Это просто, но долго. Там хорошо и доступно даже и для маленьких детей. Начинается с натуральных чисел. Палочки рисуются, зачеркиваются и опять рисуются в другом месте. Потом считаются.
Не помню - какой том...

Его не существует, ибо "математика" требует определять все, а это сложно, практически невозможно, на этом легко можно заработать умственную болезнь. А строго нематематическое определение Вы, я почти уверен, легко найдете сами, припав к источнику знаний, именуемому гугель, и озадачив его чем-нибудь типа: "определение аддиции" ,"сложение's definition ", etc :-))

И рисование палочек Вы считаете строгим математическим определением, а не здравым смыслом?



О чем я и говорю

Вне всякого сомнения, но к гугелю Вы все-таки припадите:-)

Конечно. Вы почитайте. А здравого смысла в математике нет вообще. Некоторые народы (их языки) вообще не знают натуральных чисел. Собак считают одним способом, женщин - другим, а некоторые вещи считать вообще не могут.
А по поводу здравого смысла математики есть такая .... наука(?) - метаматематика.

Вы хотите получить определение сложения чего? Вот, например, опредление сложения в GF(2):

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0

Как видите, я не попал в поставленную Вами ловушку.

Что касается логики и "здравого смысла" - Вы правы, это именно то место, где математика основана на вере. Чтобы заниматься математикой человек должен верить в её непротиворечивость Потому что иначе само занятие будет бессмыссленным с точки зрения именно "здравого смысла". Спасибо, что Вы мне на это указали. Но не могу согласиться с использованием понятия "здравого смысла" без особой нужды. И категорически не могу согласится с объявлением физического смысла здравым смыслом для математики.

Какое же это определение? Это не определение. Должно быть дано определение GF(2):-))

Безусловно, подразумеваю, что то, что GF(2) есть поле с двумя элементами, обозначаемыми 0, и 1, и что такое обозначение известно читателю. Ну а дальше нужно объявить, какой элемент поля обозначают символом "0", и какой - "1". Например, явно записав таблицу для операции сложения.

Ну если неизвестно опред. сложения, то... Вы должны сказать, что поле, это множество (требуется определение) с 2-мя операцими, одна из которых сложение (требуется определение), вторая умножение(требуется определение) .....Множество вместе с операциями образуют кольцо(требуется определение)... Там еще группы и т.п. Не помешает дать историческую справку об Эваристе Галуа... Математическая строгость требует все это определить, прежде чем дать определение сложения в поле Галуа:-))

Нет, не должен. Меня это не просили.

Кроме того, обсуждение математических вопросов подразумевают собеседника, который разделяет и понимает основные используемые в беседе понятия - но есть расхождение или непонимание каких-то деталей. Если это не так - лучше сразу отослать собеседника к литературе. Ну или отправить учиться в школу.

Ну и кроме того, кто мешает определять поле GF(2) как множество с двумя элементами с двумя операциями, заданными таблицей? Тогда уже конечно проще взять не GF(2), а группу по сложению в Z/2. Вам так будет понятнее?

А если попросят - дадите? Что ни одной неясности не осталось? Чтобы не образовывался замнутый круг?:-))

Сложный вопрос. На мой взгляд - в школу нужно отправлять обоих. Ибо один не знает, второй не может объяснить:-)

Нет, не годится. Возникает логичный вопрос - а зачем вообще придумали всю эту абстрактность, группы, кольца, поля? Что может быть конкретнее таблицы, почему нельзя обойтись ей.:-)

Не о себе душой болею:-))

Уважаемая Mirabella!

Вы еще раз подтвердили свое непонимание устройства математики. Потому что то, что Вы называете "казуистикой" к математике неприменимо. В отличие от человеческого быта, разумеется.

Неприменимо по нескольким причинам.
Во первых, "ловкость и изворотливость в доказательствах" считается в математике положительным, а не отрицательным качеством.
Во-вторых, некотрое утверждение может быть признано ложным только если доказано его противоречие используемой аксиоматике. Если не доказано - то никто не может утверждать, что некоторое утверждение ложно.




Смотря что. В конце концов можно дойти до смысла слов естественного языка, которыми дается определение. Более того, Вы должны верить, что множетство с двумя элементами "существует" наряду с натуральными числами - безусловно, не в физическом, а в математическом смысле существования. Ну и должны понимать, что такое "математический смысл". Иначе Вам нужно учиться воспринимать мысли других людей посредством приема звуковых колебаний и зрительных образов, основам этого занятия учат именно в средней школе.

Для поля GF(2) обойтись таблицами можно без привлечения понятия поля. Достаточно понятия множества с двумя элементами и понятия операции на множестве с двумя аргументами, задаваемой таблично.

Я утверждаю, что любое множество с двумя элементами, которые можно обозначить символами "0" и "1", с двумя операциями, которые можно обозначить символами "+" и "*", заданными таблично:

+( 0, 0 ) = 0
+( 0, 1 ) = 1
+( 1, 0 ) = 1
+( 1, 1 ) = 0

*( 0, 0 ) = 0
*( 0, 1 ) = 0
*( 1, 0 ) = 0
*( 1, 1 ) = 1

является полем GF(2). Операция "+" при этом называется сложением.

Безусловно, это определение подразумевает знакомство и принятие собеседником теории множеств и логики.

То есть как - смотря что? Определение сложения, исключающее любые кривотолки.
А далее Вы вообще каким-то нематематическим языком начали выражться, а прямо-таки божественным. Вы должны согласиться, что вера есть синоним незнания. Т.е. Вы не знаете сами, есть ли множество о 2-х элементах, нет ли, Вы просто призываете вместо досконального изучения этого вопроса, о существовании множества из 2-х элементов, в него поверить. Хорошо ли это?
А что Вы пишете следом? Чтобы понимать, что есть такое "математический смысл", должно быть дадено строгое, математическое, определение этого понятия. Иначе о чем говорить?
Итак за Вами однозначное определение сложения, определение понятия "веры", если Вы не согласны с приведенным мной, что вера -синоним незнания, определение понятия "математический смысл".
:-))

[quote name='Oldring' date='Jan 27 2007, 23:37' post='202507']
Я же говорю, я сам уже подзабыл детали. Давно я это все изучал. Вероятно на досуге освежу - сейчас могу лишь отослать к 3-му тому Кудрявцева. В нем утверждается, что L2 - это нее что иное как именно Лебегово пространство.
[quote]
Придётся покупать трехтомник Кудрявцева. Но если в нём не окажется Лебегова пространства, то потребую от Вас сатисфакции

За ссылку на конкретику про проекции спасибо!

[quote name='Oldring' date='Jan 27 2007, 23:37' post='202507']
По теореме Котельникова размерность сигнала строго ограниченного по частоте и примерно ограниченного по времени как векторного пространства над полем действительных чисел конечна - следовательно, если мы спроецируем этот сигнал в два ортогональных подпространства чтобы получить две ортогональные компоненты, то их суммарная размерность не может превышать размерность исходного сигнала со всеми вытекающими последствиями.
[quote]
Размерность сигнала строго ограниченного по частоте и примерно ограниченного по времени тоже примерно ограничена

[quote name='Oldring' date='Jan 27 2007, 23:37' post='202507']
Врете, врете. "Дискретные сигналы определяются лишь для дискретных значений переменной - времени." Ну и далее по тексту. Рабинер-Голд, стр. 18. Что он дальше пытается вытворять - пусть это остается на его совести. IMHO это лишь говорит о том, что книга писалась "для инженеров" за счет математической строгости. Впрочем, там не все так плохо, как увидели Вы - обратите внимание, что там есть спектр, обозначенный буквой "X" и спектр, обозначенный символом "Xн".
[/quote]
Я не говорю, что там всё плохо. Там всё как раз хорошо, если вообще убрать определение дискретного сигнала со стр.18. Это определение без привязки к пространствам сигналов просто бессмысленно. К тому же там даже дискретизированный по времени сигнал обозначен как x(nT), а не как x(n), что на первый взгляд совсем не существенно.
И, надеюсь, Вы не будете утверждать, что спектр последовательности из l2 непрерывен.
То, что упомянутая книга страдает инженерным подходом, полностью с Вами согласен.
Более четкая теория изложена в книге упомянутого, по-моему, в этой ветке, Романюка, преподавателя МФТИ, кстати.

Лукавите, лукавите. До тех пор, пока будете употреблять понятие поля, будет возникать вопрос, зачем оно нужно:-))

Человек слаб. Он не может сравниться с Богом. Он может только что-то делать, веря в правильность своих действий. Посылая подальше всех сомневающихся в его правоте

P.S. Вообще-то я атеист.
P.P.S. Если бог знает ответ на любой вопрос - то он не существует.

Там есть совершенно точно по крайней мере один раз упоминание про Лебегово пространство - в списке обозначений для L2 Так что сатисфакция в любом случае мне не грозит. Может быть это просто такое название по способу построения пространства - я пока что еще не освежил свою память.



Для некоторых сигналов ограничена строго. С такими хорошими сигналами легко иметь дело.
Остальные можно ими приблизить с приемлемой точностью.



Буду утверждать, что может быть непрерывным (не обязан) на области определения. Пример - дискретный аналог дельта-функции.



Нисколько. Согласитесь, красивые таблички...

Т.е. определений Вы дать не можете? Досадно, Вы были моей последней надеждой:-((


Святое дело.

Это интересно. Я, в общем, тоже.

В Ваших словах заключено глубокое внутреннее противоречие:-))


Красота спасет мир, согласен, но этого недостаточно, да и сам постулат отдает какой-то гуманитращиной:-(((

В принципе, при беглом прочтении прояснилась структура построения. Кудрявцев строит L2 в неколько шагов, объединяя в классы эквивалентности квадратично интегрируемые по Риману функции, после чего пополняет пространство до полного, получая Гильбертово пространство. Утверждается, что абстрактные элементы пополнения невозможно отождествить с квадратично интегрируемыми по Риману функциями, но можно с квадратично интегрируемыми по Лебегу. Видимо от этого и пошло название Лебегово пространство L2.

Кстати, Кудрявцев отсылает за более подробным изложением к двухтомнику Никольского.

Таким образом, проекторы на любые линейные подпространства в L2 существуют.



Так я дал определение. Построить аксиоматику для всей математики я, действительно, не в силах - более того, математически доказано, что это невозможно. Так что не расстраивайтесь.



Не спорю. Но это ведь не математическое утверждение.



Вы никогда не замечали красоту в математике? Печально...

Если можно, приведите, пожалуйста, пример.


Так там и область определения дискретна. У Рабинера с Гоулдом X и Xн определены на непрерывной частоте – неувязочка

Почему нет? Сигнал A*sin(t)/t



Нет, область определения для спектра последовательности in l2 с периодом дискретизации T=1 - [-pi,pi]. Отрезок действительной оси.

Оно неудовлетворительно и Вы сами это понимаете.
Математически доказанная невозможность построения определений для всей математики означает отрицание математики, как науки. Стоит ли ей заниматься в таком случае? Это должно противоречить Вашим атеистическим принципам. Вы не можете быть математиком, будучи атеистом и Вы не можете быть атеистом, будучи математиком. :-))


Однако Вы пытаетесь уйти от ответа. Вопрос очень простой - цель введения групп и т.п.:-)
А красоту я замечал, конечно замечал. О! Эта математическая красота! Увижу вот какое-нибудь математическое построение, так верите - слезы наворачиваются от восторга, сижу и плачу, сижу и плачу...

А как же быть с "сигналами" которые ВСЮДУ непрерывны и НИГДЕ не дифференцируемы?
Чем их приближать? Фурье?

А я знаю определение сложения Это бинарная коммутативная ассоциативная операция. И это все определение. А что именно она и как делает - это уже определяется в конкретной алгебре, в которой оно есть.

я вот все жду- когда начнут раскатывать шаровые функции Лапласа по полям Галуа?

Не все.. Результат должен принадлежать полю.

Нет. Областью определения спектра последовательности in l2 с периодом дискретизации T=1 является не [-pi,pi], а [-pi,pi) (но это не важно), и не отрезок действительной оси, а множество точек вида 2pik, где k рациональное число. Разницу ощущаете?

Это еще зачем? В определении алгебры нету ничего про поле. Оно, как операция, должно быть тотальной функцией на каком-то множестве M, при том M^n -> M, где n это "арность" операции, в данном случае M x M -> M.

Почти отлично! На Вас одного уповаю. Ваше определение кажется сумело остановить стремительное, лавинообразное, падение доверия, моего в частности, к математике, этой царице полей, вызванное неосторожным причислением ее к лику святых, произведенное ув. Oldring'ом.


И Вы, Брут... :-(( Множество требует определения, тотальность требует определения, функция требует определения...

Ну да, нету.. Там лишь сказано, что "n-арная алгебраическая операция на множестве А это отображение множества А в само множество А."

Что именно было? Изъясняйтесь как-нибудь понятнее, уважаемый.

Э не, наоборот, это "алгебра" есть комплект из множества M и набора операций, где операция это есть тотальная функция M^n -> M ...

Ну вы же сами пишете, что набор операций должен быть определен таким образом,
что результат операции ПРИНАДЛЕЖИТ множеству.. (Ваши же: M^n -> M).

Только такой (!) комплект будет называться алгеброй..

Ну я же не спорю, что все это требует определения. И все эти определения известны. Не писать же их тут начиная от аксиом, и со всеми доказательствами. Это целая книга выйдет.



Это да, именно такой набор будет ей называться. Но вот понятия "алгебраическая операция", и наверное "неалгебраическая" я не встречал. В определении присутствует просто слово "операция", а слово "алгебраическая" - недопустимо, так как "алгебра" еще не определена...

Обязательно, обязательно, особенно это касается множеств:-))

А это фундаментальное неопределяемое понятие

P.S. Это что же получается? Математики, это те, кто живут "по понятиям", а физики - по законам?

А я и не призывал вас использовать понятие "алгебры" ДО его определения..
Я лишь призывал вас дать ПОЛНОЕ определение операции, а оно невозможно
без введения множества элементов М над которым собственно и выполняется
n-арная операция и понятия ЗАМКНУТОСТИ, которое гарантирует, что при
использовании вашей n-арной операции вы остаетесь в М.

Так моя вера в математику окончательно рухнет -никакая она не наука, а исключительно промысел божий:-( Но все-таки надеюсь, надеюсь, что еще не все потеряно, не все. Надежда умирает последней, сжигая все мосты за собой.

Это я понял, но еще раз скажу, что говоря "операция" я естественно подразумевал, что все уже и так знают, что это такое, и не требуется пояснять все вплоть до аксиом и фундаментальных понятий. И "бинарная коммутативная ассоциативная операция" это исчерпывающее определение. И вопрос был не "что такое операция", а что такое "сложение".



Вера не может рухнуть. Иначе это не вера, а так... Верить надо до конца.

Я продолжу вашу мысль.. Все и так знают что такое сложение и вам не нужно
было опускаться до аксиом и т.п.
Но... Если уж взялись... Потрудитесь довести дело до конца..

Я уже ВН-у отвечал, что не буду распинаться "до конца" - это сколько же текста написать надо! Тут надо каждое слово расписывать до упора.

Ну вот, сдались.. В шаге от цели..
А ведь оставалось только упомянуть про замкнутость операции
сложения.. =ВН= вам этого не простит.. Я - прощаю..

Тоже мне "только". Еще надо рассказать что такое функция, так как любая операция это по определению функция, что значит "тотальная" применительно к ф-ции, что есть коммутативность, ассоциативность, и т.д., а это их себя еще много чего потянет.

ЗЫ
Это как собирать какой-нить линуксовый софт, исходник на килобайт, а библиотек к нему по всему интернету пол-дня собираешь.

Странно...
Сначала вы САМИ сводите понятие СЛОЖЕНИЯ к понятию ОПЕРАЦИИ..
А потом пеняете на меня, что я спрашиваю определение ОПЕРАЦИИ..



Потом подменяете понятие операции понятием функции..

Я ничего не подменяю. Я говорю определения. Причем для "операции" уже в третий раз!!! n-арная операция это тотальная функция M^n->M.

И понятие "замыкание" вводится уже потом, когда понятие "операция" определено. И не операция может быть замкнутой, а может быть только какое-то подмножество быть замкнутым относительно операции.

Ну вот и Вы пытаетесь что-то возвести в абсолют. Я верил до конца. Но конец тоже рухнул.
Да, плохи у математики дела, плохи. Пойду забудусь сном.

Хорошее слово - "абсолют". Не в смысле названия водки. Не можете напомнить, что оно точно означает с точки зрения истории философии? Но если уж говорить про абсолют - то, простите, математика и есть наука об этом абсолюте

Это очень плохо, когда конец рухнул. Очень.