Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый
сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и
достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна
верхней частоте аналогого сигнала.
Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда.
Тогда f = 1 / T = 1 герц, sin( ( 2*pi / T ) * t ) = sin( 2 * pi * t ),
частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды.
Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса
sin( 2 * pi * 0 ) = sin( 2 * pi * 0,5 ) = sin( 2 * pi * 1 ) = 0

Везде получаются нули.
Как же тогда можно восстановить этот синус ?

поправлю в два раза больше - но парадокс хороший.

По=моему это уже было. Вот от этого поста и дальше по топику.

А я думал будет что-то интересное

Ошибки нет. Только не больше или равна, а больше. Но время набора - не оговорено. Чем ближе к границе - тем оно больше. При равенстве - время набора данных станет бесконечным.

В оригинальной формулировке (да и в книжках) Котельникова всё-таки больше (меньше) или равна. Прокомментируйте плиз.

если аналоговый сигнал "имеет ограниченный спектр" !
Это означает что синус с Fmax и дискретизация с частотой 2Fmax уже не имеют смысла потому что амплитуда ограниченного идеальным фильтром синуса не определена, так как попадает на границу фильтра. Вообще нельзя восстановить то что не существует Вы видели когда нибудь синусоидальный сигнал 1кГц , ограниченный полосой 1 кГц?
я-нет.

Я уже сказал - при бесконечном времени накопления данных. Следует также учесть, что на границе спектра амплитуда сигнала равна нулю.

Любопытно посмотреть на спектр гармонической ф-ции и его границу. Теорема подразумевает(должна) необходимость и достаточность, знак равенства в формулировке- присутствует.

rudy_b, не надо отсебятины. Вы что, умнее Котельникова?

1. Спектр не содержит частот выше Fв, то есть имеет право содержать Fв.
2. Выражение может быть полностью восстановлен не позволяет говорить о бесконечном времени, то есть если это действие выполнимо, то время конечно.
3. По этой же причине кол-во отсчётных значений конечно.

А теперь привидите мне литературу, в которой приводятся все ваши оговорки, которые более точно определяют применимость ТК и её ограниченную "точность". Плиз.


Знаете, для меня этот термин имеет неограниченный смысл Такая искуссная игра слов. Чтоб потом за руку не поймали. Может Вы заодно приведёте более конкретное определение "ограниченного спектра".

Смею предположить (по определению ТК), что спектр ограничен только двумя числами, то есть в диапазоне A..B.

Цитата (http://robotcity.ru/content/view/485/32/)
Для полного восстановления непрерывной функции x(t) по значениям ее отсчетов нужно просуммировать бесконечное множество членов ряда (1.69).
См. также http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Котельникова. Здесь, как и во многих учебниках
обычно пропускают индексы в сумме. А они - от минус бесконечности, до бесконечности.

Посмотрите также http://graphics.cs.msu.su/courses/cg_el00/kotelnikov.pdf.

И не путайте формализм с физическим смыслом.

Я не путаю.
Применима ли ТК к конечному множеству отсчётов? Какие при этом возникают ограничения?

Да , дела , пмсм при нулевых отсчетах на синусоиде сколько хошь складывай , а ряд котельникова будет выдавать нули

Ошибка стало быть в условии >= . Равно не катит.

ТК применяется не к отсчетам, а к функциям, имеющим спектр, т.е. интегрируемым. Непрерывный синусоидальный сигнал к таковым не относится, соответственно и ТК к нему неприменима. Впрочем, если хотите, можете попрактиковаться в рисовании спектра оного синуса, тока будьте осторожны - дельта-функция уходит в бесконечность, как бы в глазик кому не ширнуть.
Из утилитарных соображений - и Шеннон, и Котельников рассматривали сигналы, пригодные для передачи информации. Непрерывный синусоидальный сигнал никакой информации в принципе передавать не может, если бы они знали, что кому-то понадобится "воспроизводить" такой бесполезный сигнал, может и подшаманили бы теорию.


Кстати, Гоноровский в своем учебнике убрал "равно". Наверное, достали его студенты вопросами про синус.

Вот это настоящие откровения
1. Я привёл формулировку ТК из учебника Баскакова. В ней же явно говорится об отсчётах. И не о функциях, а о сигналах.
2. Неужели у непрерывного синусоидального сигнала нет спектра? А мужики-то не знают А вообще, сколько людей столько и мнений. Один говорит, что в ТК интегрирование надо делать по бесконечности, то есть синусоида(ы) должны быть непрерывны для правильного результата. Другой говорит, что непрерывные синусоиды не годятся. Вы уж друг с другом определитесь чтобы было о чём спорить.
3. Меня в принципе не особо тревожит частота Fв/2. А под сигналом я подразумеваю сумму любых частот (просто нули тоже могут быть), пускай даже в диапазоне -Fв/2<F<Fв/2. Годится?

А можно вот про это все подробнее? Что такое "имеющая спектр функция", что такое интегрируемая функция, почему синус не интегрируется... для начала. А то непонятно.
Хотелось бы еще эту дежавю непрерывную перевести в дежавюшнный формат и выложить не всеобщее обозрение или осмеяние... по настроению...

Поправка принимается - абсолютная интегрируемость функции. Интеграл от модуля функции по времени от минус бесконечности до плюс бесконечности должен иметь конечную величину. Непрерывный гармонический сигнал к таковым не относится, поэтому его нельзя представить в частотной области в виде обычного спектра Фурье.


Сигнал, как функция времени - он является первичным. Отсчеты - результат дискретизации, т.е. процесса. Можно дискретизировать непрерывный сигнал и не зная ТК (законом не запрещено).

Таки не спорю, просто высказываю... Допустим, у нас синусоидальный сигнал конечной длительности, т.е. радиоимпульс. Спектр такого сигнала имеет огибающую вида sin(x)/x (симметрично относительно часто F, -F). Если увеличивать длительность импульса, ширина "лепесков" будет уменьшаться, но качественно вид спектра будет оставаться тем же. При увеличении длительности импульса до бесконечности получается качественно иной результат - спектральная плотность обнуляется везде, кроме частот -F, F, а на оных она становится равной бесконечности. Это, собственно, уже не спектр в обычном понимании, а математическая абстракция.

Тогда уж не частот, а синусоидальных сигналов?

Вы пытаетесь влезть в дебри формализма. Для всех затронутых вопросов есть разработанные решения. Но не всегда они имеют физический смысл.

Возьмем теорему Котельникова. Она говорит о ТОЧНОМ восстановлении значений функции. При частотном условии "<=" она отвечает - да, но через бесконечное время. В переводе это означает НЕТ. А вот если только "<" весьма несложно определить, за какое время вы получите ответ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ. А без задания точности вопрос, опять же, не имеет физического смысла. Но этот вопрос уже не к теореме Котельникова.

Можно об этом поподробней. Любой пример с заданной точностью и методом решения. Или ссылочку на него. Вся соль в деталях


Откуда взяты эти откровения? ИМХО синусоида, особенно от минус бесконечности до плюс бесконечности является идеальным сигналом для преобразования Фурье. Результатом преобразования будет её амплитуда.


Именно это и требуется. Дискретизировать любой сигнал (в диапазоне частот -Fв/2..+Fв/2) и потом его восстановить с максимальной точностью. Как утверждает ТК.

И.С. Гоноровский. Радиотехнические цепи и сигналы. Е.И. Манаев. Основы радиоэлектроники. Результат преобразования Фурье для синусоиды от минус бесконечности до плюс бесконечности - не "амплитуда", а две дельта-функции на частотах F и -F. Собс-но дельта-функция это определение - как-то надо было назвать то, что получится при применении преобразования Фурье к функциям, для которых оно неприменимо.

Не любой, а только такой, к которому применимо преобразование Фурье. Для примера - сигнал постоянного уровня. Его "спектр" - дельта-функция, расположенная на нулевой частоте, соответственно и понятия -Fв/2, +Fв/2 для него теряют смысл.

Похоже, тов. GetSmart не очень знаком с дельта-функциями. Кстати, есть вполне математически строгая теория дельта-функций и им подобных - что-то под названием "обобщённые функции" и "функционалы".
Наверняка теорему Котельникова можно расширить на обобщённые функции. Тогда и случай бесконечных синусоид можно было бы рассматривать. Только оно надо? В расширенной формулировке это был бы монстр, а не теорема. А в стандартной формулировке звучит кратко и понятно.

.
Боюсь, что пересказывать вам содержание громадного количества книг, посвященных этой теме будет слишком утомительно. Возьмите на себя труд ознакомится с ними самостоятельно, ссылок в инете много. Ключевые слова - "дискретное преобразование Фурье" и "цифровая обработка сигналов"

Все гораздо проще. Теорема Котельникова звучит так: "Частота дискретизации должна быть НЕ МЕНЕЕ чем в 2 раза больше самой высокой частоты сигнала". Т.е. если она в 2 раза - еще не факт, что можно гарантированно восстановить. Факт в том, что при Fдискр меньше 2Fmax восстановить сигнал НЕЛЬЗЯ. Именно об этом он писал.
Более того, при Fдискр=2Fmax, удовлетворительно сигнал восстановить можно только в одном случае - если Вы ведете отсчеты по пикам синусоиды. В ЛЮБОМ другом случае - будут ошибки. Крайний случай: отсчеты по нулям - 100% ошибка.
Вообще, принято считать, что для удовлетворительного восстановления сигнала - частота дискретизации должна быть в 4-7 раз больше максимальной частоты в спектре. Вот так.

Понятно. Когда речь заходит о деталях, сразу нечего сказать. Можете продолжать зубрить "громадное кол-во книг".

Напоследок скажу одну весчь, о которой не писали в книжках. Точно восстановить из ограниченного количества отсчётов можно только ограниченное множество частот в диапазоне -Fв/2..0..Fв/2. То есть диапазон частот получается прерывистый. Остальные частоты будут частично искажены потому как не ортогональны друг к другу. Всё, я пошёл отсюда

Именно поэтому CD звук дискретизирован 44.1 KHz

Эээээ.. Где это так принято?

Не забываем, что в исходной постановке вопроса есть существенная деталь: сигнал (или его высшая гармоника)- синусоида. Тогда для восстановления сигнала вообще достаточно знать только его амплитуду. Вот амплитуду и надо воспроизвести. А дальше - дело техники, исходная синусоида из этого отсчета получится ТОЛЬКО ПОСЛЕ соответствующего фильтра низких частот.

Вы про фазу спросите? Так это совсем другая песня. Если модулируете по фазе, в сигнале появляются синусоидальные же компоненты повышенных частот. И требуемая частота дискретизации повышается.

Попробуйте при t≠const.

Это - Ваша фантазия. В исходном варианте ТК звучит ТАК:
"Любую функцию F(t) состоящую из частот от 0 до f1 , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел следующих друг за другом через 1/2f1 сек."
Ее аналог - теорема Шеннона:
"Если функция не содержит частот выше W гц, она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты, отстоящие друг от друга на 1/2W сек.”
Знак равенства присутствует в обоих случаях.

Теоремы имеют право быть неправыми. В отличие от аксиом.

Кое-что упустили - частоту синусоиды тоже надо восстановить.

У Баскакова теорема Котельникова высказывается так: " Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частоты выше fв, Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени 1/(2fв) сек."
У Гоноровского тоже речь идет о конечном спектре. О конечном числе отсчетов речи нет.
Функция, состоящая из частот- мало понятно, для меня, во всяком случае.

Ошибаетесь - даже через две точки (отсчета) можно провести бесконечное множество, прости господи, частот.

Жаль. Без Вашего мощного участия тема быстро заглохнет.


Совершенно верно, просто в те времена, когда была сформулирована теорема Котельникова, спектр сигнала представляли в виде набора отдельных частот. Говорят, были даже попытки отфильтровать сигнал от шума, пропуская его через линейку узкополосных фильтров. Есс-но, на выходе исходный сигнал не "сложился".

Посыпаю голову пеплом

Имелось в виду, что есть априорная информация о форме сигнала максимальной частоты - синус.
А для всех частот ниже этой - восстановление будет выполнено автоматически, кусочками этого синуса.

Почему это так Вы думаете? В теореме нет ни слова о непрерывности или разрывности спектра. Ортогональные преобразования были известны задолго до того...

Строго говоря, уже указывалось, гармонические сигналы спектра не имеют. Если не считать уже упомянутое выражение через дельта- функцию.

Правильно, поэтому ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ полоса CD - это 22,05КГц. Но реально амплитуда частот около верхней границы будет падать. То бишь завал на ВЧ ). И кстати фаза тоже поплывет, но это уже не так страшно, т.к. фазу ухо не слышит.
Смысл теоремы Котельникова: в том что НЕЛЬЗЯ восстановить сигнал, если дискретизировать с меньшей, чем в 2 раза - частотой.
Принято это в цифровой обработе сигналов. Никому в голову не придет дискретизировать с F=2Fmax, разве что известна фаза сигнала.



Все сложится, если правильно фильтровать (конечно с поправками на физическую реализацию фильтров). На этом принципе работаю вокодеры: есть несколько звуковых частот, необходимых для разбора букв. Их определенным образом обозначают, а потом передают только их параметры. Получается гораздо меньший поток.

Любой фильтр, независимо от физической реализации осуществляет свертку сигнала со своей передаточной характеристикой, после чего информация о фазе гармонических составляющих исходного сигнала будет безвозвратно утеряна. Вокодер не восстанавливает исходный сигнал, он конструирует сигнал, похожий на исходный. С потерей информации, есс-но.

Причем похожесть определяется чисто субъективно. То же касается всех алгоритмов "сжатия"- МП и тому подобных.

Сваял в мультисиме аппаратную реализацию

От генераторы синусоиды 950 Гц сигнал проходит через ФВЧ баттерворта 20-го порядка с частотой среза 1 кГц (-6дБ) и неравномерностью 0.01 в полосе.
затем стоит УВХ , на котором получаем типа отсчеты
Отсчеты делаем частотой 2 кГц (зеленая линия - моменты выборок , синяя - сами отсчеты)
после УВХ и повторителя идет такой же фильтр как и на входе, результат см на рисунке желтым цветом.

Симуляция была с шагом 100nS .

Это частный случай , но для GetSmart-а может что прояснит.

балин - а рисунок вставить не могу

Посмотрел исходный текст:
http://ufn.ru/ru/articles/2006/7/h/
Действительно, понимание спектра вполне современное. А терминология практицки везде - "функция, состоящая из частот".

Подсказка по аттачментам там => http://electronix.ru/forum/index.php?s=&am...st&p=530566

Лично для меня противоречие совсем не вопрос- в доказательствах и иллюстрациях самой теоремы показана необходимость ограничения спектра и фильтрации для восстановления. При равенстве fв и Fs/2 наблюдается смыкание краев реплик спектра исходного сигнала на частоте fв. Даже фильтр "Кирпичная стена", физически не реализуемый, имеет неопределенное значение своей АЧХ на этой частоте.

да, недавно точно было , как описано ,
а сейчас "BB Code Help"

Какой хелп? Парой строчек ниже кнопка "Обзор" и рядом зеленый прямоугольник для загрузки (UPLOAD, если выбран язык форума English)?

А, я, кажется, понял в чем засада - включать в диапазон частот до fв саму частоту fв или нет. В формулировке Котельникова это неоднозначно, а вот Гоноровский fв изъял и жизнь сразу стала легче.

ИМХО знак равенства на практике не мешает потому, что реальные сигналы никогда не бывают со строго определенными параметрами, заданными с бесконечно высокой точностью. Всегда существует дисперсия сигнала и восстановить реальный сигнал с частотой fb/2 дискретизированный на частоте fb с определенной (небесконечной) точностью на интервале времени в пределе стремящемся к бесконечности становится возможным. А чтобы и теория тоже была похожа на реальность, знак равенства изъяли Не забываем, что "практика - критерий истины".

Из самой статьи Котельникова видно, что он имел ввиду обработку сигнала, имеющего ограниченный спектр, т.е. в первую очередь не гармонического. Да и неинтересен гармонический- достаточно передать три числа: амплитуду, фазу и частоту.

Rezident, кнопочек обзор у меня сегодня нету , ни в Опере ни в IE
панели соответствующей тоже, сразу ниже идет панель Post Options с "Enable emoticons?"
а еще чуть ниже панель "Post Icons"

На рисунке результат с меандром 160 Гц , без 7-й (-58 дБ) и более высоких гармоник

А ФЧХ фильтра зачем? Фаза не теряется безвозвратно - просто она некоторым образом меняется. Более того, этим изменением просто пренебрегают, т.к. оно несущественно. Было бы существенно - рассчитывали бы из этих условий.


Правильно, т.к. сознательно выбрасывают несущественные компоненты (несущественные, с т.з. распознавания речи). Если бы этих компонент не было бы - все однозначно бы складывалось (ну конечно, фазы цепей пришлось бы подбирать).



Для теоретически восстанавливаемого сигнала - частота сигнала должна быть в 2 раза меньше. Нет там, и не планируется разрыв. Вот если у Вас сигнал 1Гц (прямо строго), то имея частоту дискр. 2Гц (строго 2Гц) есть шанс восстановить исходный сигнал. А вот имея частоту 1,99Гц. - восстановить можно только относительно небольшой промежуток и ошибка будет накапливаться. При рассмотрении сигнала в безграничных временнЫх пределах - этот сигнал НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЙ. Вот и все.

В чем противоречие?

прочтите сами внимательно- у вас везде противоречия

Мужики, мы ж не в верховной раде, чи там, в думе... Есть формулировка и есть какое то доказательство, это ж математика, а не законы и правила -к-рые можно передергивать. Посмотрите теорему КошИ например, - все четко и ясно, а тут, даже в первом приближении- теотрема не работает. Все это было "узаконено" в протИву Шеннону-типа, и мы не лыком шиты,-это не есть истина, да и не теорема это-в смысле Котельникова. Пусть он и заслуженный товарисчь- но не математик, просто- "заслуженный чиновник от науки" тогО времени.
ЗЫ, ну и, вам привели "примитивную синусоиду" спектр ее известен, что можно сказать ? без всяких заумностей с преобразованиями Фурье?

Ну укажите мне на них. Только конкретнее.
Я эту теорему знаю не первый год и не вижу в ней противоречий. Все нормально в ней.
Все эти спектры, фазы и пр. - это обыкновенное разложение какой-либо функции в ряд Фурье (таких рядов много и Фурье - один из множества). У рядов есть целая теория - целый раздел математики. Вот там есть некоторые противоречия. В ТК - я их не вижу.
Конечно математика не идеальная наука: если пытаться складывать прямоульный импульс (или даже меандр) из спектра - на каждом фронте будет артефакт (который можно сделать любой минимально желаемой длительности). Но это феномен ряда Фурье, а не ТК.



Котельников на самом деле умный мужик был (академик), да и математика - строгая наука (что не отменяет в ней некоторые парадоксальные феномены).
Да, есть синусоида: берем частоту в два раза больше и дискретизуем. При определенном сдвиге фаз - мы сможем ее восстановить с нулевой погрешностью. Берем частоту в 1,5 раза больше частоты синусоиды: при ЛЮБОМ сдвиге фаз - мы 100% ее не восстановим.
Всё. Это как раз и хотел сказать Котельников своей теоремой.