Философия значит заключается в обмане наивных студентов. Гуд. Помнится Вы их бакланами называли


Вы что, совсем с математикой не дружите? Операция деления на ноль даёт бесконечность. И эта операция любимое действие математиков. Не вижу проблемы. Мощность сигнала на бесконечном отрезке времени - бесконечна. Ну или дважды бесконечна, или трижды. А что такого?


Это нечто по мотивам "добротность прямоугольного фильтра НЧ"
"Проблема неортогональности спектральных составляющих сигнала" - так лучше?
И дело не в инструментарии. Дело в процессе дискретизации (временнОй). Именно он нарушает ортогональность в конечном кол-ве отсчётов. Да и в бесконечном тоже. Именно он не позволяет измерять точно спектр двух и более синусоид в сигнале. Я склонен обвинять того, кто ввёл дискретизацию сигнала с обещаниями (доказательствами) об отсутствии потерь информации в процессе дискретизации. Когда говорят, что нет потерь, то это значит, что можно по дискретным отсчётам вычислить точные характеристики сигнала. А это сделать невозможно даже при нулевом джиттере, нулевом шуме и бесконечной амплитудной дискретизации. И любых прочих особенностях реалий. Невозможно чисто с математической точки зрения.

Деление на ноль, насколько я помню, в математике не определено. Можно вычислить предел отношения константы к величине, стремящейся к нулю- т.е. по определению, бесконечно малой. И этот предел получается бесконечно большим. Или раскрыть неопределенность- одна бесконечно малая(большая) на другую. Если её можно раскрыть в каждом конкретном случае.


Так ведь Котельников не утверждал, что физически реализуемыми средствами можно восстановить сигнал абсолютно точно. Нет такого. Как раз наоборот.

Не надо ничего нового придумывать. Синус удовлетворяет условиям интегрируемости.

Wikipedia:

Преобразование Фурье синуса является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний.

Эта проблема никаким боком не касается ТК. Это проблема тех инженеров , которые хотят при помощи ТК точно вычислить спектры двух компонент исходного сигнала, которые не обязаны быть ортогональными , но это же и не мешает вычислять их общий спектр.

Теорема обещает восстановить сигнал как функцию времени и ничего более. Точные характеристики в отношении исходных компонент - не задача ТК и не "бонус" от ТК.
то имеют ввиду восстановленный сигнал , а спектр извините , извратили в теореме, искусственно размножив периодически по частоте, с благородной целью получения коэффициентов для ряда Котельникова.
Руки прочь от Анжелы Девис!

А-а-а наших бьют Руки прочь!
Причём тут размножив? Обсуждает только спектр, ограниченный в диапазоне -Fв/2..+Fв/2. Что там внутри размножено? Опять отсебятина.

Я говорю о том, что в конечном множестве отсчётов сигнала могут быть кратные частоты, которые полностью ортогональны друг другу. "Элитные" частоты. А вот все другие, промежуточные частоты неортогональны друг к другу и меняя например амплитуду одной частоты в исходном сигнале, как ни странно, но будет немного меняться характеристика совсем другой частоты вычисленная по дискретным отсчётам. Другими словами, когда кто-либо измеряет очень точно какую-либо частоту в дискретизированном сигнале (любым методом, например пропуская через узкополосный фильтр или через ДПФ), то при наличии второй частоты результат получится недостоверным. Разумеется, чем выше амплитуда второй частоты (помехи), тем более недостоверный будет результат. Особенно умиляет, когда некоторые верят, что достаточно приложить к обработке дискретных отсчётов чуть больше математики и тем самым можно увеличить точность результата. Корни этого как раз идут из ТК, которая утверждает, что по дискретным отсчётам характеристики сигнала (с ограниченным спектром) передаются без потерь. Сказали бы честно, что дискретизация вносит потери. И никто бы не пытался изобрести "вечный двигатель"

Согласно квантовой механике, любое измерение физической величины принципиально не может быть точным, поскольку сам процесс измерения изменяет значение измеряемой величины. Так что, всё по честному..

Еще раньше будет хуже... до квантовых эффектов.
Все человеческие измерения дают только рациональные числа - счетное множество.
А как получить континуум... Никак.
Что-то вяло это все течет. Подкину для воспаленных мозгов немного горючего...
1. Имеется два (для начала...) синхронизированных котельниковских наблюдателя, соединенных линией связи. Расстояние между ними можно менять. Источник неподвижный.
2. Источник сигнала движется.

Это суждение верно. Характеристики "другой частоты " будет меняться при изменении амплитуды неортогональных частот. Ну и что ? Это же не влияет на математику и и на возможность "восстановления сигнала" по Котельникову! Сигнал восстановить можно ! но точно отделить неортогональные частоты и/или устранить их влияние на ортогональные Котельников в своей теореме никому не обещал. И надеяться на это легкомысленно, так же как и предъявлять претензии к ТК.


Они не ошибаются в том что "характеристики" передаются действительно без потерь. Вот только отделить неортогональные частоты или устранить их влияние нельзя как до дискретизации в соответствии с ТК так и после.
А точность результата это касается только f(t) - в этом и убеждает теорема.

Синусы 999.5 Гц и 1.5 Гц ортогональны? Может огласите условие ортогональности синусов?

В аналоговом виде нет дискриминации между кратными и некратными частотами. А в дискретном уже есть. Чей косяк?

Не вводите нас в заблуждение! "Раньше" или "позже" зависит от того, сколько значащих цифр выдает Ваш "рациональный" измеритель.. Ибо, если он измеряет за одну секунду энергию системы и при этом его младшие значащие разряды соответствуют значениям величины погрешности меньшей постоянной Планка, то "квантовые эффекты" как раз и будут "раньше"..

Вводить в заблуждение - мое любимое занятие, не мешайте...
И да и нет... Будем бесконечно долго измерять и усреднять... Все равно, будет рациональное число...
Более того... Вы знаете, что с помощью эффекта Джозефсона можно измерять до миллионных долей кванта магнитного потока...

На интервале 2 сек они будут ортогональны


И в дискретном виде нет дискриминации между кратными и некратными частотами. Вы просто не умеете считать спектры по дискретным отсчетам. Подсказка - ДПФ даже при бесконечном N к спектрам отношения не имеет

Ну тогда там будут неортогональны 995.5 и 1.333. И ещё бесконечное множество других частот.


Неужели Вы знаете что-то, чего не знают другие?
Давайте поподробней.

Не ломитесь в открытые двери, это знают все кроме вас, подробнее в книжках...

"И да и нет..." К понятию "бесконечно долго" неприменимы понятия "раньше" или "позже".
Ну да ладно. Не буду Вам мешать...

Повторяю для особо одарённых. Если конкретный метод указать не можете, то не надо прикрываться книжками. Тут один есть один такой Наполеон. Любит отсылать учить учебник математики за 9 класс.

Конкретно вопрос задавайте без дешёвых сенсаций.

Метод определения спектра сигнала, состоящего из двух или более синусоид любой частоты, ограниченной сверху половиной частоты дискретизации. Пусть даже максимальная частота возможного синуса будет меньше на 10% предела (Fв/2) для запасу. Сигнал представлен дискретными отсчётами в каком-нибудь интервале. К примеру 1 сек. И это метод не ДПФ.

Этот метод называется прямое преобразование Фурье и не зависит от того что там у вас продискретизировано:

сумма по n от нуля до бесконечности f(nT)*e^(-jwTn)

Умеете частотную характеристику FIR фильтра находить?

Понятно. Свёртка с комплексным синусом. Но тогда причём тут бесконечность если отсчёты только в пределах секунды?

Да, кстати, он не сработает. Я про это и толкую. Даже если сетка перебора частот будет супер мелкая (df << 1/T). Другие варианты есть?

Так не сумируйте по бесконечности если у вас там отсчёты нулевые. Что не сработает? Это буквально ответ на ваш вопрос, причём это по определению так. Видимо вы подразумеваете что-то другое, так сформулируйте это.

Повторяю в десятый раз. Скоро мне надоест повторять и я напишу например на делфе программу для демонстрации сего математического косяка.

Имеется функция - два синуса. Для наглядности пусть у них частоты будут очень разные, допустим 999.55 и 1.333 Гц. Обе амплитудой 10 у.е. Берём выборку 10 сек. Делаем дискретизацию частотой 10 КГц. Всё. Требуется по дискретным выборкам определить точно спектр обоих частот. А ещё точнее спектр всего, что присутствует в дискретизированном сигнале. Вдруг там что-то новое появилось

Меня больше интересует что имел ввиду 729-ый. Он обычно слов на ветер не бросает.

Ещё раз не ломитесь в окрытые двери, преобразование Фурье это и есть спектр по определению. Вы же понимаете что если перемножить во времени синус и прямоугольное окно, то это уже будет радиоимпульс с соответствующим широким синковским спектром и соответсвенно спектры двух радиоимпульсов будут перекрываться, только дискретизация и котельников тут не при чём.

синусы ортогональны на некотором периоде а-b если интеграл от их произведения равен 0 . Для 999.5 Гц и 1.5 Гц интервал равен 0.001002004008..... сек и кратный ему. На этих интервалах можете разделять свои синусы точно.



Чей косяк? - нету косяка , да и ТК тут ни причём.


Нужен спектр? - пользуйтесь

Но если получите непрерывную функцию без ярко выраженных экстремумов - на ТК не кивайте. Хотите близко к линейчатому спектр - забудьте о любых частотах и интервалах дискретизации. Принцип OFDM например.

Пожалуйста, пусть спектры перекрываются. Это не проблема. Точнее проблема не в этом. Меня интересует только пик дельта-функций на спектре. И его "дрожание" во времени. Этот косяк можете объяснить?

Наверное, не "спектр обоих частот", а "величины обеих частот".
Если известно, что функция - сумма 2-х синусов с известными амплитудами, то есть ещё только 4 неизвестных параметра: 2 фазы и 2 частоты. Их можно восстановить по 4-м выборкам: выписываем 4 уравнения с 4 неизвестными и решаем, как учили в средней школе. Главное, чтобы выборки не оказались "вырожденными".


Если там что-то новое появилось, то задача теряет смысл.
Получается, что исходная функция - это сумма двух синусов плюс "что-то новое". Определить частоты этих синусов. А что, если "что-то новое" - это ещё синусы? Как узнать, которые из них "те два", а которые - нет? Абсурд? Абсурд.

А теперь посчитайте точные интервалы для двух модулированных синусоид. Потом для трёх и четырёх.
Контрольный вопрос: Если заранее неизвестны частоты синусов (а иначе зачем их понадобилось измерять), то каким методом подобрать интервал отсчётов? (да ещё и частоту дискретизации! т.к. в интервале содержится целое число отсчётов)

PS. Говорите минимальный интервал равен 0.001002004008 сек. Это как на таком интервале измерить частоту 1.5 Гц? Что-то новенькое.

Нету никаких дельтафункций в спектре вашей суммы. Сформулируйте хорошо вопрос чтобы на него можно было ответить.

1. Когда синусоида ограничена во времени, то уже можно говорить о спектре, как правильно заметил petrov. Спектр такой синусоиды будет похож на дельта-функцию. Но главной характеристикой является местоположение её "пика". Он должен находиться на точной частоте синусоиды.
2. Какие конкретно нужны номера 4-ёх выборок из 100000 присутствующих в наличии?
3. Какие конкретно 4 уравнения?

Имелось ввиду "что-то новое" появилось в процессе дискретизации. Ну например если дисретизировать синус 999.5 Гц частотой 1000 Гц. Получим как бы ниоткуда взявшуюся частоту 0.5 Гц. Но этот случай конечно же не вписывается в ТК, так как частота сигнала явно выше половины частоты дискретизации. Ну а если такой же косяк возникает не только из-за частот, которые выше, но и из-за некратных частот, которые внутри "ограниченного спектра" -Fв/2..+Fв/2 ?

Непохожи они на дельтаимпульсы, это обычные синки, дельтаимпульсы будут после предельного прехода, стремления временного окна к бесконечности.



Ничего нового не появляется, только наложения спектров синков, в том числе и из-за сворачивания частотной оси по мудулю частоты дискретизации.

Критерий выбора интервалов отсчета по ТК ничего общего не имеет с Вашим контрольным вопросом.
Общего универсального ответа на Ваш вопрос , пмсм, не существует.

Вы так спрашиваете потому что знаете ответ?

Я имел в виду то же, что и petrov. Это можно назвать и АЧХой фильтра, можно назвать ДВПФом на интервале -Fd/2...Fd/2, это же есть непрерывное ПФ от функции, представленной рядом Котельникова.
Но вообще, это есть то, с чего Котельников в теореме и начал, - он разложил в ряд Фурье спектр сигнала на неком интервале, а потом доказал, что если спектр сигнала равен нулю вне этого итервала, то коэффициенты Фурье равны временным отсчетам функции, умноженным на интервал дискретизации. Временной ряд Котельникова есть обратное ПФ от спектра, разложенного в ряд.


Отфильтруйте хотя бы этот сигнал каким-нибудь ФНЧ, лучше идеальным. Только потом можно будет говорить о его спектре, расчитанном по его отсчетам. И, пожалуйста, поясните, что же Вы хотите там увидеть? Пики на этих частотах? Они там будут, не сомневайтесь.

Хорошо. Алгоритм такой. По ранее приведённому сигналу строим спектр. По предложенному методу фурье (свёртки с синусом) строим спектр с шагом 0.001 Гц. Это в 100 раз точнее взятого интервала в 10 сек. Будет ли этот спектр соответствовать реальным синусоидам? Ну то есть какая по-вашему будет частота у двух вершин на этом спектре?


1. Давайте ограничимся "ограниченным спектром" и не будем больше говорить о "сворачивании".
2. Как методом Фурье определяется коэффициент C0 (постоянка) ?


Выделенное = тавталогия. Все, кто клюнул - лохи
1. Ни одна синусоида (кроме идеально кратных) на ограниченном интервале не имеет ограниченный спектр, то есть вне этого интервала он всегда будет.
2. В связи с этим измерение характеристик синусоидальных сигналов по дискретным отсчётам является противозаконной операцией. Аминь.
3. Меня очень интересует, какие сигналы имеют ограниченный спектр на произвольно взятом интервале и какое отношение они имеют к реальным сигналам, с которыми работает электронная аппаратура?


А где я Вам найду идеальный фильтр если я не знаю частоту? Представьте что это голос человека. В нём много разных заранее неизвестных гармоник. Не говорите ерунды. Два синуса я привёл к примеру. В идеале синусов много, пусть будет 5. Про аналоговый идеальный фильтр я спорить не буду, так как он работает не с дискретными сигналами, а с непрерывными. А вот аналогово-цифровой фильтр, который работает в ключевом режиме здесь тоже не поможет. Я говорю о том, что в непрерывном сигнале любые синусы в принципе ортогональны (это более верно, чем верна ТК). А в ограниченном множестве дискретных отсчётов есть ограниченное множество ортогональных синусов. Остальные неортогональны.

Этот спектр будет соответствовать спектру двух радиоимпульсов с соответствующими наложениями и искажениями максимумов пиков.



Это все не абсолютно интегрируемые функции.
В учебниках посмотрите, либо через умножение во времени на функцию с параметром, которое даёт возможность вычислить преобразование Фурье, затем вычисление предела. Либо через обобщённые функции.

1. Соответствующими чему?
2. Предсказуемыми искажениями? Если предсказуемыми, то можно было бы откорректировать неправильно посчитанное значение частоты через допустим ДПФ.
3. Повторяю вопрос. Каким методом "выцепить" из этого дискретизированного сигнала частоты 999.55 и 1.333 Гц с хорошей точностью, не зависящей от момента взятия отсчётов из непрерывного сигнала?

И кратные тоже неограниченный спектр имеют.



Ерунда, дискретизация тут не при чём.




Точно никакие не имеют, но приближённо мы можем не учитывать хвосты и контролировать ошибку в результате этого.




Не зависит ничего от момента взятия осчётов. Некорректно говорить о частотах, вы сами сделали радиоимпульсы, их спектр и смотрите, хотите приближение к синусам - увеличивайте временное окно до тех пор пока можно будет пренебречь наложениями и неопределённостью пика.

Это все очень старенькое, именно на таком интервале в спектре появятся два явных пика , а ортогональность повлияет на то что изменение амплитуды 1,5 Гц не скажется на амплитуде 999,5 Гц.

Надо-же , а вещатели цифрового телевидения как-то об этом не подумали, и вещают себе 8000 синусоид в полосе 8 МГц, и к тому же успешно определяют их амплитуды и фазы (с заданной точностью).


GetSmart, будьте добры , уменьшите градус наезда на ТК и её поклонников.

Если это так, то вы без труда решите задачку.



Кратные имеют "точечный" спектр на кратном интервале. Ширина спектра = 0.

Точность будет упираться в размер окна, если оно не ограничено, то любую точность получите



Нет они имеют такой же синк спектр, просто максимум одного синка попадает в ноль другого.

Бред. Бред. Бред. Это справедливо для непрерывных сигналов. Для дискретных несправедливо.

Очень забавляет "с заданной точностью". Кем заданной и как заданной. Но не суть. Ведь это реалии, ограниченные недостатками электроники. Давайте рассматривать пока идеальную математическую сторону вопроса.

Пожалуйста, прочтите ВНИМАТЕЛЬНО еще раз то, что Вы выделили в моем ответе!

Давайте!!! Но сначала докажите всем здесь присутствующим, что Вы знаете определение предела последовательности lim_n→∞ A_n = ?.. А то непонятно, как Вы рассуждаете о спектрах, интегралах и рядах..

Я имел в виду аналоговый фильтр до дискретизатора.

Значит достоверная точность частоты будет 1/Т. Это уже лучше. То есть не абсолютная, а с потерями для любого разумного окна. А что там с точностью амплитуды?


Попробую перевести. Функции, дающие нулевой спектр вне взятого интервала подчиняются ТК ? Все остальные функции искажаются? Ну типа если мы знаем какие частоты у нас в сигнале, то мы можем рассчитать интервал, за пределами которого спектр будет нулевой. Вроде так.

И ещё. Допустим есть такая функция, имеющая ограниченный спектр на некоем интервале. Требуется с помощью ТК произвести измерение характеристик этой функции, заранее неизвестных. Это значит "идеальный" интервал тоже неизвестен (в разумных пределах). Что будет если ошибиться? Существуют ли "в природе" функции, которые можно дискретизировать какой-либо частотой, затем взять произвольный интервал и они будут иметь нулевой спектр вне этого интервала? Для гарантии сразу взять большой интервал (много секунд), а затем для проверки второй интервал на 1 отсчёт больший. Будет ли это укладываться в условия применимости ТК?

Вы что-то говорили о "неумеете считать спектры" и про "даже при бесконечном N к спектрам отношения не имеет". Может расскажете по секрету



Метод отличный. Жаль не имеющий ничего общего с ТК


Это из какой оперы? A_n - это что?

Вы что, не учились в институте?

A_n - это числовая последовательность, например, последовательность частичных сумм сходящегося ряда.

По радиолокации любой учебник почитайте.

Ну а какая связь с ТК ? Надеюсь не через квантовую механику?
Определение можете прочитать в википедии. Но дело ведь не в нём.


Ну как обычно. Сам не знаю, но слышал, что вот там-то и там-то кто-то что-то подобное писал. Если сами не знаете, то так и скажите.

Все остальные функции не искажаются. Но вот коэффициенты ряда Фурье уже не будут пропорциональны отсчетам.


Почему неизвестнен. Известен - интервал больше, чем тот, на котором спектр сигнала ненулевой.


Потеря информации будет из-за спектральных наложений.


Если вне этого интервала все отсчету равны нулю, то ответ очевиден. Если нет, то конечно нет, что тоже очевидно - сигнал есть, а спектр у него нулевой... Это как?


Нет не будет. Для вычисления спектра по отсчетам, как и для восстановления временной функции, нужны все ненулевые отсчеты.


Не сейчас. Но один пример - пусть есть бесконечное число отсчетов сирнуса с частотой sqrt(10Гц), взятых с частотой 10Гц. ДПФ даже при N стремящимся к бесконечности не даст строго один ненулевой отсчет.


Как это не имеет? У вас сигнал с бесконечным спектром. А дискретизировать то его как прикажете? Со спектральными наложениями? Тоды пики в означенных частотах не гарантируются

Именно в нём и дело.. И поскольку Вы его не знаете, объяснять Вам ТК бесполезно..

Вы слишком общие вопросы задаёте. Вам что тут в рамках форума все возможные способы применения БПФ рассматривать.
Имеете представление о согласованной фильтрации? Нет? Вот с этого и надо начинать, в учебниках по радиолокации про это отлично расписано.

И ещё тон поубавьте, знаниям абсолютно не соответствует.