывать. Если интерес вернётся я создам новую тему. Так что, если есть что по теме - не стесьняйтесь

vladv, это наверно чисто английский юмор. Такой, как женщина, которая не хочет быстро раздеваться

Точно. Нельзя доказать недоказуемое .


Наверняка чисто английский. Я даже спорить не буду.
А про женщину - не помню (или не знаю). Расскажите.

Совсем недавно считалось, что ТК математически идеальна и несокрушима Так что как только я решу доказать, я докажу!

Есть идея, только для МК вряд ли подойдёт: допустим, нам необходим мультибитный АЦП с разрядностью N. Берём 2 мультибитных АЦП разрядностью N/2 и и мультибитный ЦАП с той же разрядностью (N/2). Первый АЦП преобразует весь диапазон входных значений посылает на шину СР и на ЦАП, выход этого ЦАП'а служит для смещения по уровню для второго АЦП, который преобразует сигнал уже в пределах одной ступеньки квантования по уровню первого АЦП и посылает на шину уже МР.

Критикуйте, может чего упустил

Хорошая идея. Ей лет так ...ят уже пользуются .

Идея известная.
Только лучше делать остаток не на уровне одной дискреты, а нескольких, т.к. будет полный бардак при биениях.

Несколько лет назад встречал статью
С.Ю.Цуканов, Т.А.Булыгина (5 курс, каф. ИИТ), В.С.Гутников, д.т.н., проф.. "СИГМА-ДЕЛЬТА АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ."

Так вот, там АЦП микроконтроллера использовался в качестве квантователя для построения сигма-дельта АЦП. Идея неплохая, тем более в контексте темы.