Никакой игры слов. ДПФ точно описывает только цифровую последовательность (сигнал) и ничего более. Для того, чтобы ДПФ стал "немного напоминать" спектр сигнала до дискретизации, надо еще очень "попотеть". Поэтому "немногому напоминанию" и делаются оценки исходного спектра. Впрочем, ДПФ можно делать не только для этого.
Только не совсем понял, что Вас смущает.

По поводу дельта-сигма АЦП и сигнала на Fs/2 - правильно советовали мне подумать! Если внутри такого АЦП децимировать точно до Fs, то потери будут. Приношу свои извинения за ту фразу, которую Вы выделили - неправильно я там сказал.

Ещё одно "откровенное" признание теоретиков
Я тут недавно со Stanislavом спорил по поводу подобного "сокрытия улик".

Значит выяснили: ДПФ - это спектр уже цифрового сигнала, то есть дважды дискретизированного (по t и U). И в нём должны быть видны искажения процесса дискретизации. Я попытался ручками нарисовать сигнал искажённый временной дискретизацией и понял, что классической АМ там нет. Но кое-что всё же есть. Это кое-что связано с амплитудными искажениями, а не с частотно-амплитудными.

А с ЦАПом Вы всё ещё уверены? Он тоже может выдавать чистый синус Fs/2 с дискретизацией ЦАПа Fs, даже если я введу сдвиг фазы в где-то в синусе на 90 градусов?

Всё это как бы верно, только вот уровень помех и даже искажения амплитудной дискретизации несопоставимо малы с уровнем искажений временной дискретизации сигналов от Fs/2 до Fs/10 и даже меньшего синуса. В данном случае временная дискретизация даёт искажения в амплитудной области, а не в частотной. К частотной я претензий не имею
И даже цифровой фильтр можно сделать если не идеальным, то почти идеальным (на 99.99999%), но он не спасёт ситуацию когда на его входе присутствует сильно искажённый цифровой сигнал (ввиду "незаконной" интерпретации т.Котельникова на практике).

А поподробней можно?

Что меня серьёзно беспокоит, так это отсутствие внятного определения искажений при идеальной дискретизации аналог-->цифра. Разумеется, дело тут ещё и от фильтра зависит т.к. "цыферки" - это некий виртуальный сигнал и его можно интерполировать по-разным алгоритмам. Но есть такие ситуации(непротиворечащие всяким теоремам, хотя по-моему непредсказуемый сигнал с ограниченным сверху спектром уже противоречит этой теореме), в которых проявляется нарушение применимости данных теорем на практике. Поэтому если у теоремы нет правила применимости её на практике, то её вообще лучше не употреблять (а лучше бить того, кто её приводит аргументом). С другой стороны, если убрать из определения теоремы слово полное, то как бы и нет нарушения. Другими словами - "хоть какую-то часть частот вплоть до fs/2 можно будет потом восстановить" и то хорошо

А это не откровение.
Мне много приходилось общаться с людьми, которые утверждали, наример, что умножать отсчеты сигнала на отсчеты комплексной экспоненты Fs/4 страшно плохо, ибо попрет комбинаторика. Ничего, садились и спокойно разбирались.



А ДПФ еще и дискретизация по частоте



Давайте так. Есть отсчеты некого сигнала - периодически повторяющаяся четверка 1,1,-1,-1. Как Вы определяете амплитуду этого сигнала?


У Вас еще до ЦАПа нету синуса со сдвигом 90 градусов, потеряли Вы его в АЦП. И сделать действительные отсчеты такого синуса Вы не можете, просто нули будут.
А всё остальное с Fs/2 ЦАП превратит в меандр соответствующей амплитуды.


Пока Вы не ввели понятие амплитуды отсчетов синуса, мы дальше не продвинимся.
А теорему Котельникова Вы зря пинаете - она на практике не выполняется никогда. Только и всего
А пример, как поступают на практике, я Вам уже описал. Есть и другие способы.


Тут долго надо рассказывать. Если интересно, то стукните мне в личку.


С амплитудно-частотными Вы уже, вроде бы, разобрались. Давайте попробуем с амплитудными разобраться. Но для этого нужно определить то, что я уже написал выше.


Ох... Не Вы первый, наверно и не последний...
Слово "полное" в теореме убрать, конечно, можно. Но восстановление там действительно можно сделать "полное", считать только шибко долго придется... сегодня. А завтра, глядишь, и побыстрее будет.
Правило применимости любой теоремы простое - не можете выполнить её условия точно, то получайте ошибки (помехи и прочее). Но уровень (или вред) таких ошибок можно всегда оценить и найти компромисс.
А то по Вашим словам получается, что надо вообще запретить, например, классическую теорию вероятности и всё, что за ней. Да и многое другое

Тут надо рассуждать не так. Во-первых, я могу оперировать в цифровом виде с сигналами как хочу, например могу программно синтезировать сигналы с нужной мне частотой, при этом соблюдая главное правило ТК (т.Котельникова) - ограничение частоты сверху. В памяти они могут храниться с какой угодно дискретизацией - это как будет угодно товарищу Котельникову. А вот наружу я буду выводить сигналы со строго оговоренной в ТК минимальной временной дискретизацией. Так вот, как Вы думаете, я смогу получить при этом на выходе ЦАП полное соответствие сигнала снаружи сигналу "внутри", то есть цифровому? Причём я не оговариваю принцип работы ЦАП, фильтра снаружи и прочие "мелочи". В принципе, это возможно для непредсказуемого (или даже для непериодического) сигнала ограниченного сверху? И давайте конструктивно "придираться" - если нельзя полностью, то какой наихудший вариант качества восстановленного сигнала?

Предчуствую ответ из серии "деталек слишком много поставить придётся, может миллиард, а может и поболее" Примерно как предыдущий "считать только шибко долго придется... сегодня. А завтра, глядишь, и побыстрее будет".

Цитирую т.Котельникова:Самое интересное, что в теореме не указано условие хоть какой-то периодичности сигналов.
Мне очень интересно, какое из условий в своих намерениях я не выполняю?

Я вот думаю, это будет не одному мне интересно.

ЗЫ. Теория вероятности - хорошая. Я в неё верю Точнее в сам принцип. Хотя может быть некоторые и её истолковывают некорректно. Но с этим я как-нибудь потом разберусь

ЗЗЫ. Про амплитуду напишу позже.

Браво, 729!
Приятно читать Ваши корректные и спокойные ответы по теме. Кстати, 729 - это номер группы?

Пожулуйста приведите определение теоремы Котельникова. А то оригинал (Котельников В.А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи. - ВЭК,1933) наверно только в Ленинской библиотеке в каком нибудь спецфонде. Современные же авторы, похоже, формулируют теорему заново своими словами. Вот и GetSmart решил пойти по их пути.


Наиболее похожее на правду нашёл в http://grigam.narod.ru/inform/inf6.htm:
"Любую функцию F(t) состоящую из частот от 0 до f1 , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел следующих друг за другом через 1/2f1 сек ..."

Собственно вопрос о том содержит ли функция F(t) частоту f1 или нет. Здравый смысл подсказывает, что нет (и у Котельникова написано "до f1").

Пример:
F(t)=sin(2*Pi*f1*t).
F(0)=0
F(1/(2*f1))=sin(Pi)=0
F(n/(2*f1))=sin(n*Pi)=0
тоесть для такой функции получаем последовательность, состоящую из одних нулей. Очевидно, что по такой последовательности исходный сигнал не восстановить.

Полагаю, что вы имели ввиду следующую книгу:
Романюк Ю.А. Основы цифровой обработки сигналов. В 3-х ч.
Ч.1. Свойства и преобразования дискретных сигналов:
Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2005. – 332 с.
ISBN 5-7417-0144-2 (Ч. 1)

В этой книге тоже нет определения теоремы Котельникова. А в разделе "2.3. Теорема Котельникова" чётко написано "Рассмотрим сначала сигналы, которые характеризуются тем, что их ПФ существует на всём интервале частот (-бесконечность, +бесконечность), но отлично от нуля только на конечном интервале [-f, f] (рис. 2.3.1). ".
И далее "Отсюда вывод: если сигнал имеет спектр, ограниченный интервалом [-fв, fв] и шаг дискретизации дельтаt=1/(2*fв), то коэффициенты Фурье cк разложения сигнала по функциям отсчётов фик(t) являются выборками сигнала x(k*дельтаt) и для x(t) имеет место представление рядом Котельникова"

Получается, что x(t)=sin(2*Pi*fв*t) попадает в интервал и удовлетворяет условиям. Только как это согласовать с примером, который я привёл чуть выше?

Это наверное бабушка надвое сказала Тока без обид. Просто мысли вслух.

Клянусь Я не со злым умыслом. У меня и в мыслях не было, что всякие писатели или математики будут по-разному её толковать. Я взял из реальной книжки со своей полки "Радиотехнические цепи и сигналы".
Я вот тоже искал эту книжку в инете и нашёл только бумажную. А мне надо чтобы "скачать".

Здравый смысл как раз подсказывает - может да, а может и нет Но этот вопрос технично умалчивают в книгах и дискуссиях, т.к. он как ниточка - стоит потянуть и...

Значит это у меня не глюки

Просто ещё несколько мыслей вслух. Я подходил к этой проблеме немного с другой стороны, чем большинство. Очевидно, что на частотах, близких к предельной (Fs/2) часть информации теряется. Поэтому её надо восстанавливать. Откуда? Только из соседних значений. Сколько нужно соседних значений? При повторяемости сигнала - определённое количество. Повторяемость сама уже огромная информация. При неповторяемости - неопределённое. А скорее всего - никакое, т.к. сигнал полному восстановлению не подлежит!

В частности ситуация с синусом Fs/2. Имеем мы на выходе АЦП этот синус, и что? Где гарантия, что это его реальная амплитуда? Может он будет бесконечно долго сдвинут по фазе относительно измерения и на самом деле его амплитуда в 100 раз больше. Информации об этом нет и нет никакой гарантии, что данные с АЦП верны. То есть при Fв=Fs/2 100% информации теряется, а точнее искажается.

Люди на самом деле говорят на разных языках и не понимают этого. Математики это говорили на одном языке, а электронщики это толкуют на своём. И при этом думают, что "вот тут есть умные дяди, и они доказали, что здесь всё в порядке с арифметикой. поэтому не беспокойтесь о результате. просто поверьте наслово. как в заповедь".

Если именно это написал Котельников, то хорошо. Я, например, не вижу в этом определении указания на то, что числа - это данные, полученные от АЦП. Или, другими словами, дискретные значения амплитуды, взятые через равные промежутки времени. Такое ощущение, что это опять игра слов.

В общем случае это невозможно. Наихудший вариант восстановления – на выходе ЦАПа одни нули – сигнал потерян полностью.
Пример непериодического сигнала с ограниченным спектром: sin(2 pi F t)+sin(2 pi sqrt(F) t), где sqrt(F) – корень квадратный из F.


Вот немного отредактированный текст работы Котельникова - http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf
По тексту в формулировках теорем 1 и 2 Котельников заводит Fs/2 в полосу сигнала.
Современные трактовки теоремы Fs/2 выводят за полосу сигнала.


Вы вводите Fs/2 в полосу дискретизируемого сигнала.


Очень вкратце. Сигнал после дискретизации представлен взвешенной суммой дельта-функций. Спектр сигнала до дискретизации получается непрерывным преобразованием Фурье (НПФ) этой суммы на интервале частот –Fs/2…+Fs/2. НПФ от дискретизированного по времени сигнала на всей частотной оси называется ДВПФ. Если взять формулу ДВПФ на интервале частот –Fs/2…+Fs/2, то она имеет следующие отличия от ДПФ:
1. Область определения по частоте у ДВПФ непрерывна на интервале, у ДПФ – счетное множество на интервале.
2. В расчете ДВПФ присутствуют все отсчеты сигнала, в ДПФ только конечное их число.
Даже если число точек ДПФ будет равно числу отсчетов сигнала (имеется в виду весь сигнал за время существования), то п.1 это не снимет. Последствия – «чистые палки» в ДПФ появляются только для очень ограниченного числа частот в спектре исходного сигнала. Остальные частоты «раскладываются» через это ограниченное число частот, то есть ДПФ при любом N может показать наличие того, чего в исходном спектре и в помине нет.
Ну а далее следуют ритуальные танцы с бубном (временными окнами) вокруг ограниченного ДПФ числа точек и некратности частот. И вообще, ДПФ, как преобразование, к спектральному анализу отношения не имеет. ДПФ - это анализ гармонический.



Нет, это из Швейка


Да, именно эту.
У меня есть в электронном виде одна из рабочих "редакций" первого тома. Но отличия от книги очень незначительные.
Если нужно, могу переслать по почте.
Есть она и в интернете, но ссылка не гуглится и сейчас, почему-то, просто не окрывается.

Добавил позже - там весь сервер сечас висит.



Тут совесть автора чиста - говорит он про интервал частот, а не отрезок. Возможно, что это получилось "автоматом".

Тема прелесть
В смысле, очень познавательна и интересна.
Видно, как здравомыслящие практики общаются с знающими теоретиками

Я даже не удержался, и решил написать, чего не делал ... очень давно.
Образ мысли у меня очень близок к таковому у топикстартера. Видимо это потому, что я тоже практик, желающий во всем разобраться.

Теперь по теме. Как практик (не без любви к теории), я убежден, что за достаточное число отсчетов можно с любой точностью измерить постоянное напряжение на входе компаратора, если к нему подмешивать любой периодический или шумовой сигнал достаточной амплитуды. Это к началу темы , так сказать. Конечно с оглядкой на невозможность бесконечных величин, пробои и пр. , что следует из практики.

Что касается теоремы Котельникова. Я очень наглядно понял, читая эту ветку, что практики (и я в том числе) ждут от нее АБСОЛЮТНО другого, чем думают о ней теоретики, извините за резкость.
Как практик, я понимаю, что _любой_ аналоговый сигнал, невозможно описать с помощью конечного числа отсчетов (дискрет). Любой, это значит, произвольной формы. Всякому конечному множеству отсчетов может соответствовать бесконечное число исходных форм сигнала. Как только произошло квантование с небесконечной частотой отсчетов, полного восстановления сигнала быть уже не может.
Это понятно, но речь не об этом.
Котельников, как теоретик, задал некие условия описывающие возможность восстановления исходного сигнала. Только вот к какому множеству форм сигнала это применимо? Я вот подозреваю, что это применимо только к бесконечному, но ОГРАНИЧЕННОМУ подмножеству сигналов, которые могут соответсвовать (могут быть восстановлены из) любой комбинации любых дискретных отсчетов, любой длины. Про это как то нам, практикам, возможно, забывают сказать, а мы потом мучаемся =).
Если вспомнить, что отсчетам могут соответствовать РАЗНЫЕ (с точки зрения практиков) исходные аналоговые сигналы, то (ногами не пинайте, я акын, что вижу про то и пою =) ограниченность теоремы как то сразу становится видна. К ней, наверно, уже тьма дополнений понаписано - тут смотреть, тут не смотреть, а тут пирожки заворачивали.
Просьба, на пальцах, обьясните , может я в корне не прав?

Хотел бы тоже поблагодарить 729 за предельную корректность в непростом общении со мной. Может мой стиль общения и не идеальный, но цель у меня благородная

Всё гораздо строже, чем Вы подумали. Котельников "заявил" (а в массы это ушло в искажённом виде, упрощённом так сказать), что любой сигнал с ограниченным сверху спектром (а не вообще любой сигнал) можно абсолютно точно представить в виде набора чисел с временными метками, равными удвоенной частоте верхей частоты сигнала. "На листке бумаги" действительно можно выполнить что-то похожее с "некоторой" точностью, когда уже известны кое-какие свойства сигнала. Но есть несколько НО:
Примечание: Речь пока идёт только о теории, основанной на дискретных значениях амлитуд, взятых через равные промежутки времени.

1. Для точного восстановления верхних частот (для Fs/2 даже в теории, для ближайших к Fs/2 уже на практике) требуется чтобы временные метки строго соответствовали фазе 90 градусов в полосе сигнала Fs/2. Что уже противоречит случайности появления аналогового сигнала на входе устройства при его дискретизации. Только не надо думать, что уменьшив верхнюю допустимую частоту на 1% мы скачком получаем 100% точность. Точность меняется очень плавно. Ни какими фильтрами и уловками не восстановить одновременное состояние частоты и амплитуды непредсказуемого (но ограниченного по частоте) сигнала на входе. Дело тут не в кол-ве вычислений, а в самом принципе. Когда частота сигнала близка к Fs/2, то зона выявления информации фаза+амплитуда уширяется очень сильно, что требует информации от соседних отсчётов, что в свою очередь требует чтобы сигнал был стабилен, что в свою очередь требует уменьшения кол-ва информации в сигнале, что в итоге приводит к отбрасыванию части информации в непредсказуемом сигнале. Отсюда и потери.

2. Вся теория основана на понятии ортогональных базисов множества спектральных компонент сигнала на бесконечном отрезке времени. Но проблема в том, что ортогональность может задаваться только "принудительно" целым числом взятых отсчётов (времядискретных значений амплитуды). В реальном сигнале же никто не обещает наличие дискретных частот, связанных с Fs. Именно на этом основано утверждение о "бесконечном" приближении сигнала к оригиналу за бесконечный промежуток времени. Поясню для тех, кто не заметил тут "игру слов": Вот тогда мы будем иметь всю информацию о сигнале на всём промежутке времени, вот тогда мы и сможем представить его в виде N чисел. То есть апосля, а не в рилтайме. Именно непредсказуемость сигнала в рилтайме (или просто начальной фазы) вносит до 100% ошибок на верхних частотах.
ЗЫ:Я не забыл про это Но боюсь эта оговорка не принципиальна. Просто "техничное" умалчивание всех ограничений теоремы при её описании в книжках вводит в заблуждение 99% читателей этой книжки. Что очень некорректно для автора.


Если честно, то она мне не нужна. Считайте, что её нет.

Вы ведь пошутили, да?
В "моей" литературе (книжке) написано:
То есть модуль спектра ограничен только сверху, поэтому бесконечный (во времени) предел синуса не противоречит условиям Котельникова.

А хотите, я тоже придумаю "оправдание" для ограниченной применимости этой теоремы на практике? - Всё дело в том, что любая непредсказуемость в сигнале несёт в себе (якобы) спектральные составляющие высших частот (намнооого выше частоты дискретизации), из чего следует что теорема верна, но не обязана выполняться для непредсказуемого сигнала в таком виде, в каком она написана. И спектральные составляющие тем выше, чем больше уже имеющихся "в памяти" отсчётов. И именно в памяти, т.к. начало измерения на практике всегда есть. А вот у математиков нет этого начала и они привыкли оперировать всей информацией которая им нужна сразу и причём мгновенно. Я бы даже рекомендовал в подобных книжках под всеми теоремами в примечаниях указывать степень ограниченности используемых сигналов. А то пишут "произвольный сигнал", но не оговаривают, что заранее известный произвольный сигнал.

Прошу прощения, что встреваю в ваш диалог. Но, если позволите...
Чтобы определить амплитуду и фазу какой-либо частоты через тот же ДПФ с точностью вычислителя ДПФ, то на интервале Ndt (N - число точек ДПФ) должно уложиться целое число пеиодов измеряемой частоты. Простой подсчет показывает, что для ТОЧНОГО определения амплитуды и фазы частоты 99/100*Fs/2 нужно всего 200 отсчетов. Для частоты 99.9/100*Fs/2 уже 2000 отсчетов. Много это или мало, зависит от задачи. Но, по-моему, не всё так пасмурно.
Требование к стабильности тут роли не играет - все нестабильности просто вылезут в появление новых, но уже стабильных спектральных составляющих, о самых высокочастотных из которых мы и говорим.


Это справедливо, но только если инструментом анализа является ДПФ.


Вы все время говорите о спектрах, которые определены только на бесконечности. Но совершенно не позволяете Котельникову говорить о той же бесконечности. Почему в одном случае это нормально, а в другом не очень?
При анализе аналоговых цепей спектральными характеристиками оперируют без всяких вопросов, в то время как наблюдают сигналы всегда на ограниченном (по крайней мере на одном конце) интервале времени. Вроде, пока, ни у кого не возникало мыслей, что спектральная теория где-то подвирает. Или я не прав?


Если где-нибудь попадется книга:
Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. – М.: Наука, 1971.
то обязательно приобретайте. В интернете её не нашел, купил у букиниста.
Вот где все точки над и расставлены! Там же есть и многое другое - теорема Агеева, точные формулировки теорем о базе сигнала и Котельникова, всё, что связано с ограничением полос и числа отсчетов при анализе, и многое другое. Практически всё, о чем мы тут говорили там есть в виде очень строгой, но доступной математики.


Наличие осцилляций не противоречит теореме Котельникова.
Хорошо, что Вы написали "якобы", поскольку любая непредсказуемость в сигнале НЕ несёт в себе спектральных составляющих высших частот. Котельников говорит только о сигналах с ограниченным по полосе спектром. Все "непредсказуемости" уже наследили в этом спектре. А если Вы хотите реалтайма, то не говорите о спектрах. Говорите, к примеру, о мгновенных спектрах, или о чем-то другом. Но не о спектрах.
Кроме того, почему пропущенный через полосовой фильтр белый шум Вы считаете предсказуемым?



А так оно и есть. Недавно наткнулся в интернете на труд одного индийца по одноразрядным АЦП и ditherу. Так он предлагает совершенно очевидную вещь - к оцифровываемому сигналу добавить высокочастотный, но внеполосный, синус с амплитудой заведомо большей максимальной амплитуды сигнала. Частоту дискретизации задрать выше частоты ditherа в несколько раз. На выходе такого АЦП (до дискретизации - компаратора) будет "червяк", который если подать на аналоговый ФНЧ, выдаст довольно прилично оцифрованный сигнал и в довольно широкой полосе.


По-моему, очень трудно перейти от ограниченности спектра к формам сигналов. Можно с уверенностью сказать только одно - сигнал с изломом (отсутствием производной в точке) ограниченного спектра не имеет. Но таких сигналов на практике не встретить. Все они через какие-то ограничивающие спектр цепи проходят.

А я как раз хотел предложить провести эксперимент с использованием белого шума (в котором содержится максимум непредсказуемости). Только пока недостаточно его продумал. У меня есть сомнения по поводу существования фильтра, полностью удовлетворяющего условию Котельникова. Другими соловами, всегда можно будет сказать, что фильтр неидеален и результат несоответствует обещанному в ТК. Варианта два:
1. Взять 1 млн отсчётов (8 или 10-бйтных FLOAT). Каждый 1000-ый заполнить шумом. Все промежуточные расчитать через sin(x)/x. Так вроде бы точно гарантируется отсутствие частот выше 1/2 дискретизации. Затем взять сетку с шагом 1000, проделать прямое и обратное преобразование данных и сравнить отклонение от оригинала. Потом смещать сетку на 1 элемент и составить массив тысячи отклонений от оригинала. Выбрать наихудший и вот оно.

2. Заполнить тот же миллион ячеек шумом уже без пропусков и отфильтровать каким-то фильтром. Провести прямое-обратное преобразование каждого 1000-ного отсчёта и сравнить с оригиналом. Ну и так 1000 раз.

729, Вы говорили что уровень ошибок умеете определять заранее. Можете его как-то оценить? Меня главным образом интересуют ошибки на верхних частотах (Fs/2..Fs/8)

А есть другие варианты? Ведь по условиям задачи данные известны только для дискретных временных точек.Ну а всё-таки, почему не попадает?

Ну, тут и рассказывать особо нечего.
Пусть, например, характеристика преобразования (ХП) АЦП выглядит так:
, где
- входное и опорное напряжение соответственно причём ;
- выходное число, - количество разрядов АЦП.
Т.е. имеется нелинейность второго порядка с коэффициентом .
Для простоты записи, операция округления до целого с недостатком не показана. В реальном АЦП она, конечно, есть, но это несущественно.
Выбрав в качестве опоры
, где
- коэффициент коррекции опорного напряжения, получим.
.
Нетрудно убедиться, что такую коррекцию можно осуществить с помощью суммирующего усилителя - буфера опорного напряжения, например, на ОУ.
Размерность к-та не должна смущать, поскольку

ЗЫ. Нелинейность второго порядка в более общем случае можно представить так:

но, пользуясь данной методикой, получить решение так же нетрудно. Я этого не сделал, чтобы не загромождать сообщение, для лучшей читаемости.

Я кстати тоже хотел указать на то, что всякие иголки (спуры) на спектрограмме связаны именно с этим.

Послушайте, уважаемый, Вы уже здесь поведали довольно ерунды, которую, поверьте, нет ни времени, ни желания исправлять по пунктам. Кроме того, априорно обвинили меня во лжи по поводу того, чего я ещё даже не написал. Посему, меня в отношении Вас интересует только один вопрос: как мы поступим, если я приведу доказательство своей правоты по конкретному вопросу, в котором Вы имели неосторожность попытаться меня оскорбить?
Уверяю Вас: в Вашей голове каша; прежде, чем искать ошибки в учебнике Романюка, рекомендую ознакомиться с основными математическими понятиями и терминами из теории обработки сигнала. А также почитать школьный учебник математики, в части определения функции

Какая там теория... Здесь речь идёт об элементарных основах, которые почему-то не укладываются в понимание некоторых. Без владения этими основами никакая практическая деятельность не может быть успешной. Обилие словесного спама по поводу элементарных понятий - тому подтверждение.
Так что мой Вам совет: закрывайте тему, чтобы не позориться дальше. Если подобный словоблуд доставляет удовольствие - тогда простите.

"Спорить" и "пытаться спорить" - совершенно разные весчи.

......................................
ЗЫ. Вот если б кто выложил "Основы обработки сигнала" Ю.Романюка на местный ФТП, это действительно было бы полезно. Книжечка тоненькая, материал изложен сжато, но доходчиво.

А что делает гуру среди спама?

Неточность в том, что К есть функция от Uin. Это хорошо для начального участка для нельнейности типа зоны нечувствительности.
А так идея понятная.
Есть одно НО.
Мы стараемся максимально зафильтровать опорное напряжение, а в данном варианте этого делать нельзя.

Где?

Как это нельзя? Через почему нельзя?

Это было бы здорово.

Где ж Вы узрели такое непотребство?
По-моему, Вы всё-таки прочитали мой пост невнимательно.

Вы увидели промежуточный вариант (недоработанный до ума). Сейчас более четко я выразил свою мысль.


Я понял. У меня сработал стереотип, что фильтрация должна быть прямо на входе опоры (и соответственно и на добавку тоже).

Станислав, растопыривание польцев на меня не действует. Так что не напрягайтесь.
Спорить на деньги, что Вы, вероятно, намерены предложить, я не буду – на деньги вообще не спорю.
Если Вы докажете свою правоту, то принесу Вам свои извинения в любой ветке этого форума. А оскорблять Вас у меня и в мыслях не было.
Вы же, выражаясь Вашим языком, почему-то оскорбляете меня, заявляя про некую ерунду. Оную Вы, уважаемый, даже обозначить не пытаетесь, ссылаясь на вселенскую занятость, уж не говоря о том, чтобы доказать, что это ерунда.
Ну а если Вы и далее намерены общаться со мной в таком тоне, то, извините, общаться с Вами не буду уже я.

Придираться к словам умею и я. Надеюсь, у Вас не сложилось двоякого понимания термина «функция» в контексте сообщения? Если сложилось (что очень сомнительно), то готов пояснить, что там имелось в виду.

Ошибки в книге Романюка есть. По многим из них и по другим моментам мы не раз разговаривали с ним, практически всегда мне удавалось доказать свою правоту.
Прежде чем рекомендовать ознакомиться с основами, нехило было бы статус «рекомендателя» как-то поиметь. Пока кроме местами откровенной бредятины типа «одну из информационных полос сигнала (не забываем, что их теоретически бесконечное множество)» с последовавшей попыткой этот бред оправдать «Возьмём идеальный дискретизатор (гребёнку дельта-функций), и посмотрим, что будет со спектром...» и пространных рассуждений на околонаучные темы от Вас в этой ветке ничего не поступало. Уж простите за резкость.

Про INL и DNL. Вот ссылка на некий труд, рекомендованный в материалах AD, с определениями INL, DNL и методами их измерения - http://www.analog.com/library/analogDialog...n_handbook.html
глава 5.
Пожалуйста, Ваша литература с определениями и методиками. Особенно интересует модуль в определении INL и то, как реальная передаточная функция АЦП измеряется.

Забыл добавить. Я могу переслать Вам книгу Романюка в том виде, какая она у меня есть, а Вы зальете её на местный FTP. Сам я, судя по всему, залить книгу не имею прав.

Бесконечный отрезок времени непринципиален для этих теорий и был изначально введён у Котельникова для удобства. Для сигналов, "слегка ограниченых" (хорошо локализованых вытянутых сфероидальных базисов) и во времени и по частоте cуществует аналогичная теория (сильно сложная для практиков), причём размерность пространства сигнала сохраняется той же - 2*T*dF
Этих отсчётов достаточно для как угодно точного восстановления сигнала, как и в теореме Котельникова. Не надо гнать на Котельникова зазря. Котельников был вынужден работать с бесконечным сигналом, раз уж он у него со строго ограниченым спектром.
Ряды в теореме Котельникова строгие и именно с дискретными отсчётами (АЦП, в данном контексте). Точность восстанавливаемого сигнала может быть как угодно высокой - в смысле предельного перехода. Для любого, как говорится, заданного эпсилон можно найти такое число членов суммы, что точность будет равномерно выше. Прозвучавшая в этой теме аргументация "для этого нужны отсчёты в будущем" не катит. Мы практически во всех устройствах вводим нужные нам задержки, таким образом, что "отсчёты из будущего" оказываются доступными (как бы в прошлом - future in the past).... Так работают все фильтры. Задержали сигнал в буфере - и "будущее" нам уже доступно для задержаного прошлого.
ЦОС давно похерила измышления физиков о причиннности и прочей сопряжённой ерунде вроде физической реализуемости. Физическая реализуемость - это бич исключительно аналоговой техники - в цифровой всё проще - задержите сигнал в буфере и владейте будущим!
Опять же можно сказать - а точный синк не реализуем!. Но! Увеличивая задержку (число тапов) я могу реализовать фильтр как угодно близкий к ступеньке - как угодно похожий на синк импульсной характеристикой.

Ну задержка, да. Не без того. А так - руки прочь от академика Котельникова!

Вообще не понял, как восстановить сигнал, у которого принципиально потерялась инфа на верхних частотах при временной дискретизации. Может для восстановления "на листке бумаги" требуется сильная передискретизация, а уж потом её занижение?

Для примера 2 КГц АМ модуляция несущей 7 КГц при дискретизации 20 КГц. Есть три компонетны - 5,7,9 КГц. Компонента 9 КГц имеет зону выявления амплитуда+частота 20 отсчётов. Это при том, что придётся задействовать всю вычислительную мощь вселенной А у неё "в наличии" всего 10. Кто посмел при этом пообещать полное восстановление??? Причём этот пример слишком хорош для реальных непредсказуемых сигналов. В нём всё-таки сигнал прилично предсказуем и несёт мало информации. Да, кстати, АМ должна действовать только один единственный период.

Не было никаких высоких частот. В формулировке теоремы сигнал имеет ограниченый спектр.
Никуда оно не делось - его просто не было. Так и мы всегда фильтруем сигнал перед дискретизацией
Если они там были у вас - то другой вопрос ))) Но тогда к Котельникову какие предъявы?



Романюк.Основы цифровой обработки сигналов.

Зачем на ФТП? Общедоступная вещь.Может поможет ))))

Спектры вычисляются только ниже частоты дискретизации причем только кратные для ДПФ.
Для БПФ используется дополнительно прорежение.


Спасибо. Будем посмотреть.

Частоты в 2 и более раз ниже дискретизации я назвал высокими. Они там должны или могут быть по условиям теоремы. И теорема утверждает о их полном восстановлении. Я же конкретный пример привёл. Неужели слишком сложный пример?

Даже так. Высокими частотами я называл частоты от F/2 до F/4, которые ТК обещала восстановить.

Всё восстанавливается при суммировании с синковым ядром или фильтрацией хорошим полифазным фильтром (что то же самое). Берутся дискретные отсчёты как дельта функции, между ними вставляются нули в нужном количестве и всё это полируется фильтром НЧ F/2 (на новой частоте дискретизации). Практически так все и делают, суммировать большое число синков - утомительно.
(Полифазность фильтра тоже не принципиальна, но умножать нули уж очень неэффективно. Реально нужен фильтр, а ради реализации его почти всегда делают полифазным, чтобы не месить нули)
Чтобы восстановить идеально по ряду причин нужна бесконечная задержка и бесконечная длина фильтра. Но нам идеально не надо, 60 дб вполне устроит :-)
Не надо изобретать велосипед, весь мир давно так катается

Какую часть времядискретной информации от синусоиды нужно иметь чтобы узнать её амплитуду и частоту?

Думаю, никто не будет спорить, что если во временном пространстве или в частотном (неважно в каком) отсутствует информация о какой-либо частоте, то точно восстановить её не представляется возможным никакими даже теоретическими методами.

Какая частота отсутствует? Не выдумывайте, все присутствуют вплоть до F/2.
Если у них АЧХ подзавалена - это не значит, что они отсутствуют. Суммирование синков
вернут амплитуду на место. Если фильтрация неидеальна - то не восстановится некоторый интервал частот около F/2
Для любого как угодно малого заданного интервала df частот вблизи F/2 можно подобрать фильтр достаточно большой длины, так что частоты вне того интервала [0, F/2-df] восстановятся.
У Котельникова предполагался идеальный фильтр бесконечной длины, восстанавливающий все частоты до F/2 идеально. Даже у Уиттакера — Найквиста — Котельникова — Шеннона так доказано.
А Вы тут утверждаете, что все эти мужики - лохи, практики рулят, что хотят то и делают
Или Вы до того практик, что концепция предела Вам чужда? Ну тогда ква ))))

Этот ваш синк всего-лишь вносит ортогональность конкретного отсчёта при условии, что по соседству есть достоверная информация для этой операции. Если её рядом нет, то получите что-то - непонятно что. Котельников, введя дискретизацию выкинул из сигнала огромное кол-во информации, причём со спектром ниже Fs/2 ИМХО. Теперь приходится собирать её по крупинкам из соседних отсчётов.

Я абсолютно вменяемый практик, если Вы читали все посты до этого. Я не зациклен на частоте F/2. Меня интересуют два вопроса. 1 - в принципе теорема верна при идеальной временной дискретизации. 2 - как определить уровень искажений на практике для сигналов в диапазоне Fs/2..Fs/8, да и вообще любых меньше их, и как искажения зависят от амплитудной дискретизации.

Информации он как-раз не выкидывал. Раз её можно по крупицам собрать из соседних дискретных отсчётов. Котельников разложил непрерывный сигнал с ограниченым спектром по базису регулярно-периодически расположеных синков. Сколько этих синков взять для восстановления сигнала в промежутках между этими регулярными отсчётными точками - это скорее вопрос практический

Второй вариант, по-моему, менее затратный. Не совсем понятно только, о какм прямом-обратном преобразовании Вы говорите.


Все ошибки вносятся еще до дискретизации в цепях до АЦП. Сама дискретизация (идеальная) ошибок не добавляет, если, конечно, в сигнале до АЦП нет частот равных и выше Fs/2.
Ошибки, связаные с усечением ряда Котельникова, и ошибки, вызванные усечением спектра исходной функции, оценены в книге Хургина и Яковлева.


Есть ДВПФ. Но с ортогональностью комплексных экспонент есть проблемы.

Забыл добавить по поводу синуса Fs/2. В точке Fs/2 начинает проявляться эффект наложения, в данном случае прямого и инверсного спектров синуса. Наложение (суммирование спектров) приводит к удвоению действительной компоненты суммарного спектра и обнулению мнимой - потеря информации.

Вообще-то, правильно фильтровать опору нужно именно так, как я и написал: после источника опорного напряжения ставится, например, RC-фильтр с качественным металлическим резистором, и плёночным кондёром, а после него включается буфер с малыми шумами, дрейфом и выходным сопротивлением. Можно также сделать на буфере активный RC-фильтр более высокого порядка.
Выход буфера подаётся прямо на опору АЦП. Мелкий кондёр на опоре тоже может оказаться полезен, но крупный, да ещё с последовательно включенным резистором относительно высокого сопротивления, ставить не стОит - импульсный ток потребления опоры многих АЦП может сместить опорное напряжение, и привести к значительному росту его нестабильности.
Впрочем, вопрос подачи опорного напряжения на АЦП заслуживает отдельной темы, и она будет обширна; упомянуть даже только о всех главных его аспектах в одном посте просто невозможно.
В описываемом "корректоре" фильтрацию опоры можно сделать очень даже легко. Единственный его недостаток - необходимость подстройки двух элементов (резисторов). Поэтому, коррекцию для современных АЦП и систем обработки сигнала лучше делать уже в цифрЕ.
Честно говоря, я не понял, о какой "зоне нечувствительности" идёт речь? Мне с такой практически встречаться не приходилось.
Нелинейность, конечно, не исчерпывается вторым порядком. Однако, его вклад, как правило, самый значительный; кроме того, приятно после подстройки осознать, что мощная вторая гармоника синусоидального сигнала, поданного на тракт А/Ц преобразования с эталонного генератора, практически "исчезла" в выходном массиве.

Красивое объяснение Я серьёзно. С теоретической точки зрения.

Ну да. Прямое я уже тут как бы описал взяв каждый 1000-ный отсчёт. Только для второго варианта я не верю в то, что есть фильтр, который вырежет только частоты строго выше Fs/2 с любой амплитудой не задев частоты ниже. И всегда можно будет сказать, что отличия от оригинала заключаются только в верхних гармониках.

Вот спасибо. Видимо, недавно выложили: я пару месяцев назад смотрел - не было там ещё.
Это сильно расширенный вариант учебника Романюка 1989г. "Основы обработки сигналов", по которому довелось учиться и Вашему покорному слуге. Может, знаете, где взять и такой в электронном виде? Там вообще нет ничего лишнего.
ЗЫ. В электронной библиотеке Физтеха его нет почему-то...

Не нужно выдумывать; извинений будет вполне достаточно.
Итак, приступим.
Вот Вы пишете:Отвечаю: да, работал, доказательства на бочке (сиречь, ниже).
Например, с фильтрами на переключаемых конденсаторах и ПЗС, дискретно-аналоговыми линиями задержки, а также устройствами выборки-хранения.
Все они осущёствляют дискретизацию сигнала во времени, и дискретную во времени его обработку (преобразование).
Определение дискретизатора и процесса дискретизации предлагаю взять из того же Романюка, ссылку на книгу которого столь любезно выложил здесь уважаемый fontp.
Можете на это аргументированно возразить?

Голограмма какая-то получилась
Одно я пока могу сказать точно. Частоты 9 КГц при 20 КГц дискр. (FS/2*0.9) имеют точность амплитудной дискретизации 1/10 (или 1/20) от имеющейся в АЦП. Другими словами в них будет в 10 раз больше вероятность ошибок и отношение сигнал/шум во столько же раз хуже. Только не надо мне говорить, что вычислительная мощь вселенной это исправит
Обратное - это через синки. Написал прогу для экспериментов с ними. Довольно интересное занятие оказывается Иногда сигнал жутко точно повторяет оригинал. Я даже удивился. Иногда не очень. Пока денёк-другой буду выяснять причины почему не очень.

Вот если удастся доказать, что на некоторых высоких частотах, связанных "магически" с Fs ортогональность может нарушаться ввиду непредсказуемых потерь информации, вот это будет весело

Но у меня есть лучше
Точность амплитудной дискретизации для частоты Fs/2 падает до нуля!

В некотором смысле голограмма и есть )))

Я могу понять ваши проблемы. У меня в юности тоже были проблемы с пониманием применимости теоремы Котельникова. Причём не там где Вы выдумываете, а там где в самой теореме есть шарлатанство. (Наверно, вы выдумуете потому, что почувствовали это шарлатанство.) Теорема формулируется и доказывается для функций с финитным спектром. Потом - бац! - и применяется к конечному во времени сигналу. Все реальные сигналы конечны во времени, а значит не обладают строго ограниченым спектром. Здесь есть явный логический гэп. Кто сказал, что при переходе к конечному участку бесконечной функции решение будет устойчивым, т.е. отличаться не сильно?

Вообще то, что у теоремы столько авторов, наводит на определённые мысли. Вся классическая математика была сделана в 19-м веке. В классической математике были сформулированы все возможные формулы теории функций, не только формула теоремы Котельникова, но и формулы покруче, типа формулы Пуассона. Получается, что же сделал Котельников, остальная вся шобла примкнувших к нему заграничных со-авторов (Уиттакер — Найквист — Шеннон)?
Они взяли известную формулу математики (но с дурной бесконечностью) и стали утверждать (без доказательства), что это можно использовать практически и для функций заданных на конечном носителе (c какой-то точностью). И оно заработало!
Что существует строгое доказательство и оценки точности приближения для функций с "почти ограниченым спектром" ограниченых во времени я узнал много позже, когда прочитал про функции с двойной ортогональностью и даже познакомился с Виталием Павловичем Яковлевым. Милейший человек :-)
С тех пор тот логический гэп меня больше не волнует. И вам того же желаю. Или читайте про функции с двойной ортогональностью (но там сложная, не инженерная математика) или бросайте это безнадёжное дело критики теоремы Котельникова

Простите, у вас нет книги Яковлева и Хургина "Финитные функции в физике и технике"? Если есть, то могли бы Вы её отсканировать? Вот эту бы книгу на FTP положить!
У меня она есть, но отсканировать практически нет времени.

Это как-то связано с симметричными спектральными компонентами близкими к Fs/2 и к 0 ?

Всё-таки, не подскажете, С/Ш распределяется равномерно по верхним частотам или нет?

Я правильно понимаю, что например если дискретизация 20 КГц и взять 1 секундное окно отсчётов, то все частоты в пределах 10КГц..(10КГц-1Гц) вылезут в полосе 1 Гц..0 ?

fontp, предположим идеальная временная дискретизация оставляет достаточно информации для восстановления сигналов внутри окна с точностью окна (ошибка = 1/окно). Ну а двойная дискретизация (практика требует) полюбому ведёт к потерям инфомации. Неужели это не противоречит применению ТК на практике? Может есть методы (двойной ортогональности?), которые позволяют как-то компенсировать потери?

Мне начинает казаться, что Котельников введя временную дискретизацию и "переписав" всю инфу из сигнала в несколько чисел тем самым возвёл эти числа в бесконечную точность, что уже нереализуемо. (мысли вслух)

И ещё. Вот есть УКВ радиостанция. Ширина спектра 150 КГц. Зачем??? Ведь полоса сигнала всего 15 КГц. Понятно - для помехозащищенности. ИМХО - та же фигня и в голограмме Котельникова, в смысле отсутствия помехозащищенности.

Этого не может быть! Можно доказать, что для частот +-F/2 и 0 (?) и им кратным достоверность информации равна нулю! Хотя про 0 я ещё подумаю хорошенько.

ЗЫ. Практической ценности это конечно не представляет, но хотя бы теоретическую.

Книги Вам не помогут, пока не научитесь думать. Лично я в своих постах пользуюсь только собственным понимание мира.
Настоятельно прошу ответить на мой вопрос, заданный чуть выше. Иначе приму Ваш выпад по поводу ложности моих утверждений как повод к действию.

По поводу тона, по-моему, предупреждал. Предупреждаю еще раз, уже последний.
А отвечу тогда, когда сочту нужным.

Лады!.

Станислав, Вы различаете такие две вещи, как сигнал на выходе дискретизатора и дискретизированный по времени сигнал (последний по Романюку можно называть просто дискретным)?

Прежде чем двинуться дальше, необходимо определиться в терминах.
Пожалуйста, поясните, что Вы подразумеваете под сигналом на выходе дискретизатора, и что Вы подразумеваете под дискретизированным по времени сигналом?
Желательно пояснения сопроводить ссылками на страницы или формулы из электронной версии Романюка.

Уважемый , имею смелость заметить, что Ваши уловки на меня не подействуют. В ишиботах и хедерах не обучались, поэтому, требуем ответа на конкретный вопрос (прошу прощенья за самоцитирование):

Пожалуйста, прежде чем задавать каверзный (с Вашей точки зрения) вопрос, ответьте на мой.
На Ваш я отвечу, как и на всю глупость, изложенную Вами здесь. Но. Только после Вас.

Прежде, чем двинуться дальше, Вам, батенька, не мешало бы устроить прочистку мозгов по поводу того, кого можно называть лжецом, а кого - нельзя.

Хорошо, отвечаю сразу на первый - в указанных Вами устройствах дискретизированным по времени сигналом и не пахнет.
Дискретизированный по времени сигнал, в том числе и по Романюку (обозначен в книге символом Xд(t)), это, уж извините, ОПФ от периодической функции - спектра (полученного, кстати, совсем не в процессе дискретизации) и всегда есть взвешенная сумма дельта-функций. Поэтому я и сказал Вам, что с дискретизированным по времени сигналом Вы не работали и не могли работать, поскольку такого в природе не существует.
Примеры, которые Вы привели, простите, детский лепет от недомыслия.

Станислав, читайте книжки и думайте, желательно немного поболее чем сейчас.
К тому же нехило было бы Вам самому в качестве тренировки мозгов доказать теорему Котельникова. Только начать лучше с самого начала, с самой идеи.

Извините, но Вы мне стали неинтересны. Хамите к тому же, а я этого не люблю.
Более общаться с Вами у меня желания нет. Так что прощевайте.

Нда... Ещё и ругаются в моей ветке.

729, а Вы можете что-то сказать про то, что я написал на этой странице? (от поста №241)

Даже лучше от №238

Я могу доказать, что для любого заданного интервала df частот вблизи F/2 можно подобрать частоту, более близкую к F/2, которую невозможно будет восстановить ввиду отсутствия точной информации о её фазе и амплитуде на любом отрезке времени!!!

Могу ещё доказать, что именно эта частота, и все возможные вплоть до F/2 будут "поганить" граничные края корридора частот от 0 до F/2 из чего будет следовать, что частоты F/2, 0 (это точно!), -F/2 и им кратные никогда (!) не будут достоверно восстановимы.

Кажется это можно даже "геометрически" доказать что бы не было вариантов использовать ДВПФ для опровержения.