Всё правильно, за исключением одного. Некратную частоту ДПФ разложит на ВСЕ имеющиеся гармоники, в том числе и на 0. Что и показано на последней спектрограмме. Какая она на самом деле была? А всё просто - такой частоты в последовательности отсчетов при заданном N просто нет. С некратными частотами еще можно как-то повоевать через число точек в ДПФ. А как быть с частотами, которые относятся к частоте дискретизации как иррациональность (теоретически)? Да никак. Если в качестве анализатора спектра применяется ДПФ, то таких частот в спектре последовательности просто не будет никогда, при любом N.
ДПФ в конечных пределах (при конечном N) имеет свойство отображать спектр не реального сигнала (куска сигнала), а периодического продолжения этого куска на всю ось времени. То есть, при некратной частоте ДПФ дает спектр фазоманипулированного (или амплитудноманипулированного, на выбор) сигнала. Отсюда вывод, о котором я и писал ранее - ДПФ имеет некоторую похожесть на спектр реального сигнала (сигнала до дискретизации) только при бесконечном N. При конечном N он выдаст много того, чего в спектре реального сигнала нет и не было.
Отчасти ситуацию спасают временные окна - первая и вторая картинки (спектрограммы). Но окна искажают форму исходного спектра довольно сильно.
С другой стороны вопрос довольно интересный. Зная свойства ДПФ может быть вообще отказаться от попыток связать ДПФ со спектром исходного сигнала? На кой ляд этот спектр (исходного сигнала) нужен? С ним одни проблемы, ибо определён на бесконечности.



Опять же нет. По дискретной последовательности с бесконечно большой частотой дискретизации. НО! полученной с выхода одноразрядного АЦП, компаратора то есть

Радио слушать
Природа распостраняет только гармонические сигналы - звук, радио, свет (?)

Это значит, что для конечного множества дискретных вещественных отсчётов определить начальную фазу можно только с какой-то точностью (вероятностю)? А где финитность?

Финитность с спектре, но не в ДПФ.

Прошу прощения, убрал из цитаты лишнее.

Вычислительная мощь вселенной нам поможет

Финитность в одновременном достоверном знании всех частот и их фаз. А "мусорку" Вы никогда не разгребёте Она всегда будет равна 1 дискретному отсчёту, застрявшему между прошлым и будущим

Не поможет. Придётся либо обходиться ДПФ, либо спектры определять аналитически.

Блин, надо было зацитировать Умная мысль была

Почему нулевое к-во информации? Предлагалось восстанавливать сигнал по точно известной (возможно квантованой) последовательности положения нулей функции t0, t1, t2,... f(tn)=0
Этой последовательности теоретически достаточно, чтобы восстановить функцию (без всяких амплитуд). В 90-е в iEEE было огромное кол-во статей и обзоров на эту тему. Но нет заработало

Я же написал - в спектре. У него и у сигнала нет дискретных отсчетов.

Никто и не подменял никогда спект аналогового сигнала на ДПФ. Но известно как связан ДПФ с исходным спектром, примерно как свёртка спектра с функцией окна. Этого достаточно, в частности для оценок спектра с некоторым разрешением

С разрешением 1 отсчёт (--> мусорка )


К величайшему сожалению вероятность найти 0 на непрерывном вещественном числе равна 0. Кажется это называется ... теория трансверсальности

А уж на квантованной последовательности найти - это вообще беспредел какой-то

Плюс дискретность по частотам, которая при некратности вылезает боком.
Но разговор в основном не об этом. В понятии спектра область определения бесконечность. В ТК та же бесконечность. Но почему-то со спектром вопросов нет, а вот с ТК полное безобразие.

???? Вы на каком языке говорите? :--)))
В дискуссию такого уровня мне трудно вникать :-)) Я понимаю, что стёб, но и для стёба
должен сохраняться предмет

Чаще всего для оценки спектров используется именно ДПФ.
Разрешение df получается всегда порядка 1/(Тs*N) N-число выборок
Даже если делать без окна, синковое окно само образуется, наделает кучу боковиков,
но разрешение останется того же порядка
Есть отличная книга Марпла по спектральному оцениванию



Это другое, не надо глумиться
Функция она от аргумента. А трансверсальность - по параметру )))
Функция с финитным спектром и без постоянной составляющей обязательно крутится вокруг нуля.
Теоретически знания нулей (точек пересечения с осью t) достаточно, чтобы функцию восстановить с точностью до постоянного множителя. Известно даже как это сделать.

Эх! Красивая была теория. Но практически ничего не получилось при переходе к конечным суммам от бесконечных. В отличие от теоремы Котельникова

Я не понял ТК ещё жива?

Серьёзно. Кто-нибудь, посчитайте уже конечный интеграл проекции гармонической информации (комплексных чисел) на ось вещественных чисел? А потом узнаем предел.

Посчитано всё уже давно. Что именно Вас интересует?

Ладно, аргумент не самый убойный. Поэтому придумаю другой

Вобщем, думайте как спасти ТК. Мне становится очень интересно

Опять нет. Мнимую часть отбрасывать нельзя, особенно, если действительный сигнал синус.

Я так не играю Пока писал ответ, Вы изменили текст сообщения. И к чему это всё писано, теперь не понятно.



Да не надо думать. Она верна. Выведем Fs/2 за условия и совсем придраться не к чему.

А на каком основании? Чуточку информации не хватает

А наличие "мусорки" куда денете? Ведь все дискретные значения с конечной точностью будут "гадить" в этой мусорке и частота +df..0..-df от них никогда не очистится. Какая точность чисел нужна для её полной "очистки" ? - А может в 1000 раз большая? Или вы хотя бы теоретически умеете точно определять амплитуду+фазу? Или гарантируете отсутствие иррациональных (да и вообще, вещественных) гармоник?

ТК к дискретизации по уровню отношения не имеет.
Спектр ошибок округления равномерен во всей полосе.
Вещественные гармоники распрекрасно вылезают из комплексного ПФ, ДВПФ и ДПФ.
Теоретически точно определяет амплитуду и фазу ДВПФ.

А к количеству информации она отношение имеет? Может Шеннона позвать на подмогу?

ЗЫ. Больше не буду глумиться. Но здравый смысл мне поможет в этой неравной битве

Последний раз
Видимо была основана по мотивам ТК

Если в дискректных отсчётах принципиально невозможно определить точность всёх частот и их фаз, то зачем мучиться?
Не, мне конечно всё-равно, что для ДВПФ в пределе требуется бесконечное увеличение вычислительной мощи, это ваше время, не моё

Я как здравомыслящий человек приму это ограничение с честью И не буду изголяться и выкручиваться.

То, что одна вещественная гармоника (просто дробь - в остатке) бывает при сложении любых вещественных чисел и то, что она будет в диапазоне -0.5df..0..+0.5df при самом наидеальнейшем округлении спектральных составляющих - это факт! Это значит, что взяв любое окно с конечным числом отсчётов у вас этот остаток вылезет обязательно в окне! И со своей полной амплитудой! Он вылезет в диапазоне -1df..0..1df с вероятностью 50%, а в диапазоне 0.5df..0..-0.5df уже со 100% вероятностью.

Поэтому вариант (в пределе) у вас один - принудительно (незаконно) запихнуть эту дробь туда, куда вам будет угодно. Типа мой сигнал - что хочу, то и делаю Так что сразу даю подсказку - делаете ДПФ и пихаете "сухой остаток" куда хотите - в любую частоту и вы будете правы Лучше всего в самую низкочастотную компоненту, т.к. у неё будет максимальная точность при выборе любой амплитутной дискретизации.

Только по законам логики внутри окна их принципиально не возможно разделить. Гы

Как мне подсказывают мои "доброжелатели" - мобильник работает от аккумулятора, а не от ТК

Я тут такое нашёл, жуть

http://rewol88.livejournal.com/

Наводит на разные мысли
Особенно дата.

Причём интеллектуальный дебил - это не я!

Очень верно сказано! Спасибо!
Формулировки и доказательства теоремы Котельникова, описание процесса дискретизации в целом тому очень яркое подтверждение.
"... Возьмем функцию и умножим на гребёнку Дирака..." - во всех книгах так. Но в одной не так (из всех, которые читал). И опять же у Виталия Павловича Яковлева и его учеников. Но уже не в "Финитных функциях...".
Мудрый мужик.
Спасибо ему.

Итак, Вы много чего услышали (сами ещё больше наговорили) ждём Вашего резюме: можно или нельзя

У меня, вот, тоже проектик.

Хочу мегой8 мерить напругу от 0 до VCC с точностью 1 мВ, т.е. нужна разрешающая способность 13 разрядов. А у меги 8 всего 8-9 разрядов гарантируется...

Вот и посоветуйте мне ПО СУЩЕСТВУ

А я вот считаю математику очень красивым миром в принципе. Порой просто идеальным. А философию всё-таки ниже. Может потому что не читал таких философов, которые бы вызывали отменный восторг. Да и о философии могу говорить только поверхностно. Я самый обыкновенный практик с любовью к математике. Только у меня воображение не настолько "оторванное" от реальности

ЗЫ. становится скучно, когда не с кем спорить

Н-да. Читайте название получше. О точности речь не идёт. Так что не судьба Вам видно
И вообще, если бы читали тему с начала, то почти на все (!) вопросы, которые вы зададите в ближайший месяц, я могу точно сказать, что на них уже отвечали в этой теме Это кстати следует из т.Котельникова

ЗЗЫ. Модераторы!!! zltigo!!! Разделите пожалуйста эти 2 темы

ЗЗЗЫ. А может не надо? Ведь будет не понятно с чего всё началось

ЗЗЗЗЫ. Можно конечно просто название поменять во второй строчке.

729, огромное спасибо за то, что благодаря спору с Вами и с fontp я (да и думаю что Вы) наконец разобрались в степени применимости теоремы Котельникова на практике и о том, что она из себя представляет, откуда берётся, и многое другое. Многие последствия её ограниченности думаю всплывут в скором времени о которых мне кажется мы ещё даже не представляем Одно я знаю точно, что читая в следующий раз книжку (а уже много книжек таких напечатано) я буду обязательно её "фильтровать" через призму своего мировозрения, которое пока не совпадает с общепринятым.

Эта идея и реализовано в параллельных высокочастотных АЦП.

Модератор:
Совершенно незачем влезать задавать вопрос на который ответ в этой и так тяжелой теме давали, или пытались давать многократно. Прочитайте и сделайте собственные выводы. И от раздачи "диагнозов" кактегорически требую воздержаться.

Кстати, о птичках. GetSmart, ты только не расстраивайся, но твой приоритет в развенчании теоремы Котельникова ничтожен (недействителен). "Все уже украдено до нас"

Это отсюда -> http://grigam.hop.ru/inform/n1.htm
Григоренко А.М. Г83 © Некоторые вопросы теории технической информации. - М.: Издательство «ЮБЕКС», 1998-112 JSBN №5-7158-0158-6

Любопытно, что Григоренко (ИМХО) поднял вопрос о наложении спектров (стробоскопическом эффекте) который не стыкуется с ТК.

Добавлю. В доказательстве ТК Григоренко не смог найти объяснения эффекта наложения спектров. Если почитать последние работы В.П. Яковлева и немного подумать, то всё эффект наложения спектров вылезает сам без всяких объяснений.
Прощу прощения за столь навязчивую рекламу работ Яовлева. Но они (ИМХО) того стоят...

Если честно, то я не читал эту книгу Просто в свете текущей полемики заприметил и запостил сюда. Вдруг кому-то чем-то поможет. "Платон мне друг, но истина дороже" (с) Аристотель.

Меня не интересует приоритет. Я хочу знать математику и физику, описывающую реальную реальность, а не виртуальную.

Я совсем не удивлюсь, если окажется что изобретатели из Беларуси (кажется) со своим модемом сделали что-то действительно интересное
Вдруг из этого можно будет сделать теорию не менее красивую чем ТК, которая всё-таки будет соответствовать единственной физической реальности. Нашей реальности

Это очень важно для передачи и сжатии информации. Именно для исскуственного создания и передачи инфы очень важно знать её свойства, в частности тенденцию повторяемости на увеличении интервала времени, но до определённых пределов (не равных бесконечности ).

И само понятие комплексных чисел в этом плане и меет бесконечную (!) ценность, т.к. два ортогональных числа имеют огромную помехоустойчивость.

Теперь у меня есть целый список "противоречий" ТК (далеко не полный):

1. Любая конечная или бесконечная сумма вещественных чисел будет равна нулю (или любому целому числу) с вероятностью 0. (просто уточнение уже написанного)
2. При увеличении кол-ва дискретных отсчётов кол-во иррациональных комбинаций частот только увеличивается. И в пределе не уменьшается для образования финитности. (это на случай аргумента о дискретности частот) Фундаментом теоремы является дискретность только времени.
3. Комплексное представление сигнала (информации) восстанавливается (якобы можно восстановить) только из информации на вещественной оси - это абсурд.

Из этого следует, что точных спектров не существует.

Кстати, только наличие частот, укладывающихся в целое число отсчётов на конечной и бесконечной последовательности (двойной ортогональности) могло бы быть косвенным доказательством ТК. Причём, с возможностью заполнения всех без исключений комбинаций (целых отсчётов времени). Но это невозможно ни для частот, заданных целыми числами, ни вещественными.

Из той же оперы: использование логарифмических усилителей.

Правдорубы, мля, из Винницы (это недалеко от Жмеринки :-)
http://www.computerra.ru/offline/1999/329/2818/

Для экспериментов со спектрами, ДПФ и "разрешениями" (что тоже затрагивали всуе) есть очень хороший ресурс
http://home.comcast.net/~kootsoop/EricJ2/index.htm

Там матлабовские модели, позволяющие оценивать непрерывные спектры экспонент очень точно с помощью дискретноего ДПФ.

При вербальном, нематематическом разговоре прежде всего нужно бы договориться о терминах. "Разрешение" большинство людей использует в качестве наукообразного термина для более бытового слова "точность". Последний ресурс хорошо показывает, что это различные понятия.
Для отдельной некратной гармоники по ДПФ можно оценить частотуту непрерывного сигнала с любой точностью не зависящей от дискретности ДПФ (зависит только от отношения сигнал/шум в разумных пределах) c помощью интерполяции. Но это не разрешение, это именно точность, причём только в случае, когда априорно известно, что гармоника только одна... Традиционное понятие разрешения идёт из оптики - когда нужно отличить два или более рядом расположеных объекта - и никакими силами это "разрешение" не сможет превзойти принцип неопределённости df*dt~1. И дискретность ещё навредит и просто так (инструментально) и "муарами" - отражениями спектра

Аналогично и с "разрешением" вынесенным в сабж. Что это? Инструментальная функция самого АЦП?
Или пользовательская функция "точность представления сигнала"=уровень собственного шума. это две большие разницы.
Очевидно, что для узкополосного сигнала шум квантования может быть размазан по всей полосе и потом отфильтрован узкополосным фильтром. Это не только верно, но этим все давно пользуются.
Об этом здесь и указывалось многократно - при определённых, известных априорно условиях, точность преобразования А-Ц может быть повышена пользователем АЦП - отцифровывая сигнал на повышеной частоте, сделав его таким образом узкополостным и потом применяя фильтрацию.
Если автора интересует, как разработчика АЦП, вообще говоря инструментальная функция - то это совсем другой разговор. Разрешение, как инструментальная функция, которую можно пиарить в буклетах ;-)

Теорему Котельникова обсуждать нужно только на математическом языке. Математика - это и есть язык описаний мира и других не дано. Повторюсь, меня вполне устроило как подсчитаны ошибки связанные с ТК, для реального физического сигнала ( это сигнал полученый сначала ограничением по спектру, а потом ограничением во времени, после чего по спектру он немного расползся в бесконечность) в книгах про функции с двойной ортогональностью

Я вот что подумал. Если ввести ещё и трёхмерную ортогональность при передаче данных, то никакого предела Шеннона не существует Собственно, почему 3? Кто больше?

На месте потенциальных инвесторов я бы срочно (со скоростью света ) бежал бы к изобретателям из Беларуси и продовал "горячие пирожки" пока они не остыли

Блин... Ввели, вывели... Гуманитарщина какая-то. Это ж Вам не языком молоть. Такие базисы реально построены математиками. Причём они, к слову, используются практически для "сверхразрешения" - для синтеза апертуры радиолокационных и оптических изображений, превосходящих по разрешению, пусть даже немного, принцип непределённости

Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике/Под ред. М. К. Размахнина и В. П. Яковлева.—М.: Советское радио
Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории це-. лых функций в радиофизике, теории связи и оптике

Идите Вы лучше к букинисту со своими заявами!

:-)

Нельзя обсуждать действительно сложные вопросы на неадекватном языке. А так, да. У Котельникова был папа, тоже Котельников. У него "наш" Котельников научился формуле интерполяции. И без доказательства стал применять в радиотехнике. Ему было тогда всего 25 лет. Через 20 лет и буржуи подтянулись - Шэннон и Найквист. Тоже стали применять в радиотехнике. У них тоже были папы, но не такие хорошие. Поэтому только через 20 лет.
И всех радиотехников так стали учить. Так бакалавров и не нужно учить с большей детальностью, для них понимать некоторые вещи даже вредно. "Делай как я" и все дела. Бакалавру больше и не нужно и даже вредно. Бакалавр потому что

А, кстати, какой букинист нынче в Москве "самый главный"?
Раньше, вроде, в Столешниковом был не плохохой, а что сейчас? Только на Ленинском?

А в Перми какой? Может по почте всё это легко достать?


Ага. Я чистой воды гуманитарий


А мне казалось, что это "математические идеи"
Причём не теоретические, а практические. "приземлённые" так сказать до уровня "нашей" реальности.

Просто препод устанет доказывать каждому непонимающему все тонкости расчитывая что тот сам всё потом поймёт. Кинули ему фразу - типа идите, курите [ссылка]

Не-е... Какой смысл с Вами обсуждать "математические идеи", если Вы - гуманитарий? Вы при первом же шухере уйдёте в несознанку, передёрнете понятия и заявите:

"А я так вижу!" :-)

Математика и есть единственный язык науки. Этот язык структурирует научный опыт. С какой-то точностью позволяет описывать "повторяющиеся" факты так называемой реальности
И не надо спрашивать: "Так ли оно на самом деле?". Если язык, описывающий так называемую реальность, практически работает - значит он в каком то смысле верен и годится для следующей итерации описания

Математики - цвет науки
Остальные - лохи!

Я этого не говорил. Математика наукой не является вообще. Это всего лишь язык, позволяющий аккумулировать научный опыт. Чтобы не писать тупые словари-классификаторы на все случаи жизни, а придумать формулу и договориться ею описывать 1000 экспериментальных ситуаций сразу. Пусть и приближённно

Бакалавры - точно лохи, не без того. Бакланы позорные

Какой я нахрен гуманитарий? Я программер до мозга костей.
А вот если математики в своих формулах теряют математическую логику - начинается "мама не горюй"

Даже в библии написано "чего нет, того не сосчитать". Т.е все материальное можно выразить количественно. Этим и занимается математика. А формулы - квитэссенция, выжимка, сухой остаток из количественного опыта.


Программер вполне может быть гуманитарием. Иначе откуда берется "искусство программирования?"

Это совершенно не так.
Читаем на первой же странице:
"Дискретные сигналы образуются путём умножения аналогового сигнала на так называемую функцию дискретизации, представляющую собой периодическую последовательность коротких импульсов, следующих с шагом дискретизации (рис. 1.1.1а). В идеальном случае в качестве функции дискретизации используется периодическая последовательность дельта-функций (рис. 1.1.1б)."

И, далее, в начале главы 2:
"В пределе дискретизатор можно рассматривать как периодически действующий прерыватель. При этом длительность импульсов практически должна быть исчезающе мала по сравнению с периодом дискретизации "

По-моему определение вполне ясное и в особых комментариях не нуждается.
Умножение на гребёнку Дирака (последовательность дельта-функций) вводится, как предельный, вырожденный, идеальный случай процесса дискретизации во времени - сиречь, математическая абстракция.
В природе идеальных дискретизаторов нет. Все приведённые мною приборы осуществляют выборку (дискретизацию) последовательностью не бесконечно коротких во времени функций (импульсов). О практических схемах дискретизаторов можно подробнее почитать в той же главе 2 данного учебника.
Оценить сверху эффективную длину "импульса дискретизации" можно величиной апертурной неопределённости дискретизатора. В лучших интегральных УВХ она составляет десятки фемтосекунд, что позволяет дискретизировать сигналы в полосе сотен мегагерц - единиц гигагерц с весьма малой добавочной ошибкой (~0,1%), обусловленной этим фактором.

Гы, тогда и преобразования Фурье от сигнала, о котором Вы здесь много написали... всего, тоже не существует. Как, впрочем, и ЦОС, о чём я также написал ранее.

Хе-хе...

Простите, но доказательство её мне известно. Приводить же здесь его для человека, не понимающего определения функции, не считаю нужным.

ЗЫ. Вот, ознакомьтесь. Хоть и википедия, но там всё правильно изложено. Для начала, три первых пункта: определения и способы задания функций.
Если не нравится, могу ещё школьный учебник поискать...

Да ради бога. Я не для Вас, по большей части, это пишу.

Вы задолбали уже со своим учебником, пытаясь впихнуть его умным людям.


Теперь я понял. У него там дата сбилась
Появилось ещё 2 сообщения от 4 и 6 марта, которых не было там даже 10 марта.
Из чего следует, что сообщение о спектрах появилось не 4, а тоже 10 марта

Эта статья уже давно по интернету ходит.
Её уже в пух и перья разнесли звуковики (слухачи). Да и многие аргументы из статьи против ТК не выдерживают никакой критики.
"условие ограниченности спектра сигнала (по Фурье) сверху эквивалентно представимости сигнала счетным количеством синусоид кратных частот" - перл номер 1, повторенный, кстати, Сергиенко и еще одним автором, уже не помню каким.
"периодический сигнал, который по Фурье можно представить в виде конечной суммы КРАТНЫХ частот" - перл номер 2.
"Вторая ошибка заключалась в том, что В. А. Котельников нарисовал график спектра восстанавливаемого сигнала неправильно." - перл номер 3, см. ссылку на хоть и отредактированную, но почти оригинальную работу Котельникова.
"Неправильность графика спектра сигнала по Котельникову состоит в том, что спектр упирается слева в ноль. То есть состоит из бесконечного количества спектральных компонентов низкой частоты." - перл номер 4.
"А этого не может быть из-за того, что сигнал тогда не ограничен по амплитуде, то есть не выполняются условия ограниченности амплитуды сигнала" - перл номер, да и не важно уже..., следствие перла номер 4.
Ну и так далее.

Каким ещё "своим"?
В данном случае, я отвечаю на вопрос, и привожу доказательства своей правоты.
Эти вещи относятся к категории элементарных, основополагающих понятий. Не зная их, рассуждать о степени применимости каких-либо теорем вообще безсмысленно.

ЗЫ. Девиз "практика" (в понимании некоторых), должен, по-моему, звучать примерно так: "Не можешь работать головой - работай руками!".
Или я что-то недопонял?

Это Ваша самая гениальная фраза
ЦОС никому и никогда не обещала идеального представления или восстановления сигнала. На идеальности ТК она не держится и не постадает. Она придумана строго для реальных сигналов.

Вы это моему любезному другу попытайтесь объяснить.
И вообще, понимаете, о чём я, собссно?


А реальные - это цифровые, или как?
Реалисты-практики, мать их йети...

Спешу Вас огорчить. Для цифрового звука, да и для большинства применений ЦОС требуется ограниченный частотный диапазон. Поэтому достаточно увеличить в 2 раза окно и в 2.5..4 раза (максимум) количество выборок и и уже интересующий нас спектр можно будет выделить легко и непринуждённо. Всего - ничего. Никаких ДВПФ не надо. Подумаешь, постоянка пострадает.
ЦОС - форева!

Постоянку легко и аналогом померить, на худой конец.


Я не про статью из компьютерры. Там было вот что:


Гы
А наследуя инфу (остаток) из предыдущих окон можно намного увеличить точность. Вот!

Stanislav, ИМХО Вы вообще ничё не поняли из написанного мной. Я говорил о 99% точности ТК, а края особо никому и не нужны. НЧ можно мерить даже в цифре "бесконечно" точно, на худой конец в аналоге. А ВЧ просто задавить. Почти весь "практический" аппарат накопленный за эти годы как работал, так и будет работать. Возможно даже станет ещё лучше работать

Да у Вас всё элементарно. Главный аргумент - школьный учебник. В трёх соснах не можете разобраться.