Для целого числа отсчётов ПФу (sinx/x) невозможно будет отличить частоты в диапазоне 0..df от Fs/2-df - это факт!
При устремлении df к нулю мы имеем две (три) частоты Fs/2, 0, -Fs/2. На них инфа принципиально не восстановима. Например начальная фаза сигнала Fs/2 (допустим 30 град) уже смещает на 0.5 своей амплитуды сигнал 0Гц (если таковой там был).

Рассказывайте что там с ДВПФ, а то мне становится скучно
Какие ещё есть методы ортогональности для нецелых чисел?

Такое ощущение, что в дискретных отсчётах всегда будет не хватать одного элемента для разделения частот Fs/2-df и 0+df
Кажется это из-за того, что операция ортогональности (как и операция разности) может быть осуществима между двумя или более отсчётами и результат будет находиться ровно между ними (образно выражаясь). Недостающий же отсчёт "по ходу" в реальности вообще не существует. Он находится где-то между прошлым и будущим

Я понял !!! почему при увеличении окна точность падает. Там же в формуле sin(x)/x есть деление на X, а увеличивая окно результат этой функции к нулю устремляется!

Сейчас просто времени нет. Позже попробую.
Но Вы всё же определитесь с амплитудой сигнала, представленного отсчетами. По-моему, на часть вопросов Вы сразу получите ответы.

Кстати, утверждать о существовании финитных функций равноценно утверждению того, что мы знаем будущее! Или о том, что вся информация о том, что будет происходить в конце окна (которое мы взяли для БПФ допустим длительностью 1 год) известна в его начале здесь и сейчас! По-моему это чистой воды идиотизм.

Какими отсчётами? 1,1,-1,-1 этими ?

Если же условиться что финитных функций не бывает в принципе то в ряде Котельникова наступает регрессия

И соответственно нарушается ортогональность.

Например, этим.

А чем не финитная функция - ...,0,1,1,-1,-1,0,...

О-па!
Я понял важную деталь. Именно то, что мне давно подсказывала интуиция. Мера непредсказуемости укладывается в окно, которое мы берём в качестве задержки информации как бы заглядывая в будущее. Этим окном мы ограничили кол-во ортогональных частот. Опять же кол-вом частот мы задали меру информации в этом окне. При этом теряются частоты 0..df и Fs/2..Fs/2-df и именно они нарушают финитность для того, чтобы в следующем окне смогла появиться новая информация. Их нельзя использовать в принципе!

Уширение окна смерти подобно

Если Вам просто амплитуда (класса видеоимпульса), то ессно +1 считая амплитуду переменной. Но ведь вопрос с подвохом? Вам может ещё на спектральные компоненты поделить?

Отсюда следует, что финитности 100%-ной в реальности не бывает. А значит мера этой финитности в сигнале должна быть такой, чтоб не нарушалась ортогональность внутри окна. Даже в теории это так. А уж на практике ортогональность кто только не наровить нарушить. Самые противные - это шумы.

АААААААА!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ряд Котельникова достигнит частот 0 и Fs только если остановит время!!!!!!!!!!!!!!!

Что противоречит реальности в принципе и самой теореме, т.к. временные отсчёты берутся на шкале времени!

пипец Теорема оказалась с подвохом



ПОСВЯЩАЮ ЭТО ОТКРЫТИЕ 8 МАРТА !!!!!!!!!!!



У меня ещё были умные мысли по этому поводу. Может кому пригодятся для более детального понимания теории.

Оказывается все частоты вообще с нецелыми гармониками в окне 1сек/20 КГц будут оцифрованы ДПФом в ближайшую по частоте, а отклонение частоты от реальной вылезет с той же амплитудой в полосе 1..0..-1 Гц (0.5..0..-0.5 Гц при хорошем раскладе) в виде дробной частоты со знаком! Такое ощущение, что полоса 0..1 Гц является "свалкой" отходов Таким образом устремляя к бесконечности ширину окна мы эту свалку устремляем в бесконечность по амплитуде и минимум по ширине. Причём так, что реальная частота в этой полосе уже физически не восстановима на фоне этого шума.

Теперь я начал понимать, что это за "свалка мусора". Раньше я думал что она выльется в "белый шум" и нейтрализует сама себя. А теперь понятно, что это "свалка нарушений финитности" или другими словами - ИНФОРМАЦИЯ. Хотя, скорее всего - "мнимая" часть информации из ДПФ окна. А может и не мнимая, а дополнительная.

На спектральные хорошо бы.



Давно об этом уже говорили.


Вылезет в соседних частотных отсчетах с максимальным уровнем и чем дальше, тем меньше по закону sinx/x.

Остальное не понял.

Финитность функции заключается в том, что для неё известна конечная информация на конечном участке времени, достаточная для её полного восстановления, да ещё и с целым числом дискретных значений . То есть если мы берём любое окно ДПФ, и определяем на нём функцию, то следующее такое же окно ДПФ будет иметь все (!) значения (то есть фазы и амплитуды), равные текущему окну. А самое интересное, что одну финитную функцию на (листке бумаги) так действительно можно создать. Но с частотами строго кратными Fs/2/N. А вот смешать вместе две такие функции с абсолютно некратными окнами уже не получается!

Есть ещё одна метафора для понимания финитности - это "сворачивание в трубочку" времени, когда первый отсчёт во втором окне (листе бумаги) совпадает с первым отсчётом в первом окне. И такое сворачивание в трубочку равноценно остановке времени.

То есть если на бесконечном участке времени кто-то утверждает наличие финитных функций, то только ОДНОЙ ЕДИНСТВЕННОЙ!!!
Да ещё и "свёрнутой в трубочку". Это значит, что вся информация для её восстановления известна в самом начале времени и не поменяется в конце времени. Абсурд!

А здесь достаточно информации чтобы утверждать, что это финитная функция? Как я понимаю период = 6 отсчётов?
И вообще, проведя линейное преобразование (единственно возможное) разложения в спектр мы получим 6 комплексных значений амплитуда+фаза. Говорите сразу, к чему Вы клоните?

ЗЫ. Раньше помнится там было только 4 значения, без нулей


Как практика меня тут (на бесконечном интервале) очень беспокоит три вещи:
1 - амплитудная точность для обеспечения финитности взлетела до небес.
2 - джиттер (сбора информации) упал до идеального нуля.
3 - допустимые помехи тоже упали до нуля.
Но это я считаю "детскими" аргументами и прошу на них не обращать внимания.

Аргумент чуть более серьёзней (который, я искренне верю, теоретики таки умудрятся обойти) - это конечная точность определения начальной фазы самой низкочастотной компоненты сигнала в конечном множестве отсчётов, ставящая крест на финитности конечных функций. Причём очевидно, что устремляя множество отсчётов в бесконечность мы получаем точность определения начальной фазы равной НУЛЮ!!!

Ортогональность, финитность и прочая информация задаётся только разностями (взаимозависимостями) соседних отсчётов. Это значит, что ортогональностей всегда будет на 1 меньше чем кол-во отсчётов! И финитность функции не определить 100% без знания следущего за окном отсчёта (при условии бесконечной точности этого отсчёта, в котором будет содержаться эта информация). Таким образом, устремив кол-во отсчётов к бесконечности не избавиться от недостижимости Fs/2 и 0 частот!

fontp, ну скажите уже что-нибудь вумное Я Вас очень уважаю
729, можете не сомневаться, Вас тоже

Если честно, тут я просто не могу уловить ход Ваших мыслей.


Это одно из свойств ДПФ и пространства сигналов с ним связанного. Смешать кратную с некратной, конечно, можно. Но ничего хорошего с помощью ДПФ получить уже будет нельзя. Применение временных окон с хорошим подавлением боковых лепестков сильно искажает картинку, давит разрешение и прочее.


Тут опять не могу уловить Вашу мысль.


Нет, тут просто все нули слева и все нули справа, посредине четыре ненулевых отсчета.
Лучше, правда, взять другую финитную функцию - непрерывная функция везде равна нулю, кроме ограниченного отрезка в области определения, где функция равна константе. Единичный импульс другими словами.
ПФ такой функции будет непрерывной и бесконечной. Чем не финитна эта функция?


Такая проблема есть. Но теоретики её решают просто - увеличивают точность вычислений. ИМХО, проблема чисто практическая. Теоретики ею особо не озадачиваются.

Немного добавлю. В основном сказывается не сколько точность вычисления начальной фазы (или самой фазы), сколько точность вычисления разности фаз соседних отсчетов.

Так как же насчет амплитуды 1,1,-1,-1 в периоде?

А Вы обещаете, что после 4-ого отсчёта снова пойдёт 1-ый и так по бесконечному кругу?

А теперь реально обломная для математиков весчь:
Чему равен предел - бесконечность делённая на бесконечность и снова делённая на бесконечность?



Я сразу поясню для "тугодумов"

Частота и ортогональность увеличивается линейно при увеличении окна. Однако для восстановления информации используется формула sin(x)/x, которая аналогично линейно уменьшает результат и вроде бы они компенсируют друг друга.

НО!!!!!!!! синк ещё умножается на разность между двумя отсчётами частоте sin(Fs-Fв) и при Fв стремящейся к Fs/2 эта разность стремится к нулю в фазе 0 +-180 градусов для Fв. В это месте возникает "провал во времени", то есть простой информации от дискретных отсчётов недостаточно для восстановления этого провала. Этот провал во времени очень нагляден для любителей "сворачивать время в трубочку", то есть математиков "оторванных" от физической реальности.

Обещаю Обещаю также, что перед первым стоит предыдущий четвёртый Длину круга предлагаю ограничить двумя pi умноженными на радиус


Если математики скажут, что равно 2, Вы же им просто не поверите

Прикидываетесь?
Бесконечность делённая на бесконечность и умноженная на 2 будет равна 2.
Бесконечность делённая на бесконечность и делённая на 2 будет равна 1/2.

Ну а бесконечность делённая на бесконечность и делённая на бесконечность будет равна 0 !!!

Я понимаю Ваш подвох. Не 2, а 1/2. Но только это бесконечный интеграл, функция которого распределена неравномерно от 0 до 1. И там "провал" есть полюбому. Вы ведь сами жутко боитесь работать с производными в изломах функций

Непонятно, почему при восстановлении возникло умножение синка на разность отсчетов?



А по-моему, это Вы прикидываетесь Впрочем, пусть математики ломают над этим голову. Но если говорить действительно о пределах, то может бы не только 2, но и 3:)


А как можно работать с тем, чего нет? Вот и боюсь

Что-то я на этом вопросе подзавис Нутром чую, что это связано с кол-вом информации, локализованной между этими отсчётами, но "аттрактор" моя интуиция не выдаёт Пока только мысли, что сложение - частный случай вычитания.


Имеем 4 отсчёта 1,1,-1,-1 финитной функции. Это легко могла быть частота F/4 со сдвигом 45 град и амплитудой 1.41. Могла быть и 3*F/4 с той же амплитудой.

Кстати, я заметил, что ортогональность равна 1/T, где T - время окна. Значит, устремляя окно в бесконечность мы автоматом ортогональность загоняем в 0 и теряем свойство разделения частот. Или здесь тоже "трюки" есть для обхода?
Она по-моему даже раньше до нуля упадёт, чем окно приблизится к бесконечности.

Не совсем так. Ортогональность "равна" 1/(||F||^2), где ||F|| - норма F. Норма в свою очередь корень из суммы квадратов (зависимость от N). Поэтому при увеличении окна ортогональность не растет.


А с амплитудой Вы совершенно правы - так её и считают, на гармониках. Замечу, что для получения амплитуды достаточно было взять 4-ех точечное ДПФ (период сигнала равен 4 точкам). Если нужна "амплитуда" сложного сигнала, то как в шумах - сигму вычисляют.
А вот с частотами Fs/4 и 3Fs/4 немного неверно. ДПФ раскладывает действительный синус на две комплексные экспоненты с частотами F и -F=Fs-F. ДПФ на каждой из этих частот даст амплитуду в 2 раза меньшую, чем амплитуда синуса (кроме двух частотных точек 0 и Fs/2). Сумма этих экспонент и дает синус. Поэтому это строго отсчеты синуса с частотой Fs/4.
Но из всего этого совершенно не следует вывод, что в общем случае восстановить сигнал можно по ограниченному числу отсчетов (в нашем случае по 4-ем).

Ну Вы и тему раздули....Ахринеть (и вопрошавшего окончательно запутали и запугали: теперь он будет считать, что увеличение разрешающей способности АЦП за счёт увеличения количества отсчётов - это АРХИСЛОЖНАЯ задача)....Аж на 18 страниц...А тема-то яйца выеденного не стоит... Как поднять разрешающую способность АЦП?.. Взять вместо одного отсчёта N отсчётов и поделить их сумму на N. Чего тут "мудрствовать-то лукаво"?. Только этот трюк можно использовать если сигнал постоянный на отрезке времени пока берутся N отсчётов. Всё.. Какие ещё варианты? Не понимаю.

Ага. Вопрошавший полный балбес, раз полез в дебри ТК из-за такой банальной темы.

Ууууу....
Дак вот откуда корень зла распостраняется. Сколько по-вашему можно определить ортогональных частот в единственной физической реальности по 4 точкам финитной функции?

Хорошо. Возможно я попутал термин. Меня интересует качественная оценка отличимости ортогональных частот, дающих одинаковую проекцию на единственную физическую реальность. Скока это в граммах? И ещё скока это в штуках (кол-во орто-частот) при целом числе отсчётов?

А как это? К примеру, бесконечность/бесконечность должна сокращаться до 1?

729, Вы разбираетесь в двойной ортогональности? Если можно, в двух словах расскажите.

729, не подскажете бесконечный интеграл проекции гармонической информации (комплексных чисел) на ось вещественных чисел? Если хотите, можете конечный привести. А потом узнаем предел.

Как я понял, Котельников вообразил, что из последовательности N вещественных чисел он умеет восстанавливать последовательность N комплексных чисел? Крута! И как я понимаю ему для этого (или не ему) требуется вся вычислительная мощь вселенной чтобы собрать всю информацию (из вселенной?) в одной точке Кстати, именно в этой точке время остановится



Вобщем я подхожу к выводу, что в реальности финитность имеет разумные пределы, т.о. нарушение финитности нарушает бесконечную ортогональность и она тоже приобретает свой верхний предел. Из этого следует, что частоты Fs/2 и 0 никогда не достижимы. Кроме прочего, в реальности у самых границ этого корридора получается настоящая свалка отходов - нарушений финитности.

Предел финитности = степень непредсказуемости. Например возьмём тырнет. Если я запросил у сервака только заголовок страницы, должен ли он мне подготавливать (и посылать) всю страницу целиком и ещё все страницы, со ссылками из текущей?

Что Вы там курите такое забористое? Я просто опасаюсь разговарить с человеком, который так видит:
типа что частоты 0 и Fs/2 сильно похожи. Я вижу похожими только 0 и Fs, оставаясь на почве реализма :-)

Тогда докажите мне ортогональность Fs/4 и 3*Fs/4 на почве реализма. А точнее в пространстве вещественных чисел, идущих от АЦП. Ну или 0 от Fs/2, или 0+df и Fs/2-df ??? Слабо?


ЗЫ. Я вообще не курю

Да запросто!

F = 0 это 111111...
F = Fs/2 это 1 -1 1 -1...

Понятно, что они ортогональны с бешеной силой если умножить и просуммировать :-)
Fs/4 и 3*Fs/4 не ортогональны, но это просто из-за того что никаких частот выше Fs/2 не существует вообще - они как известно отражаются от частоты Найквиста Fs/2
Fs/4 и 3*Fs/4-Fs/2=Fs/4 это просто одна и та же частота в дискретном представлении с частотой дискретизации Fs

А может недостающую вторую половину данных Вы (математики) берёте из параллельного пространства?


Ха! а если я буду утверждать, что Fs/2 - это 0,0,0,0 или 1,1,1,1 чем опровергнете?

Возьмите синус Fs/2 с нулевой фазой и о чудо! Куда делась Fs/2 на вещественной оси?

Нет, не так. Математик бы сказал, что 3*Fs/4 -Fs = -Fs/4 это другая частота чем Fs/4. Для комплексных чисел так оно и есть. А для реалиста, что F, что -F (в пределах +-Fs/2) это всё одно и то же



Здесь Вы запутались. При частоте дискретизации Fs для частоты Fs/2 Вы могли бы ещё получить при неудачной фазе 0000, но 111111 - никогда. Только 1 -1 1 -1 1 -1/ На то оно и Fs/2, а не Fs

111111 можно получить только для Fs (n*Fs, n=0, 1,2,3... )

Ну если Вы умеете отличать Fs/2 от 0 на вещественной оси, то Вы конечно правы. В чём я круто сомневаюсь.

Только Вы ещё не доказали, что отличите 0+df, от Fs/2-df. (тута ошибка )

То есть отличить Вы её не сможете? Кстати, получу я абсолютно любое значение, т.к. в нём будет нулевая частота. Так что, незачёт.


Раньше наврал немножко, неортогональны 0+df и Fs/2+df, или 0-df и Fs/2-df.

Глядите дальше ...неортогональны в реале и под ТК не подпадают. Берём Fв=Fs/2 и получаем, что Fs-Fв (=Fs/2) и 0+Fв (=Fs/2) не являются ортогональными. Я не много травы выкурил?

Давайте любую "сомнительную" последовательность. Пропустим её через ДПФ, который всё и покажет.



0 и Fs - это одно и тоже. Точнее, Fs просто нет, а есть один 0.

0+df и Fs/2+df, где Fs и df на Ваш выбор, как будет удобнее.

По-моему, очевидно, что в отсчётах, идущей от АЦП (ось вещественных чисел) нет достаточно информации для определения ортогональности 0 и Fs/2. И соответственно эти частоты недостижимы ни в каком ДПФ и никак иначе в целой последовательности отсчётов.

Ерунда. При частоте дискретизации Fs частота Fs/2+df эквивалентна -Fs/2+df для комплексной экспоненты. Для действительного синуса она (-Fs/2+df) в свою очередь эквивалентна Fs/2-df.
Получилось отражение Fs/2+df ~ Fs/2-df. Где здесь 0?
Чтобы убедиться в этом достаточно записать соответствующие формулы и учесть периодичность, без всяких ДПФ.
Вы наверно считаете, что частота дискретизации Fs/2?

Что синус Fs/2 можно отдескретизировать при строго определённой фазе в 00000 я не спорю с самого начала. Что-то похожее можно получить и для частот близких к Fs/2 -> Fs/2-df Но там получится "почти 0", а не 0. И если взять в "рвущуюся к бесконечностью" сумму ещё больше членов - то опять всё восстановится.

С самой частотой Fs/2 математики тоже разобрались. В строгой формулировке теоремы Котельникова сказано не равно, а равно с вероятностью 1
С вероятностью 0 не равно. Почему свероятностью 0? Да потому, что при случайной фазе синуса получить 000000 можно только в одной точке фазы 0 на отрезке (0, pi). А вероятность попасть в эту точку при случайной фазе в отрезке (0,pi) равна в точности 0. Как говорится, мера у точки нулевая по отношению континнума точек отрезка.
А во всех остальных случаях синковая сумма опять же восстановится достаточно точно, если набрать достаточно много членов.
Тут математики придумали вам назло (чтобы вас дурить :-)) очень могучую концепцию трансверсальности :-) Вероятность заиметь точку на отрезке в строго заданной позиции равна 0. Вероятность, что случайная точка на плоскости лежит на заданной прямой =0. Вероятность что две случайные прямые пересекутся в трёхмерном пространстве =0 И т.д. и т.п.

Хотя для практических целей точку Fs/2 (а практически даже некоторую окрестность этой точки)
в теорему лучше не включать.

Нет, Вы сами понимаете на что руку поднимаете? Вся цифровая техника и теория информации работает на основании теоремы Котельниова, пусть хоть в предельном переходе. Приближённо.
Ваш mp3 плеер и мобильник работают только благодаря этой теореме. А Вы говорите - "Тупо."

Кстати существует всего ещё один альтернативный подход, позволяющий пройти от непрерывных финитных функций к дискретному представлению. Существует теорема ТФКП для целых функций, согласно которой функцию можно полностью восстановить по её нулям. Одно время было модно попробовать применить её (отквантовать нули и по нулям восстанавливать). Но не сложилось практически, видно плохо сходится

Не-а. Я в курсе, что Fs. Когда будете считать, не забудьте, что по услови "задачи" начальные данные заданны только в виде вещественных чисел!

На частотах 0 и Fs/2 экстремально падает точность (или достоверность) информации до нуля.

Не.. Не получиться... Во всём диапозоне измеряемых напряжений увеличить разрешающую способность. Потому что В AVR нелинейность = почти 1% поэтому хоть миллион измерений сделай и усредни всё равно не зная погрешности нелинейности разрешающую способность не увеличишь

Дон Амброзио, расслабься. Тема ветки давно поменялась

И то, что ты написал уже раз 10 обсуждалось где-то в начале этой темы.

Хотя наверное правильней бы было сказать "точность измерений" не увеличишь? Ведь "точность АЦП" и "разрешающая способность АЦП" разные понятия?



Расслабишься - вые...т :-)


То есть?

А Вы поняли к чему у меня претензии?
1. К частотам 0 и Fs/2, которые недостоверны. И как тут некоторые утверждают, что чуть больше вычислительной мощи и всё сразу сойдётся
2. К ТК в "чистом виде" и её ограниченности применимости, а не в абсолютной её чепухе. Она на 99% верна. А "Вашего" предельного перехода не существует. Это не приближённо, а точно!
3. Я тут уже постов 20 расписал все логические взаимосвязи анализа гармонических сигналов в ЦОС без идеотизма-идеализма. Всё строго-логично-практично. Да ещё и наглядно

Это уже не говоря про "идеалистические" требования ТК по части джиттера, разрешающей способности инфы и нулевому уровню шумов.

Тогда Вам сюда http://electronix.ru/forum/index.php?showt...=44311&st=0
Там джиттер обсуждается

Надо было сразу написать, что при Fв = Fs/2 становятся 4 частоты неортогональны Fs-Fв, 0+Fв, 0-Fв, и -Fs+Fв. Две из которых ещё могут быть неортогональны, но не 4 же сразу!!!


А теперь умножте это на проекцию данных на вещественную ось и всё устремится к нулю при увеличении окна. Даже так: какова ортогональность частот по их вещественным компонентам (из комплексного представления)? Ну или ортогональность по вещественной оси?

Дополню:
Есть у меня F/2. Если она с фазой 0, то я получу 0,0,0,0
Если он у меня с фазой 30 град. Я получу 0.5, 0.5, 0.5, 0.5
Если он у меня с фазой 45 град. Я получу 0.7, 0.7, 0.7, 0.7
Если он у меня с фазой 90 град. Я получу 1, 1, 1, 1

Где ортогональность от 0 ?


Кто доказал, что они ортогональны на вещественной оси?

Блин, чё-то меня прёт:

Ортогональность на вещественной оси нельзя доказать ни на конечном числе отсчётов, ни на бесконечном!

С синусом Fs/2 будут проблемы при любой начальной фазе.

пусть x(t)=sin(Fs/2*2*Pi*t+phi) -> x(t)=sin(Pi*Fs*t+phi)
Тогда x(k/Fs)=sin(Pi*k+phi)=sin(Pi*k)*cos(phi)+cos(Pi*k)*sin(phi)
С учётом, что sin(Pi*k)=0 для любых целых k, и cos(Pi*k)=-1 для нечётных k и =1 для остальных получим:
x(k/Fs)=sin(phi), чётные k и k=0
x(k/Fs)=-sin(phi), нечётные k

получаем последовательность sin(phi), -sin(phi), sin(phi), -sin(phi), ...
в этой последовательности потеряна амплитуда исходного сигнала. Тоесть подставив эти значения в ряд Котельникова мы не получим исходный сигнал.

Давайте по порядку, а то я немного отходил в сторону.
Система функций обладает двойной ортогональностью, если она ортогональна на бесконечности и на конечном интервале.
Как это всё помогло fontp, лучше спросить у него самого.

В вещественном случае (случае действительного сигнала) ДПФ на 4 точки даст 3! ортогональные частоты - 0, Fs/4, Fs/2.

Частоты 0+dF и Fs-dF легко обнаруживаются ДПФ как кратные при соответствующем выборе числа точек.
Если кратность поймать невозможно, то эти частоты преобразуются ДПФ в отсчеты sinx/x с "цетрами тяжести" между 0 и 1 для 0+dF и между N/2 и N/2+1 (Fs/2). При этом вполне возможно появление слабых гармоник частоты (0+dF) на частоте Fs/2 и наоборот.

Ортогональность частот по их вещественным компонентам (из комплексного представления) сто процентная, не сомневайтесь. Как sin ортогонален cos.


Все эти частоты в вещественном случае просто один и тот же сигнал. Поэтому Вы совершенно правы, они все неортогональны


Точно такая же, как и при комплексном - скалярное произведение, лучше если еще деленное на квадрат нормы. При увеличении окна не растёт и не стремиться к нулю, а равно константе.


Фазы 30, 45 и 90 град. Вы посчитали неправильно.


Тоже неправильно:
(1,0,-1,0) и (0,1,0,-1) - отсчеты косинуса и синуса Fs/4 - ортогональны.

fontp, а то, что чем шире окно, тем больше должна быть точность данных, идущих от АЦП, для выявления крайних частот
Вам о чём-то говорит? (подсказка - о пределе не говорит?) Причём, не надо думать, что проблемы только с верхами. С низами
такие же проблемы. Если вдруг в НЧ последовательности возникнет ошибка в 1 бит, то идеальный синк её просто неправильно
"опознает" и приравняет к верхним частотам. А если там будет НЧ шум, то он с такой же вероятностью вылезет в верхних частотах, близких к Fs/2.

Я ж доказал что 0 и Fs/2 не ортогональны.

Тут (в пределе) есть ещё одна его особенность, что он по "правильным" законам должен "наследовать" немного инфы (о сверхнизких и сверхвысоких частотах, стремящихся к Fs/2) из предыдущих окон.


Врёте Вы всё Что бы они 100% были ортогональны комплексное представление сигнала ни в коем случае не должно "извлекаться" из такого же размера действительных чисел. Вы понимаете (?) что придумали математики? Они решили создать из N действительных чисел в 2 (!) раза больше действительных чисел для комплексного представления всех частот.

Откуда взялись комплексные представления? Из пальца высосаны? Одно дело, когда их можно достоверно восстановить из сигнала (последовательности действительных чисел) и совсем другое дело, когда математики с ума сходят в своём комплексном мире

Где?


А может всё совсем наоборот? Из N комплексных чисел с нулевыми мнимыми частями они решили создать N комплексных чисел, половина из которых есть линейная комбинация чисел из второй половины?


Это целая тема. Если хотите, то выскажу своё видение сего феномена.

Согласен, но я немного не это хотел сказать. А вот что:
допустим фаза 0 амплитуда 10. последовательность = 0,0,0,0 (равно как и 100,100,100,100)
допустим фаза 30 амплитуда 10. последовательность = 5,-5,5,-5 (равно как и 105,95,105,95)
допустим фаза 45 амплитуда 10. последовательность = 7,-7,7,-7 (равно как и 107,93,107,93)
допустим фаза 90 амплитуда 10. последовательность = 10,-10,10,-10 (равно как и 110,90,110,90)

Достоверна при этом частота и фаза ?

То ест достоверность в пределе частоты Fs/2 (как и нулевой) равна 0!!! (провал во времени)

Опять неправильно. 0,0,0,0 ну никак не может выродиться в 100,100,100,100.
100,100,100,100 - это можно при определённой фантазии представить, как 0,0,0,0 на Fs/2 + 100,100,100,100 в 0 (разница, согласитесь, есть).
Все остальные фазы есть сумма частоты Fs/2 и частоты 0 с сответствующими амплитудами.

Дополню. Фаза Fs/2 не восстанавливается. Об этом тут неоднократно говорили.
Фаза в 0 восстанавливается полностью, если сигнал комплексный. При вещественном она всегда равна 0. У вещественного сигнала в нуле просто нет другой фазы

Или так (Fs/2 везде с амплитудой 10):

0 Гц, ампл. 10 + Fs/2, 0 град ==> 10,10,10,10 => что вычислим? = 0Гц = 10, Fs/2 = 0 (хде Fs/2 ? - косяк!)
0 Гц, ампл. 10 + Fs/2, 90 град ==> 20,0,20,0 => что вычислим? = 0Гц = 10, Fs/2 = 10 (всё верно!)
0 Гц, ампл. 10 + Fs/2, 30 град ==> 15,5,15,5 => что вычислим? = 0Гц = 10, Fs/2 = 5 (упс! - косяк! амплитуда Fs/2 не верна)

Однако, "правильный" синк не сможет различить 0 и Fs/2 (да и на дискретной последовательности они проникают одна в другую) и то, что мы расчитаем как я написал - это то, что нам самим "как бы" удобно.

Еще немного и пойду и застрелюсь...
Правильный синк их разведет на два противоположных края частотного диапазона без всяких проблем. Как и ДПФ. Вы бы лучше попробовали все эти последовательности пропустить через ДПФ, в Матлабе, например. Там всего две строки надо написать для этого случая.

Я тут вот что понял, амплитуда Fs/2, при невозможности её определить наследуется из предыдущего окна, но если её не видно в текущем окне, то это не зачит, что её нет! В то же время постоянная составляющая (0 герц) не факт, что принадлежит именно 0 Гц. Она равно может принадлежать и амплитуде Fs/2, которая по "независящим от нас" обстоятельствам в окне оказалась сдвинута на ровно на 0 градусов.

И амплитуда 0Гц кстати, тоже наследуется. Т.к. в пределах окна их невозможно отделить. Они смешались хоть ты тресни!

А ДПФ работает с цифровыми числами, то есть с ограниченной сеткой. И там всегда будут ошибки. Тем более ДПФ сделает так, как нам будет "удобно". Самое прикольное - это посмотреть как будет распределяться шум на околонулевых частотах в ДПФ. Увидите - в шок в падёте
Хотя надо ещё подумать про влияние амплитудной сетки в ДПФ. Я могу и ошибиться.

Нет. При дискретизации частоты Fs/2 Вы уже потеряли информацию о фазе. Поэтому у Вас всегда на этой частоте есть только синус с фазой 0 (или косинус, не важно) с соответствующей амплитудой. При программном синтезе отсчетов частоты Fs/2 Вы всегда будете иметь только половину от Asin(x)+Bcos(x), то есть только Asin(x) либо тлько Bcos(x). Всё это хозяйство от отсчетов предыдущего или последующего окон не зависит.




Ну это не есть правда. ДПФ при определённых усилиях может работать с очень большом числом разрядов, где шум квантования где-то на уровне минус 180-200дБ.
А вижу спектрограммы реальных и синтезированных сигналов практически каждый день по нескольку сот раз. Каюсь, в выходные гораздо меньше. Пока шока ни разу не испытывал
Вру Один раз испытал нечто подобное шоку. Но через два дня раздумий и рисования формул на бумажках всё встало на свои места - ДПФ не наврал.

Можете идти от обратного. Если Вы умеете программировать, то можете написать програмку, которая Нарисует Вам в любом окне частоту Fs/2-df так, что на экране будет казаться, что это частота 0-df. Частота Fs/2-df определённо была в сигнале, но и 0-df откуда-то взялась
Короче, их амплитуды просто сливаются в кучу и их уже не отделить.

И даже не обязательно на экране компа. Вы ведь не доверяете глазам по части осциллограмм. Лучше на бумаге посчитайте и проследите тенденцию.

В ДПФ (да и в любых конечных последовательностях) есть "дыра" через которую, дробные частоты будут пролазить в "мусорку" с частотой ниже минимально определимой через ДПФ, то есть в НЧ или 0-частоту. Это свалка несоответствия сигнала и дискретных частот, допустимых в ДПФ. Это наглядно можно проследить на листке бумаги, задав конечное число отсчётов и "неправильный" синус (некратный кол-ву отсчётов). Причём это наглядно выражено когда в сигнале только одна некратная частота. Когда же там две частоты, то ДПФ "умеет" распределять эту НЧ в соседний (а скорее всего в любой другой отсчёт) как бы делая его тоже дробным. Точнее, он выравнивает неровности так чтобы конечная комбинация вещественных чисел легла наиболее "удобно" по частотам. Всё, что останется от этой "ахинеи" ДПФ будет считать нулевой частотой.

Хорошо. Сейчас синтезирую Fs/2-dF и выложу осциллограммы и спектрограммы.
Чтобы не было подвоха, задайте мне, пожалуйста, Fs, dF, число точек ДПФ (не менее 32 и степень двойки).



Забыл Вас сказать, что термин "курить" в технических форумах, по крайней мере в тех, которые мне известны, означает не "курить траву", быть пьяным или еще что-то в этом роде, а "изучать", "во что-то вникать", "в чем-то пытаться разобраться" и тому подобное. Например, "курите [ссылка]" означает - посмотрите материалы по ссылке. fontp применил слово "курить" именно в этом смысле. Как мне кажется

Если бы ДПФ показывал Вам то, что осталось от вырезания частоты было бы круто. Если он показывает НЧ, то есть 0 Гц - то следите за ней. Только вот НЧ нужно показывать обязательно внутри окна. Если БПФ 16К, то и 0-Гц должна быть за 16384 отсчёта.

Делайте окно БПФ 16К например, Fs=100 КГц и частоту 49.9915 КГц. Узнайте 0Гц. Смещайте фазу 49 КГц на 30, 60, ...градусов и смотрите изменение 0Гц. Вместо 49 КГц можно было бы взять любую некратную частоту (в идеале с шагом в 2 раза больше окна ДПФ чтобы максимум амплитуды проникал в НЧ)

Хде ссылка?

Если в конечном окне невозможно доказать, что все (дробные) частоты сигнала лягут так, что НЧ (0-Гц) будет финитна к следующему окну, то это "глюк" ТК

Пожалуйста:
1. http://hjk73q.narod.ru/Fs_2.JPG - то, что Вы заказали. Нижняя панель - спектрограмма, по оси x - отсчеты.
2. http://hjk73q.narod.ru/Fs_2_0.JPG - то же самое, но область нулевых частот детализирована, на экране первые 128 отсчетов спектра мощности.



Мусора в районе нулевой частоты не наблюдается.

Забыл добавить - в ДПФ применено окно Кайзера с уровнем боковых лепестков минус 200дБ.
Вот без окна (прямоугольное окно) - http://hjk73q.narod.ru/Fs_2_0_re.JPG

Ну вот сами подумайте. Есть у нас частота некратная шагу ДПФ. В идеале частота ровно посередине шага. Любая. ДПФ округлит её до ближайшей. Что в остатке? Посчитайте разность между оригиналом и ОДПФ. По логике следует разность между двумя синусами = синусу с частотой меньшей шага. Оговариваюсь сразу - действие происходит только на одной вещественной оси. Что такое НЧ с частотой меньшей шага? Это разность одного синуса где-то между его фазами. Допустим между 0 и 180 градусов (в оригинале была частота ровно N.5). Ну и что? sin(0*pi) - sin(1*pi) = 0. Круто! А теперь сдвинем на 90 градусов. А вдруг окно началось когда в сигнале был сдвиг именно на 90 град. sin(0.5*pi) - sin(1.5*pi) = целой амплитуде! Ух ты! Дык какая на самом деле она была?

При увеличении окна дискретных отсчётов увеличивается кол-во "удобных" комбинаций для разложения абсолютно любого сигнала на гармоники. Но НЧ в пределе не уменьшается! Хоть до миллиарда увеличте окно, какая-нить из возможных комбинаций частот полюбому "нагадит" в НЧ. Если она гадит в НЧ, значит первый отсчёт во втором окне никогда не совпадёт с первым отсчётом первого окна. Финитностью не пахнет

Гы на оси действительных чисел - 2! В двух фазах 0 и 180 градусов.

На дискретной последовательности нулей?
А эти нули представляют нулевое кол-во информации? К сожелению лишней нетуу. А так, я бы с удовольствием