2Atridies ,я никак не хочу обидеть ни Котельникова , ни его заслуги. Но математика - точная наука, как и физика, и не предполагает что то навроде закона в первом чтении втором, и т.д. "Хотел сказать"- это уже двусмысленность, это уже ,-не математика.
ЗЫ, а вобщето, если говорить о спектре, что и выше и было сказано,то тут тоже работает "принцип неопределенности",
чем короче время его определения(измерения), тем меньше мы можем сказать, как он "выглядит".

Котельников не был математиком - это верно, но и чиновником тоже не был. На момент написания статьи он был инженером, так и подписался - "инженер Котельников". Так Вы хотели что-то о его теореме сказать (кстати, - какой именно?). Мы Вас внимательно слушаем.

Продолжаем внимательно слушать. Очень хоцца узнать, как выглядит спектр "примитивной синусоиды". Заодно, если не трудно, - спектр сигнала постоянного уровня.

Раз уж я начал эту тему, то постараюсь внести ясность.
Поскольку я не нашел в интернете ответа на данный вопрос,
то написал небольшую статью, где постарался математически
объяснить в чем проблема. Статью можно найти здесь:

http://andyplekhanov.narod.ru/science/kotelnikov_bug.pdf

или на моей страничке, посвященной науке:

http://andyplekhanov.narod.ru/science/sci.htm

Хотелось бы услышать отзывы.

Я бы сказал, что это и верно и неверно. В исходной теореме при наличии граничной частоты требуется бесконечная выборка, т.е. получение результата откладывается навсегда, что эквивалентно невозможности его получения.
Вы сказали практически то же самое - хотите получить результат - убирайте граничную частоту. Но это практическая точка зрения, может быть теоретики усмотрят существенную разницу.

Я бы сказал, что суть понятна и споры о точной формулировке теоремы Котельникова полезны только с учебной точки зрения.

При использовании Фурье возникает очень много гораздо более интересных (и необходимых на практике) нюансов в области его практического использования. Например точное определение частоты синусоидального сигнала и его фазы на конечной выборке при некратных частотах выборки. Очень интересный вопрос, по которому написано-то много, но не сказано почти ничего конкретного. Мы столкнулись с этой задачкой и даже научились ее решать с высокой точностью (на уровне 10^-4-10^-5), но - практически. Внятного теоретического ответа найти не смогли. Может кто-то подскажет?

2wim теорема должна быть поставлена так, чтобы к ней нельзя было придраться. Необходимость выполняется, а достаточность-нет.
Формалист я, вот и придираюсь .

А этого: http://electronix.ru/forum/index.php?s=&am...st&p=402753 - не достаточно?
Или этого: http://electronix.ru/forum/index.php?showt...mp;#entry339537 - для фазы?

Пожалуйста. Коль скоро в формулировке теоремы речь идёт о спектре сигнала, значит подразумевается, что этот спектр существует. В математически строгих формулировках обычно так и пишут: "если функция непрерывная, абсолютно интегрируемая, и т.д. и т.п., то ...". Выше неоднократно упоминалось, что у бесконечной синусоиды спектр не существует, и строгая формулировка синусоиду отсеет сразу. Следовательно, про такой сигнал теорема ничего не может сказать. Всё.

Глупость. Дельта-функция вырождается в натуральное число. Точнее в комплексное. Спектр синусоидального сигнала (множества синусоид) по бесконечности - множество чисел, содержащих частоту, фазу и амплитуду.


А ты вообще не вякай


Споры полезны именно для практического применения.
С тривиальной задачкой, связанной с ТК вы столкнулись. Это т.н. "нулевой уровень". Теперь столкнитесь с задачкой отделения (выяснения спектра) для двух некратных частот в конечном множестве отсчётов. Обычно некратная частота попадается с вероятностью 1. Потом отпишитесь о результате. И продолжим обсуждать ТК.

Только используя именно такие точные формулировки и можно постичь истину.

Это, собс-но, предложение (одно из оных) по расширению области применимости ТК на обобщенные функции. Однако, условие S(w1)=0 фактически предполагает применимость к функции преобразования Фурье. И в таком виде оно практически бесполезно, поскольку известны достаточные условия применимости преобразования Фурье. Если говорить конкретно о непрерырывном синусе, то неприменимость к нему ТК имеет более фундаментальный характер, чем исходные постулаты самой ТК. Остается также вопрос терминологии - что считать частотой w1, например, для дельта-функции расположенной на нулевой частоте. Очевидно, что понятие w1 (аргумент функции) должно быть определено до того, как будет вычислена функция от этого аргумента.

Это слишком по детски (особенно второе), люди даже не знают про функцию окна. При необходимой точности порядка 10^-5 нужны гораздо более мощные методы. По нашим алгоритмам такая точность получается при наличии белого шума до 1%(амплитуда). А нет-ли чего-нибудь более серьезного?

Окно не нужно, если измерения проводить на отрезке, кратном периоду sin.
Более серьезное по первой ссылке.

Мне показалось, что уважаемый "guru killer" заявил, что он осчастливил это обсуждение своим отсутствием.


К сожалению, так не бывает, в этом то и проблема.

Про первую ссылку. При применении любой весовой функции они бы получили намного лучшие результаты. Если важно выделить синус, то наиболее подходит гаусс, он обеспечивает разделение до 80 дБ. Спасибо за попытку помочь.

Можно использовать разложение по другим ортогональным функциям которые в частотной области в отличие от синков имеют большое подавление за пределами своей полосы. Смотеть Filter Banks.

Ближе к делу.

ЗЫ. С той поры беседа оживилась. И ещё, меня попросили остаться

ЗЗЫ. И не вешайте всем лапшу на уши про точность 10e-5. В лучшем случае на фоне слабого белого шума. В присутствии любого стороннего сигнала точность будет меньше, причём такая, о какой не писали в книжках.

Огласите весь списочек, пжлст ©. В каких книжках такое утверждается? Частота должна быть строго больше, хоть на миллионную долю. Если она равна, то восстановление невозможно по очевидным причинам, приведенным в посте #1

Можно то оно можно, только вряд-ли получится лучше.

Я тут просто просимулировал восстановление 2-х перемешанных синусов 500 и 800 Гц с частотой квантования от 2 до 3 кГц.
Так вот наиболее похожий результат получился после фильтра Баттерворта 4 го порядка (после дискретизатора).
Чебышев 10 порядка, горааааздо хуже.
а 20-го порядка совсем неважно.
Жаль что синки по простому в симулятор не вставляются.

Мы проверили и такое решение. Но, если на входе синусоидальный сигнал с невысоким уровнем гармоник и требуется высокая точность, оно оказывается слишком неэкономным. Простое фурье с правильной весовой функцией и некими эмпирическими махинациями при обработке результата дает значительно более высокую точность при меньших затратах.

Напротив, это происходит довольно часто..

Очень часто измерение физических параметров какого-либо объекта сводится к измерению АЧХ(f) и ФЧХ(f) этого объекта. Это и всевозможные дефектоскопы, и металлоискатели, и лазерные дальномеры, и классические измерители элементов матрицы рассеяния S₁₁, S₁₂, и пр.. При этом измерительный прибор является одновременно и генератором и "потребителем" тестового гармонического сигнала частота которого, ессно, выбирается самим измерительным прибором и, следовательно, известна априори. А раз так, мы всегда можем точно указать длительность отрезка времени, для которого данный гармонический сигнал будет являться одной из базисных функций на этом отрезке, и найти скалярное произведение между зондирущим гармоническим сигналом и гармоническим сигналом полученным в результате воздействия на объект, что, ессно, поволит нам вычислить искомые АЧХ(f) и ФЧХ(f) исследуемого объекта.

Так что, никаких сожалений и никаких проблем..

Неплохо бы составить коллекцию формулировок ТК :-)

Ф.Е.Темников и др.
"Теортеические основы информационной техники", М., "Энергия", 1971
стр. 75
и т.д.
Интервал равен 1/2f_m (а не "не больше"), спектр не равен 0 в интервале -w_m ... w_m
т.е. неравенства везде нестрогие.
Но - имеет конечное число экстремумов явно не про синусоиду, причём даже "низкой" частоты (в этом смысле ограничение спектра строгим неравенством выглядит менее жёстким ). Это в идельном мире математики.
Дальше идёт текст про ограничения в реальной жизни от предсказуемости функций с ограниченным спектром до неограниченности спектра функций конечной длительности ("являющися носителями сообщений"), которые лень набирать (да и тут уже припоминалось) и бесконечное время работы идеального фильтра, заканчивающиеся таким:
и отсылка к Железнову.


Вот я и огласил

Кстати, а с чего некоторые уважаемые коллеги зациклились на конечном числе отсчетов? В ТК об этом ни слова. Да и как можно представлять бесконечный по времени сигнал ( при ограниченном в частотной области спектре) конечным числом отсчетов? Разумеется, речь идет об абсолютно точном представлении (восстановлении).

Так это само собой (и само собой на практике уже неприменимо). Просто "та" синусоида даже при бесконечном числе отсчётов не восстанавливается.

Рановато - мы тут ишо со спектром синуса не разобрались. Есть предложение вычислять оный "без всяких заумностей с преобразованиями Фурье". Ждем результатов вычисления. А лично меня еще интересует наивысшая частота спектра сигнала постоянного уровня (никак не могу добиться ответа от актуальных товарищей). Неровен час придется его дискретизировать, а мы тут в полных непонятках.

Применимо- с разумными оговорками, разумеется...Вы же разговариваете по телефону ч/з цифровые каналы? И практически можно это делать бесконечно долго...Особенно это женщин касается.

Если Фурье крутить на бесконечном отрезке (-бесконечность...+бесконечность) тогда при конечной длительности синусоиды спектр будет не прямая линия, а функция вида sin(x)/x - это известно. Если надо точно измерить - надо крутить ПФ только на отрезке реализации синусоиды. В этом случае будет одна-единственная прямая. Кроме того, для улучшения точности результатов - надо увеличить частоту дискретизации, чтобы увеличить статистику (чтобы шаг спектральных составляющих был маленьким). Теоретически, можно получить любую точность, практически - лучше 10^-6 наверное сложно будет получить, ввиду погрешностей Fдискр, шума квантования и пр.пр.пр.

Спектр бесконечной синусоиды - это просто число. # 5 Гц. Вот спектр ЧМ - это функция, а спектр синусоиды - это число. Т.е. функция не равна нулю только в оной точке. И равна она в ней - амплитуде синусоиды.

Шутить изволите

На мой взгляд, ТК наверное сформулирована чуть-чуть некорректно. Такое бывает и в математике и в физике (что нисколько не умаляет вклад в науку Котельникова). Основной ее смысл: что нельзя, ни теоретически, ни практически восстановить сигнал, частота которого больше Fдискр/2. А вот если равна - сфазируйте правильно - и будет Вам счастье.
Это также как и неявное следствие из линейных и нелинейных цепей: главное отличие с т.з. сигналов, что одни добавляют новые частоты в спектр, а другие - модифицируют спектр без этого.

Лучше тут женщин не касаться... Не отклоняйтесь от темы.
Мужчины вот, оказывается, могут бесконечно долго писать про свои заблуждения в интерпретации давным-давно доказанного. При этом явно видна сезонная периодичность. Поэтому выдвигаю...
Пока в качестве ...
Гипотеза о выборках (моя).
Если брать только каждый десятый (а может быть... сотый или тысячный) пост про это, то будут исчерпаны все "идеи" всех остальных постов. Надо только подождать...
Конца ведь не будет...?

А как выбирать? раномерно- удаленно?

Хватит зацикливаться на самом мелком баге ТК. Я же ткнул пальцем в баг гораздо серьёзней. Еще в другой теме, ссылочка где-то в первых постах есть. Это баг - всем багам баг В сложных сигналах при любом количестве взятых отсчётов будут некратные частоты, которые частично неортогональны. Поэтому вычислить точный спектр после дискретизации (отделить одну частоту от другой) не представляется возможным никакими методами. Котельников об этом явно был не в курсе поэтому и облажался. Кстати, даже на бесконечности этот баг присутствует.

Очевидно, что при большой выборке можно выбирать произвольно. Ведь видов заблуждений не так много...

Обобщенные функции тут ни при чем. Косинус тоже имеет образом дельта функцию, однако с ним
таких проблем не возникает.

Хорошо, можно и так - угловая модуляция синусоидальным сигналом с индексом m<1 - спектр содержит составляющую на несущей частоте и две боковые. Если уменьшать частоту модуляции, "боковушки" будут приближаться к центральной составляющей. В пределе частота модуляции становится бесконечно малой - так вот хоцца понять, как эти три спектральные составляющие превратятся в одно число.
P.S. А у этого числа частота есть или только амплитуда?


Еще раз - существуют достаточные условия применимости к функции преобразования Фурье. Достаточность означает, что можно заранее определить - применимо к данной функции преобразование Фурье или нет. Если оно неприменимо, то автоматически неприменима и базирующаяся на нем ТК, после чего нет никакой нужды в дополнительных ограничениях в виде необходимых условий к самой ТК.
P.S. По-прежнему интересуюсь верхней граничной частотой дельта-функции.

Дельта функция от какой переменной ? Времени ?
Тогда для delta(t - t0) C=cos(omega*t0) S=sin(omega*t0) АЧХ=1

=0

wim, ширина спектра любой частоты по бесконечности равна нулю. В том числе и постоянки (0-частоты). Спектр любой одиночной частоты - точка на шкале частот. Спектр сигнала из нескольких гармоник - множество точек.

сорри , туплю наверное
а это что ? Разве не ОНО

От частоты. Мы проверяем Вашу поправку к ТК не на той функции, на которой она была выведена (синусе), а на другой. Если поправка верна, значит можно найти частоту дискретизации и для сигнала постоянного уровня (чем он хуже других?). Вот я и интересуюсь - как Вы представляете себе w1 для дельта-функции на нулевой частоте?


У дельта-функции нет ширины спектра, потому что это понятие к ней неприменимо. И по этой причине существуют функции, для которых неприменима ТК. Не потому, что у нее "баг", просто такое вот ограничение.

У нас сигнал внешний, а частота дискретизации собственная. Попытки присинхронизации предпринимались неоднократно и не только нами. Результат плачевный по вполне объяснимым и понятным причинам. Поэтому и приходится использовать разные махинации с фурье.

А к функции SinX/X применим аргумент = 0 ? Однако его используют.
ИМХО ширины спектра нет только у пустого множества.


Я такие даже не рассматривал никогда. ТК применима (обязана быть) к гармоническим сигналам (sin,cos). Но даже с ними есть проблемы. А другие функции не стоит вообще обсуждать. Лишнее.

Не обязана, поскольку непрерывный синус имеет неограниченную энергию, поэтому спектр, ограниченный диапазоном частот, на какой-то частоте получит бесконечно большую спектральную плотность. Без нелюбимой Вами дельта-функции не обойтись.

Функция должна быть интегрируемой от минус бесконечности до
плюс бесконечности. Постоянная функция не удовлетворяет этому условию.

А за нелюбимой дельта-функцией возникнет вопрос, а что значит восстановить сигнал?

Появится интегрирование по Лебегу и сходимость "почти везде", по которой вклад в непрерывный спектр сигнала синусоиды частоты Fd/2 можно вообще отбросить (энергия бесконечно мала в интервале df) и не морочить голову ни себе ни другим :-)

Ох гурукилер этого не любит, интегрирование по Лебегу и обобщенных функций, ох не любит...

Я бы сказал так: Для реальных функций у реальных пацанов (как гурукилер) частоту Fd/2 нужно исключить из ТК. А для обобщенных функций - и так сойдёт, можно включить и всё будет строго в метрике L2

Бесконечная синусоида конечной амплитуды реальной функцией для реальных пацанов не является, у неё сингулярность в спектре

Он ещё Гуру не любит, - они ему напоминают дельта-функции..

Как и непрерывный синусоидальный сигнал - он тоже не удовлетворяет. Поэтому к нему неприменимо преобразование Фурье, а, следовательно и ТК.

Неправда. Синусоидальный удовлетворяет. Получается дельта функция -
везде ноль кроме точки где частота равна частоте синуса.

Возможно здесь есть найдете ответ на этот вопрос: h*t*t*p://prodav.exponenta.ru/read/info02.htm

А в этой точке её значение (спектральной плотности) равно бесконечности. Это ничего? Чистая бесконечная синусоида - это абстракция. В реальности у неё обязательно есть фазовый шум и сингулярность размажется в спектральную линию. Или она должна рассматриваться на конечном интервале времени и снова получится спектральная линия конечной (не бесконечно узкой) ширины.

И вклад одиночной частоты Fd/2 в энергию этого сигнала будет бесконечно малым. Вот математики и говорят, что в смысле метрики L2 одна спектральная точка не играет роли, она ничтожна. Интервал частот решает

В Теореме Котельникова ошибок нет. Это в мозгах ошибки неадекватности моделей

В интерпретации Теоремы есть проблема, связаная с тем что реальные сигналы вроде бы должны быть ограничены во времени, не только по спектру. Ведь бесконечности нет, это всегда абстракция в смысле предельного перехода. В формулировке теоремы есть практическая, "инженерная" бесконечность. Т.е. рассматриваемых в Теореме сигналов строго говоря не существует в природе. Но она работает и для реальных сигналов - ограниченых сначала по частоте, потом по времени. И это строго доказывается. Но это сложно, и инженеров этому не учат

Получается две дельта-функции, вторая - на отрицательной частоте. Но это непринципиально - синус, как и постоянный уровень не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Следовательно ... и дальше идем опять по кругу. Лучше подождем GetSmartа - он что-нить новенькое придумает, чтоб поднять тему на новый виток диалектицкой спирали.

Другими словами, в сугубо инженерной книге Радиотехнические цепи и сигналы даётся неадекватная интерпретация ТК применительно к реалиям. Приведена только идеализированная интерпретация, но о никаких ограничениях, возникающих на практике не говорится, как будто их нет в принципе?! Почему?


Ширина спектральной "линии" идеальной синусоиды обратнопропорциональна временному интервалу. При устремлении интервала в бесконечность ширина падает до "нуля" и превращается в точку. Но. Она существует! Да, и не надо её бояться. На шкале спектральной мощности она зашкаливает и напоминает сингулярность, хотя и имеет некий числовой коэффициент для дополнительных математических операций (типа если пять бесконечностей поделить на одну бесконечность, будет 5 ). На шкале спектральной амплитуды для бесконечной синусоиды будет обычное число. Вообще красотища.

Хотел спросить Вас лично. Проблема неортогональности гармоник в дискретизированном сигнале является проблемой какой теоремы? Котельникова? Фурье? или кого-то ещё?

Вы бы огласили проблему с конкретными примерами, а то не весь народ в курсе.

Это уже вопрос философский. В конечном счете оправдание науки вообще не в изложении "истины", а в практической полезности. Инженеров учат тому, что может быть полезно в практической деятельности и стараются не забивать работающие приёмчики деталями



Мантры.
Везде, где появляется бесконечность, реально это означает предельный переход. Нет бесконечности во Вселенной Бесконечность - это свернутое представление о процессе предельного перехода. Иероглиф



Проблема неортогональности гармоник ? Это что за зверь?

Отрезок сигнала ограниченый во времени разлагается в ряд Фурье.
Можно было бы в интеграл Фурье, но это практически нереально для дискретного представления (после дискретизации)
В любом случае ДПФ - это дискретный аналог ряда Фурье, а не интеграла Фурье. И в этом ряде дискретный набор частот.
Если Вы имели в виду, что в ДПФ нет непрерывных промежуточных частот, то ответ состоит в том, что Фурье и Котельников не виноваты, просто мы практически используем не идеальный инструментарий. Он не негодный - мы собираем реально в каждый спектральный отсчет вклад от всех частот каждого частотного бина, т.е. с некоторым разрешением оцениваем интеграл Фурье, который следовало бы строго говоря считать физическим спектром